第05講五種直線方程【題型歸納目錄】題型一：點(diǎn)斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點(diǎn)式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；3、當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：．4、表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線．知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；3、當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過兩點(diǎn)（其中）的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2、當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線與軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識(shí)點(diǎn)六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個(gè)方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程．知識(shí)點(diǎn)七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點(diǎn)一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識(shí)點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．【典例例題】題型一：點(diǎn)斜式直線方程【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一直線過點(diǎn)，它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍，則這條直線的點(diǎn)斜式方程為______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·山東青島·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是______.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為，且，則直線l的點(diǎn)斜式方程為______．題型二：斜截式直線方程【例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）傾斜角為，且過點(diǎn)的直線斜截式方程為__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·天津北辰·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的斜截式方程為______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．題型三：兩點(diǎn)式直線方程【例3】（2023·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則直線的兩點(diǎn)式方程為__．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為______．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的兩點(diǎn)式方程為，則l的斜率為______．題型四：截距式直線方程【例4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過兩點(diǎn)，的截距式方程為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式【例5】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）直線過點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為__________.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，線段PQ的中點(diǎn)為，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程【例6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)校考期末）過點(diǎn)的直線方程（一般式）為_____．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·上海浦東新·高二?？计谀┙?jīng)過點(diǎn)且斜率為2的直線的一般式方程為__．題型七：直線方程的綜合應(yīng)用【例7】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線都過點(diǎn)，求過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點(diǎn)斜式方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，求邊上的中線所在直線的方程．題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)【例8】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）不論m取何值，直線都過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題【例9】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期中）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）若直線l的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，且直線l經(jīng)過點(diǎn),則直線l的方程為()A． B． C． D．3．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）直線l經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線方程：，若不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）若直線l經(jīng)過點(diǎn)、，則以下不是直線l的方程的為（

）A． B．C． D．6．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點(diǎn)且方向向量為，則l在x軸上的截距為（

）A． B．1 C． D．57．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如果且，那么直線不經(jīng)過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四8．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量，，且．若點(diǎn)的軌跡過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過點(diǎn)，且斜率的直線方程為（

）A． B．C． D．10．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)于直線：，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線斜率必定存在C．時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為D．時(shí)直線的傾斜角為11．（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）下面說法中錯(cuò)誤的是（）A．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)、的直線都可以用方程表示12．（2023·湖南益陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線，其中為實(shí)常數(shù)，則（

）A．直線過一定點(diǎn)B．無論m取何值，直線不經(jīng)過原點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，直線與軸交于它的負(fù)半軸D．當(dāng)時(shí)，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點(diǎn)，則直線l的方程為________________.14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為__________．16．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為_______.四、解答題17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，過點(diǎn)作直線AB分別與OA，OB交于點(diǎn)A、B，當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的方程.

19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知在第一象限的中，，，，，求直線BC