第05講五種直線方程【題型歸納目錄】題型一：點斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點坐標公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應用題型八：判斷動直線所過定點題型九：直線與坐標軸形成三角形問題【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當直線的傾斜角為時，直線方程為；3、當直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4、表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數，即可以為正數、零、負數；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3、當時，斜截式方程就是一次函數的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關．4、在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉化過程不是一個等價的轉化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2、求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數，而點斜式需要三個獨立變數．在求直線方程時，要根據給出的條件采用適當的形式．一般地，已知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數個關于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關系名稱方程的形式常數的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．【典例例題】題型一：點斜式直線方程【例1】（2023·高二課時練習）一直線過點，它的傾斜角等于直線的傾斜角的兩倍，則這條直線的點斜式方程為______．【對點訓練1】（2023·山東青島·高二校考階段練習）過點斜率為3的直線的點斜式方程是______.【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知直線l經過點，傾斜角為，且，則直線l的點斜式方程為______．題型二：斜截式直線方程【例2】（2023·高二課時練習）傾斜角為，且過點的直線斜截式方程為__________．【對點訓練3】（2023·天津北辰·高二統考期中）經過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為______．【對點訓練4】（2023·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）過點且與坐標軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是______．題型三：兩點式直線方程【例3】（2023·上海金山·高二華東師范大學第三附屬中學?？茧A段練習）已知，，則直線的兩點式方程為__．【對點訓練5】（2023·高二課時練習）過點，直線的兩點式方程為______．【對點訓練6】（2023·高二課時練習）已知直線l的兩點式方程為，則l的斜率為______．題型四：截距式直線方程【例4】（2023·高二課時練習）過兩點，的截距式方程為（

）A． B． C． D．【對點訓練7】（2023·高二課時練習）直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【對點訓練8】（2023·全國·高二專題練習）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．題型五：中點坐標公式【例5】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）直線過點且與軸?軸分別交于，兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為__________.【對點訓練9】（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學?？茧A段練習）已知點，，線段PQ的中點為，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程【例6】（2023·高二課時練習）過點且在坐標軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．【對點訓練10】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區喀什第二中學校考期末）過點的直線方程（一般式）為_____．【對點訓練11】（2023·上海浦東新·高二校考期末）經過點且斜率為2的直線的一般式方程為__．題型七：直線方程的綜合應用【例7】（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線和直線都過點，求過點和點的直線方程.【對點訓練12】（2023·江蘇·高二假期作業）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊所在直線的點斜式方程.【對點訓練13】（2023·江西九江·高二?？茧A段練習）已知的三個頂點分別為，，，求邊上的中線所在直線的方程．題型八：判斷動直線所過定點【例8】（2023·高二課時練習）直線，當變動時，所有直線恒過定點坐標為（

）A． B． C． D．【對點訓練14】（2023·高二課時練習）不論m取何值，直線都過定點（

）A． B． C． D．【對點訓練15】（2023·高二課時練習）直線恒過定點（

）A． B． C． D．題型九：直線與坐標軸形成三角形問題【例9】（2023·江蘇·高二假期作業）求經過點且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為的直線的方程.【對點訓練16】（2023·浙江杭州·高二學軍中學校考期中）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【對點訓練17】（2023·全國·高二專題練習）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【過關測試】一、單選題1．（2023·高二?？颊n時練習）若直線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為1，則實數的值為（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·高二校考課時練習）若直線l的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，且直線l經過點,則直線l的方程為()A． B． C． D．3．（2023·四川瀘州·高二統考期末）直線l經過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學校聯考期中）已知直線方程：，若不經過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦東新·高二統考期中）若直線l經過點、，則以下不是直線l的方程的為（

）A． B．C． D．6．（2023·河南平頂山·高二統考期末）已知直線l過點且方向向量為，則l在x軸上的截距為（

）A． B．1 C． D．57．（2023·上海·高二專題練習）如果且，那么直線不經過第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四8．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學校聯考期中）已知向量，，且．若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇·高二假期作業）過點，且斜率的直線方程為（

）A． B．C． D．10．（2023·貴州·高二校聯考階段練習）對于直線：，下列說法錯誤的是（

）A．直線恒過定點B．直線斜率必定存在C．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為D．時直線的傾斜角為11．（2023·山東日照·高二?？茧A段練習）下面說法中錯誤的是（）A．經過定點的直線都可以用方程表示B．經過定點的直線都可以用方程表示C．不經過原點的直線都可以用方程表示D．經過任意兩個不同的點、的直線都可以用方程表示12．（2023·湖南益陽·高二統考期末）已知直線，其中為實常數，則（

）A．直線過一定點B．無論m取何值，直線不經過原點C．當時，直線與軸交于它的負半軸D．當時，直線與坐標軸圍成的三角形的面積是三、填空題13．（2023·江蘇·高二假期作業）直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距小1，且過定點，則直線l的方程為________________.14．（2023·江蘇·高二假期作業）已知直線在x軸上的截距是它在y軸上截距的4倍，則________.15．（2023·高二課時練習）已知直線經過點，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為__________．16．（2023·浙江嘉興·高二統考期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為_______.四、解答題17．（2023·高二課時練習）已知直線l經過點，，求直線l的方程，并求直線l在y軸上的截距.18．（2023·江蘇·高二假期作業）如圖，射線OA、OB分別與x軸成45°角和30°角，過點作直線AB分別與OA，OB交于點A、B，當AB的中點為P時，求直線AB的方程.

19．（2023·江蘇·高二假期作業）已知在第一象限的中，，，，，求直線BC