18.2.2菱形的判定方法1．探索并掌握菱形的3種判定方法；2．靈活應(yīng)用菱形的3種判定方法進(jìn)行證明和計(jì)算．學(xué)習(xí)任務(wù)菱形的性質(zhì)=平行四邊形的性質(zhì)+特殊性質(zhì).ABCOD邊：菱形的四條邊都相等角：兩組對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)對(duì)角線：互相平分垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸知識(shí)回顧菱形的面積=

底×高

=

對(duì)角線乘積的一半ABCDOE法1：

S菱形ABCD=底×高=BC·AE.法2：S菱形ABCD=AC·BD.情境引入如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個(gè)菱形.你知道其中的道理嗎?思考：如何判定一個(gè)四邊形是菱形？ABCD解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn).∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩張等寬的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放在一起，∴AE=AF，∴S?ABCD=BC?AE=CD?AF，∴BC=DC，∴四邊形ABCD是菱形．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個(gè)菱形.你知道其中的道理嗎?EF定義法由菱形的定義可知，有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形有一組鄰邊相等菱形幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.ABCD思考：除了定義以外，還有沒有其他判定菱形的方法呢？與研究平行四邊形、矩形的判定方法類似，我們研究菱形的性質(zhì)定理的逆命題，看看它們是否成立.菱形的判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形的判定定理1：四條邊相等的四邊形是菱形.幾何語言：∵在?ABCD中,AC⊥BD，∴?ABCD是菱形.幾何語言：∵在四邊形ABCD

中，

AB=BC=CD=AD，∴四邊形

ABCD

是菱形.1.判斷(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形．√

╳

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概念理解

CABD理由：四條邊相等的四邊形是菱形.菱形的特殊性質(zhì)1：菱形的對(duì)角線互相垂直逆命題對(duì)角線互相垂直的的四邊形是菱形菱形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅互相垂直且平分.我猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.這個(gè)命題是真命題嗎？3.4.用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形？為什么？理由：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.答：當(dāng)兩根木條互相垂直時(shí)，四邊形變成菱形.例1.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求證：四邊形ABFE是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE.∴四邊形ABFE是菱形．【小結(jié)】本題利用菱形的定義判定菱形.典例精析證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵AE=AC，AD=AD，∴△ACD≌△AED(SAS).同理，△ACF≌△AEF.∴CD=ED，CF=

EF.又∵

EF=ED，∴CD=ED=CF=EF.∴四邊形

CDEF是菱形.

例2.如圖，在△ABC中，

AD是角平分線，點(diǎn)

E、F分別在

AB、

AD上，且

AE=AC，EF=ED.求證：四邊形

CDEF是菱形.【小結(jié)】本題利用“四條邊相等的四邊形是菱形”的方法來判定菱形.

練習(xí)2.如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10.求證：四邊形ABCD是菱形．

【小結(jié)】本題利用“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”來判定菱形.練習(xí)3.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，EF⊥AC.求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．練習(xí)4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以CD，CB為邊作平行四邊形CDEB，當(dāng)AD＝__________時(shí)，平行四邊形CDEB為