第10章

整式的乘法與除法

數與式…………青島版

七年級下冊內容提要冪的運算整式的乘法乘法公式代數式整式整式的加減整式的除法整式的乘除整式的乘法單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。1.單項式與單項式相乘的法則：單項式乘法法則，對于兩個以上的單項式相乘也適用．

溫故而知新2.單項式與單項式相乘的主要思想：單項式與單項式相乘乘法結合律乘法交換律有理數的乘法同底數冪的乘法轉化思想新知舊知

創設情境

導入新課

今天我們在單項式乘單項式的基礎上，應用這種轉化思想繼續學習整式乘法中的單項式乘多項式的法則。10.2整式的乘法

第10章

整式的乘法與除法

第2課時

單項式乘多項式

新知探究一

單項式乘多項式觀察與發現用于裝裱畫的長方形卷軸如圖，怎樣表示整幅卷軸的面積?即a(b+2c)=ab+2ac。卷軸面積可以表示為:a(b+2c)，也可表示為ab+2ac。因為它們表示的是同一幅卷軸的面積，所以這兩個式子相等，a(b+2c)與ab+2ac有什么數量關系？為什么？相等觀察與發現

新知探究一

單項式乘多項式觀察上面得到的等式a(b+2c)=ab+2ac，你發現它的左邊與右邊有什么特點？等式左邊表示單項式a與多項式（b+2C)相乘；等式右邊是一個多項式。等式

a(b+2c)=ab+2ac：表示單項式a與多項式（b+2C)b相乘的積等于多項式ab+2ac。你知道單項式與多項式怎樣相乘嗎？說明計算單項式乘多項式時，可以利用乘法分配率轉化為單項式乘單項式，再把所得的積相加即可。思考與交流

新知探究一

單項式乘多項式(1)對于任意的a，b，c,如何計算a(b+2c)?a(b+2c)=a·b+a·2c=ab+2ac乘法分配律單項式×單項式這樣計算的結果和前面等式一樣嗎？這說明什么？一樣。(2)計算下列各式

新知探究一

單項式乘多項式a(2a-1)2x(x+2y-3xy)=a·2a-a=2a2-a=2x·x+2x·2y-2x·3xy=2x2+4xy-6x2y（3）如何進行單項式乘多項式的運算？

新知探究一

單項式乘多項式單項式與多項式相乘單項式與單項式相乘，并把積相加乘法分配率新知舊知轉化思想

新知探究一

單項式乘多項式概括與表達單項式乘以多項式的法則：單項式與多項式相乘，先將單項式分別乘多項式的各項，再把所得的積相加。（1）利用分配率，將“單×多”轉化為“單×單”；單項式乘以多項式的步驟：（2）把各“單×單”的積再相加。m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項式）

例題講析例1.計算(1)a(a2m＋n)；(2)b2(b＋3a－a2)；(3)2xy(x2+xy)(4)(3a2x-2ax2)·(-2ax)解：＝a·a2m＋a·n＝a3m＋an＝b2·b＋b2·3a－b2·a2＝b3＋3ab2－a2b2。＝2xy·x2＋2xy·xy＝3a2x·(-2ax)－a2b2·(-2ax)＝2x3y+2x2y2=-6a3x2+2a3b2x同號相乘得正，異號相乘得負。練習1.計算：(1)b2(3a2－a－5)；

(2)(4a－b2)(－2b)；

＝－8ab＋2b3。＝4a·(－2b)－b2·(－2b)＝3a2b2－ab2－5b2。＝b2·3a2—b2·a－b2·5

針對練習解：(4)－2(3x2y－2x＋z)·xyz。＝－2xyz·3x2y－2xyz·(－2x)＋(－2xyz)·z＝－6x3y2z＋4x2yz－2xyz2。

單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號的確定：同號相乘得正，

異號相乘得負。

＝－24a6b5＋32a7b3－48a6b3。＝－8a6b3·(3b2－4a＋6)

＝m4－20m3－12m2。

例題講析解：有乘方，先算乘方，再算乘法

＝2x5y4－8x6y3。(2)(－3x＋1)·(－2x)2；

針對練習練習2.計算：＝(－3x＋1)·4x2＝(－3x)·4x2＋4x2＝－12x3＋4x2。例3.化簡求值x(2x-5)+3x(x+2)-5x(x-1)，其中x=-2.=6x解：x(2x-5)+3x(x+2)-5x(x-1)=2x2-5x+3x2+6x-5x2+5x當x=-2時原式=6×(-2）=-12

例題講析練習3.先化簡，再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.

針對練習解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)當a=-2時，=6a3

-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a原式=-20×（-2）2+9×（-2）=-98例4.如圖，一張長方形紙片的長為a，寬為b(a>b)。若要從中裁出

一張邊長為b的正方形紙片，則裁去部分的面積是多少？面積是：b(a－b)。

例題講析如圖，裁去部分為陰影部分，=ab-b2解：練習4.如圖，小明家有一塊長方形土地用來建造客廳、臥室和廚房。(1)這塊土地的總面積是多少平方米？(2)當a＝2，b＝4時，求廚房的用地面積。解：(1)由圖可知廚房長為(3a－b)m，寬為3a－2a＝a(m)。這塊土地的總面積是3a(4a＋2b)＋2a(3a－b)＋a(3a－b)＝12a2＋6ab＋6a2－2ab＋3a2－ab＝(21a2＋3ab)m2。(2)當a＝2，b＝4時，廚房的用地面積是

a(3a－b)＝2×(3×2－4)＝4(m2)。

針對練習例5.試說明：對于任意自然數n，代數式n(n＋7)－n(n－5)＋6的

值都能被6整除。

∴對于任意自然數n，代數式n(n＋7)－n(n－5)＋6的值都能被6整除。＝6(2n＋1)，＝12n＋6＝n2＋7n－n2＋5n＋6解：∵n(n＋7)－n(n－5)＋6

能力提升例6.【思想方法·整體思想】閱讀：已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值。分析：考慮到x，y的可能值較多，不能逐一代入求解，故考慮

用整體思想，將x2y＝3整體代入。

挑戰自我＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y解：2xy(x5y2－3x3y－4x)∵x2y＝3，∴原式＝2×33－6×32－8×3＝－24。請用上述方法解決下列問題。(1)已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)(－2b)的值；∵ab＝3，∴原式＝－4×33＋6×32－8×3＝－78。解：(2a3b2－3a2b＋4a)(－2b)＝－4a3b3＋6a2b2－8ab＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab。

挑戰自我(2)已知a2＋a－1＝0，求代數式a3＋2a2＋2025的值。

挑戰自我解：∵a2＋a－1＝0，∴a2＋a＝1。∴a(a2＋a)＝a，即a3＋a2＝a。a3＋2a2＋2

025＝a3＋a2＋a2＋2

025＝a＋a2＋2

025=a(a2＋a)＋a2＋2

025＝1＋2

025＝2

026。

課堂小結1.單項式乘以多項式的法則：單項式與多項式相乘，先將單項式分別乘多項式的各項，再把所得的積相加。2.數學思想----轉化思想單項式與多項式相乘單項式與單項式相乘，

并把積相加乘法分配率1．計算x(x2－1)的結果是(

)A．x3－1B．x3－xC．x3＋xD．x2－x2．化簡－x(2－3x)的結果為(

)A．－2x－6x2B．－2x＋3x2C．－2x－3x2D．－2x＋6x23．計算－5x·(2x2－x＋3)的結果為(

)A．－10x3＋5x2－15xB．－10x3－5x2＋15xC．10x3－5x2－15xD．－10x3＋5x2－3

A

B

B

課堂小結(1)6x(x－3y)；