第05講五種直線方程【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標(biāo)公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為時，直線方程為；3、當(dāng)直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4、表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3、當(dāng)時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4、在應(yīng)用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕兀阎稽c的坐標(biāo)，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式常化為斜截式與截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．【典例例題】題型一：點斜式直線方程【例1】（2023·高二課時練習(xí)）一直線過點，它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍，則這條直線的點斜式方程為______．【對點訓(xùn)練1】（2023·山東青島·高二校考階段練習(xí)）過點斜率為3的直線的點斜式方程是______.【對點訓(xùn)練2】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，傾斜角為，且，則直線l的點斜式方程為______．題型二：斜截式直線方程【例2】（2023·高二課時練習(xí)）傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為__________．【對點訓(xùn)練3】（2023·天津北辰·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為______．【對點訓(xùn)練4】（2023·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）過點且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．題型三：兩點式直線方程【例3】（2023·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，則直線的兩點式方程為__．【對點訓(xùn)練5】（2023·高二課時練習(xí)）過點，直線的兩點式方程為______．【對點訓(xùn)練6】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l的兩點式方程為，則l的斜率為______．題型四：截距式直線方程【例4】（2023·高二課時練習(xí)）過兩點，的截距式方程為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練7】（2023·高二課時練習(xí)）直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練8】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三頂點坐標(biāo)，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．題型五：中點坐標(biāo)公式【例5】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）直線過點且與軸?軸分別交于，兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為__________.【對點訓(xùn)練9】（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，，線段PQ的中點為，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程【例6】（2023·高二課時練習(xí)）過點且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．【對點訓(xùn)練10】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考期末）過點的直線方程（一般式）為_____．【對點訓(xùn)練11】（2023·上海浦東新·高二校考期末）經(jīng)過點且斜率為2的直線的一般式方程為__．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用【例7】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.【對點訓(xùn)練12】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點斜式方程.【對點訓(xùn)練13】（2023·江西九江·高二校考階段練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，，求邊上的中線所在直線的方程．題型八：判斷動直線所過定點【例8】（2023·高二課時練習(xí)）直線，當(dāng)變動時，所有直線恒過定點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練14】（2023·高二課時練習(xí)）不論m取何值，直線都過定點（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練15】（2023·高二課時練習(xí)）直線恒過定點（

）A． B． C． D．題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【例9】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【對點訓(xùn)練16】（2023·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期中）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【對點訓(xùn)練17】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高二校考課時練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·高二校考課時練習(xí)）若直線l的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，且直線l經(jīng)過點,則直線l的方程為()A． B． C． D．3．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）直線l經(jīng)過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線方程：，若不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）若直線l經(jīng)過點、，則以下不是直線l的方程的為（

）A． B．C． D．6．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點且方向向量為，則l在x軸上的截距為（

）A． B．1 C． D．57．（2023·上海·高二專題練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四8．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量，，且．若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點，且斜率的直線方程為（

）A． B．C． D．10．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）對于直線：，下列說法錯誤的是（

）A．直線恒過定點B．直線斜率必定存在C．時直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D．時直線的傾斜角為11．（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）下面說法中錯誤的是（）A．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示B．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C．不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示D．經(jīng)過任意兩個不同的點、的直線都可以用方程表示12．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線，其中為實常數(shù)，則（

）A．直線過一定點B．無論m取何值，直線不經(jīng)過原點C．當(dāng)時，直線與軸交于它的負半軸D．當(dāng)時，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點，則直線l的方程為________________.14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.15．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為__________．16．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為_______.四、解答題17．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，過點作直線AB分別與OA，OB交于點A、B，當(dāng)AB的中點為P時，求直線AB的方程.

19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限的中，，，，，求直線BC