計數原理、概率、隨機變量及其分布第十一章第9講離散型隨機變量的均值與方差【考綱導學】1．理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．2．能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．3．利用實際問題的直方圖，了解正態密度曲線的特點及曲線所表示的意義．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為(1)均值稱E(X)＝____________________________為隨機變量X的均值或__________，它反映了離散型隨機變量取值的__________．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn

數學期望平均水平平均偏離程度標準差aE(X)＋b

a2D(X)p

p(1－p)np

np(1－p)1．設隨機變量X～B(n，p)且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則(

)A．n＝8，p＝0.2

B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32

D．n＝7，p＝0.45【答案】A2．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發病率為0.02.設發病的牛的頭數為ξ，則D(ξ)等于(

)A．0.2

B．0.8

C．0.196

D．0.804【答案】C3．已知某一隨機變量X的概率分布如下且E(X)＝6.9，則a的值為(

)A．5

B．6

C．7

D．8【答案】BX4a9Pm0.20.54．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱，則A郵箱的信件數X的數學期望E(X)＝________.1．在沒有準確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)期望值就是算術平均數，與概率無關．(

)(2)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量，它不確定．(

)(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小．(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×課堂考點突破2離散型隨機變量的均值與方差【考向分析】離散型隨機變量的均值與方差是高中數學的重要內容，也是高考命題的熱點，常與排列組合、概率等知識綜合考查．常見命題角度有：(1)與超幾何分布(或古典概型)有關的均值與方差；(2)與事件的相互獨立性有關的均值與方差；(3)二項分布的均值與方差．【規律方法】均值與方差的一般計算步驟：(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值；(2)求X取各個值的概率，寫出分布列；(3)根據分布列，由均值的定義求出均值E(X)，進一步由公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2，求出D(X)．均值與方差在決策中的應用(2)若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數學期望較大？【跟蹤訓練】1．有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設，為了對重點建設負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指標，其分布列如下：其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求選擇較高抗拉強度指數的材料，越穩定越好．試從均值與方差的指標分析該用哪個廠的材料．X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4【解析】E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，從而兩廠材料的抗拉強度指標平均水平相同，但甲廠材料相對穩定，應選甲廠的材料．2．(2016年福安校級模擬)某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊員，在校內組織猜燈謎競賽．規定：第一階段知識測試成績不小于160分的學生進入第二階段比賽．現有200名學生參加知識測試，并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖．課后感悟提升33條性質——期望與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為常數)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數)．3種方法——求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解；(3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．1．(2016年天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．2．(2016年新課標Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得如圖柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器