第05講 五種直線方程(九大題型)(原卷版)_第1頁
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第05講五種直線方程【題型歸納目錄】題型一:點(diǎn)斜式直線方程題型二:斜截式直線方程題型三:兩點(diǎn)式直線方程題型四:截距式直線方程題型五:中點(diǎn)坐標(biāo)公式題型六:直線的一般式方程題型七:直線方程的綜合應(yīng)用題型八:判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)題型九:直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一:直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定,我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程,簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的,點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在.點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線,即斜率不存在的直線;2、當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),直線方程為;3、當(dāng)直線傾斜角為時(shí),直線沒有斜率,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線方程為:.4、表示直線去掉一個(gè)點(diǎn);表示一條直線.知識(shí)點(diǎn)二:直線的斜截式方程如果直線的斜率為,且與軸的交點(diǎn)為,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得,即.我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距,方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定,所以方程叫做直線的斜截式方程,簡(jiǎn)稱斜截式.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、b為直線在y軸上截距,截距可以取一切實(shí)數(shù),即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù);距離必須大于或等于零;2、斜截式方程可由過點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到;3、當(dāng)時(shí),斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.4、斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線,即斜率不存在的直線.5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況,在方程中,是直線的斜率,是直線在軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)三:直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過兩點(diǎn)(其中)的直線方程為,稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程,簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定;2、當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時(shí),不能用兩點(diǎn)式求出它的方程.3、直線方程的表示與選擇的順序無關(guān).4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí),往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式,從而得到的方程中,包含了或的情況,但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程,不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論.要避免討論,可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式.知識(shí)點(diǎn)四:直線的截距式方程若直線與軸的交點(diǎn)為,與y軸的交點(diǎn)為,其中,則過AB兩點(diǎn)的直線方程為,這個(gè)方程稱為直線的截距式方程.a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距,b叫做直線在y軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、截距式的條件是,即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法:令x=0得直線在y軸上的截距;令y=0得直線在x軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)五:直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下,使用斜截式比較方便,這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù),而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù).在求直線方程時(shí),要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?,已知一點(diǎn)的坐標(biāo),求過這點(diǎn)的直線,通常采用點(diǎn)斜式,再由其他條件確定斜率;已知直線的斜率,常用斜截式,再由其他條件確定在y軸上的截距;已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式.從結(jié)論上看,若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng),則選擇截距式求解較方便,但不論選用哪一種形式,都要注意各自的限制條件,以免遺漏.知識(shí)點(diǎn)六:直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程寫為,這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式.知識(shí)點(diǎn)詮釋:1、A、B不全為零才能表示一條直線,若A、B全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí),方程可變形為,它表示過點(diǎn),斜率為的直線.當(dāng),時(shí),方程可變形為,即,它表示一條與軸垂直的直線.由上可知,關(guān)于、的二元一次方程,它都表示一條直線.2、在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線,反過來,一條直線可以對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.知識(shí)點(diǎn)七:直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn),是斜率不垂直于軸斜截式是斜率,是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式,是直線上兩定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距,是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸,且不過原點(diǎn)一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表:知識(shí)點(diǎn)詮釋:在直線方程的各種形式中,點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式,要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率,兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例,其限制條件更多,應(yīng)用時(shí)若采用的形式,即可消除局限性.截距式是兩點(diǎn)式的特例,在使用截距式時(shí),首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件.直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式.一般式?;癁樾苯厥脚c截距式.若一般式化為點(diǎn)斜式,兩點(diǎn)式,由于取點(diǎn)不同,得到的方程也不同.【典例例題】題型一:點(diǎn)斜式直線方程【例1】(2023·高二課時(shí)練習(xí))一直線過點(diǎn),它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍,則這條直線的點(diǎn)斜式方程為______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(2023·山東青島·高二??茧A段練習(xí))過點(diǎn)斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為,且,則直線l的點(diǎn)斜式方程為______.題型二:斜截式直線方程【例2】(2023·高二課時(shí)練習(xí))傾斜角為,且過點(diǎn)的直線斜截式方程為__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2023·天津北辰·高二統(tǒng)考期中)經(jīng)過點(diǎn),且傾斜角為的直線的斜截式方程為______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2023·上海浦東新·高二華師大二附中??茧A段練習(xí))過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______.題型三:兩點(diǎn)式直線方程【例3】(2023·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))已知,,則直線的兩點(diǎn)式方程為__.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2023·高二課時(shí)練習(xí))過點(diǎn),直線的兩點(diǎn)式方程為______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l的兩點(diǎn)式方程為,則l的斜率為______.題型四:截距式直線方程【例4】(2023·高二課時(shí)練習(xí))過兩點(diǎn),的截距式方程為(

)A. B. C. D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線的截距式方程是(

)A. B.C. D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】(2023·全國·高二專題練習(xí))已知三頂點(diǎn)坐標(biāo),為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則中位線所在直線的截距式方程為()A. B.C. D.題型五:中點(diǎn)坐標(biāo)公式【例5】(2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末)直線過點(diǎn)且與軸?軸分別交于,兩點(diǎn),若恰為線段的中點(diǎn),則直線的方程為__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】(2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)??茧A段練習(xí))已知點(diǎn),,線段PQ的中點(diǎn)為,則直線PQ的方程為______.題型六:直線的一般式方程【例6】(2023·高二課時(shí)練習(xí))過點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】(2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考期末)過點(diǎn)的直線方程(一般式)為_____.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】(2023·上海浦東新·高二??计谀┙?jīng)過點(diǎn)且斜率為2的直線的一般式方程為__.題型七:直線方程的綜合應(yīng)用【例7】(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知直線和直線都過點(diǎn),求過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知在第一象限,若,,,,求:(1)AB邊所在直線的方程;(2)AC邊所在直線的點(diǎn)斜式方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】(2023·江西九江·高二??茧A段練習(xí))已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,求邊上的中線所在直線的方程.題型八:判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)【例8】(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線,當(dāng)變動(dòng)時(shí),所有直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】(2023·高二課時(shí)練習(xí))不論m取何值,直線都過定點(diǎn)(

)A. B. C. D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線恒過定點(diǎn)(

)A. B. C. D.題型九:直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【例9】(2023·江蘇·高二假期作業(yè))求經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】(2023·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期中)已知直線的方程為:.(1)求證:不論為何值,直線必過定點(diǎn);(2)過點(diǎn)引直線,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小,求的方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】(2023·全國·高二專題練習(xí))已知直線的方程為:.(1)求證:不論為何值,直線必過定點(diǎn);(2)過點(diǎn)引直線,使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小,求的方程.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1.(2023·高二??颊n時(shí)練習(xí))若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1,則實(shí)數(shù)的值為(

)A.2 B.4 C. D.2.(2023·高二??颊n時(shí)練習(xí))若直線l的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍,且直線l經(jīng)過點(diǎn),則直線l的方程為()A. B. C. D.3.(2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末)直線l經(jīng)過點(diǎn),在x軸上的截距的取值范圍是,則其斜率的取值范圍是(

)A. B.C. D.4.(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知直線方程:,若不經(jīng)過第二象限,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.5.(2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中)若直線l經(jīng)過點(diǎn)、,則以下不是直線l的方程的為(

)A. B.C. D.6.(2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末)已知直線l過點(diǎn)且方向向量為,則l在x軸上的截距為(

)A. B.1 C. D.57.(2023·上?!じ叨n}練習(xí))如果且,那么直線不經(jīng)過第()象限A.一 B.二 C.三 D.四8.(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知向量,,且.若點(diǎn)的軌跡過定點(diǎn),則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)A. B. C. D.二、多選題9.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))過點(diǎn),且斜率的直線方程為(

)A. B.C. D.10.(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于直線:,下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.直線恒過定點(diǎn)B.直線斜率必定存在C.時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D.時(shí)直線的傾斜角為11.(2023·山東日照·高二校考階段練習(xí))下面說法中錯(cuò)誤的是()A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)、的直線都可以用方程表示12.(2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末)已知直線,其中為實(shí)常數(shù),則(

)A.直線過一定點(diǎn)B.無論m取何值,直線不經(jīng)過原點(diǎn)C.當(dāng)時(shí),直線與軸交于它的負(fù)半軸D.當(dāng)時(shí),直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是三、填空題13.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1,且過定點(diǎn),則直線l的方程為________________.14.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍,則________.15.(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線經(jīng)過點(diǎn),且它在x軸上的截距為1,則直線的方程為__________.16.(2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末)已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為,若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則直線的方程為_______.四、解答題17.(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知直線l經(jīng)過點(diǎn),,求直線l的方程,并求直線l在y軸上的截距.18.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))如圖,射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角,過點(diǎn)作直線AB分別與OA,OB交于點(diǎn)A、B,當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí),求直線AB的方程.

19.(2023·江蘇·高二假期作業(yè))已知在第一象限的中,,,,,求直線BC

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