8.3.2獨立性檢驗導(dǎo)學(xué)案班級：姓名：學(xué)習(xí)目標(biāo)通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用．重點難點重點：2×2列聯(lián)表，獨立性檢驗的思想和方法．難點：卡方統(tǒng)計量的導(dǎo)出和意義，獨立性檢驗的思想和方法．課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點一分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示．知識點二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．2．定義一對分類變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0abX＝1cdc＋d合計a＋cn＝像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表．知識點三獨立性檢驗1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨立性檢驗解決實際問題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．分類變量中的變量與函數(shù)的變量是同一概念．()等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨立性檢驗中χ2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?)事件A與B的獨立性檢驗無關(guān)，即兩個事件互不影響．()χ2的大小是判斷事件A與B是否相關(guān)的統(tǒng)計量．()概率值α越小，臨界值xα越大．()獨立性檢驗的思想類似于反證法．()獨立性檢驗的結(jié)論是有多大的把握認為兩個分類變量有關(guān)系．(√)2.某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運用列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：有__________的把握認為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．3.通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好體育，男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110得到上表：參照附表，得到的正確結(jié)論是（

）附：由公式算得：附表：0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A．有以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關(guān)”B．有以上的把握認為“愛好體育運動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好體育運動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好體育運動與性別無關(guān)”4.為了豐富教職工業(yè)余文化生活，某校計劃在假期組織70名老師外出旅游，并給出了兩種方案(方案一和方案二)，每位老師均選擇且只選擇一種方案，其中有50%的男老師選擇方案一，有75%的女老師選擇方案二，且選擇方案一的老師中女老師占40%，則參照附表，得到的正確結(jié)論是（

）附：()0.100.050.0252.7063.8415.024，.A．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，認為“選擇方案與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，認為“選擇方案與性別無關(guān)”C．有95%以上的把握認為“選擇方案與性別有關(guān)”D．有95%以上的把握認為“選擇方案與性別無關(guān)”5.對分類變量和進行獨立性檢驗的零假設(shè)為（

）A．：分類變量和獨立B．：分類變量和不獨立C．：D．：分類變量和相關(guān)聯(lián)新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 (1)舊知回顧：在上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了列聯(lián)表，由隨機事件的穩(wěn)定性，了解并作出判斷兩個分類變量是否有關(guān)聯(lián)，請同學(xué)們思考：用頻率推斷兩個分類變量是否獨立有什么缺點？ 前面我們通過列聯(lián)表整理成對分類變量的樣本觀測數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)．(2)問題激發(fā)：有沒有更合理的推斷方法，同時也希望對出現(xiàn)的錯誤推斷的概率一定的控制或估算？由概率知識分析，如果兩個事件的獨立，它們的充要條件是什么？ 我們需要更好的方法彌補因頻率的隨機性帶來判斷兩個分類變量的不可靠性，改進提高判斷的結(jié)論科學(xué)性與穩(wěn)定性．如何改進提高，先回頭看獨立事件，我們已知道，事件與事件獨立的充要條件是，這與兩個分類變量的頻率之間又有什么樣的聯(lián)系呢？對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大．因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算．考慮以為樣本空間的古典概型．我們將兩個分類變量的列聯(lián)表抽象簡化，以0，1分別表示事件發(fā)生的兩種結(jié)果，如下表所示，獨立的另一層含義，即我們需要了解事件與是否存在關(guān)聯(lián)？ 我們知道與不獨立，互為對立事件，與不獨立，互為對立事件． 我們需要判斷下面的假定關(guān)系：是否成立？設(shè)和為定義在上，取值于的成對分類變量．我們希望判斷事件和之間是否有關(guān)聯(lián)．注意到和，和都是互為對立事件，與前面的討論類似，我們需要判斷下面的假定關(guān)系是否成立，通常稱為零假設(shè)或原假設(shè)．這里，表示從中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于的概率，而表示從中隨機選取一個樣本點，該樣本點屬于的概率．由條件概率的定義可知，零假設(shè)等價于或①注意到和為對立事件，于是，再由概率的性質(zhì)，我們有．由此推得①式等價于．因此，零假設(shè)等價于與獨立．根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的概率知識，下面的四條性質(zhì)彼此等價：與獨立；與獨立；與獨立；與獨立．如果這些性質(zhì)成立，我們就稱分類變量和獨立，這相當(dāng)于下面四個等式成立：；；；．因此，我們可以用概率語言，將零假設(shè)改述為：：分類變量和獨立．根據(jù)我們通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表8.33所示．表8.33合計合計8.33是關(guān)于分類變量和的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；中間的四個數(shù)是事件的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本容量．對于隨機樣本，表8.33中的頻數(shù)a，b，c，d都是隨機變量，而表8.32中的響應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機變量的一次觀測結(jié)果．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考：如何基于②中的四個等式及列聯(lián)表8.33中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，對成對的分類變量X和Y是否相互獨立作出推斷？在零假設(shè)成立的條件下，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，由②中的第一個等式，我們可以用概率和對應(yīng)的頻率的乘積估計概率，而把視為事件發(fā)生的頻數(shù)的期望值（或預(yù)期值）．這樣，該頻數(shù)的觀測值和應(yīng)該比較接近．綜合②中的四個式子，如果零假設(shè)成立，下面四個量的取值都不應(yīng)該太大：，，，．③反之，當(dāng)這些量的取值較大時，就可以推斷不成立．顯然，分別考慮③中的四個差的絕對值很困難．我們需要找到一個既合理又能夠計算分布的統(tǒng)計量，來推斷是否成立．一般來說，若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對值也會較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對值也會較?。疄榱撕侠淼仄胶膺@種影響，我們將四個差的絕對值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計量：．該表達式可化簡為．（1）問題4:那么,究竟χ2大到什么程度,可以推斷H0不成立呢?或者說,怎樣確定判斷χ統(tǒng)計學(xué)家建議，用隨機變量取值的大小作為判斷零假設(shè)是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷不成立，否則認為成立．那么，究竟大到什么程度，可以推斷不成立呢？或者說，怎樣確定判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過確定一個與相矛盾的小概率事件來實現(xiàn)．在假定的條件下，對于有放回簡單隨機抽樣，當(dāng)樣本容量充分大時，統(tǒng)計學(xué)家得到了的近似分布．忽略的實際分布與該近似分布的誤差后，對于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)，使得下面關(guān)系成立：．我們稱為的臨界值，這個臨界值就可作為判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值越小，臨界值越大．當(dāng)總體很大時，抽樣有、無放回對的分布影響較?。虼?，在應(yīng)用中往往不嚴(yán)格要求抽樣必須是有放回的．由④式可知，只要把概率值取得充分小，在假設(shè)成立的情況下，事件是不大可能發(fā)生的．根據(jù)這個規(guī)律，如果該事件發(fā)生，我們就可以推斷不成立．不過這個推斷有可能犯錯誤，但犯錯誤的概率不會超過．基于小概率值的檢驗規(guī)則是：當(dāng)時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立．這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence)．表8.34給出了獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．表8.340.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828例如，對于小概率值，我們有如下的具體檢驗規(guī)則：（1）當(dāng)時，我們推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05；（2）當(dāng)時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，即認為和獨立．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例2依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異？思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎？事實上，如前所述，例1只是根據(jù)一個樣本的兩個頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機性可能導(dǎo)致的錯誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分．在例2中，我們用獨立性檢驗對零假設(shè)進行了檢驗．通過計算，發(fā)現(xiàn)小于所對應(yīng)的臨界值2.706，因此認為沒有充分證據(jù)推斷不成立，所以接受，推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒有顯著差異的結(jié)論．這個檢驗結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個頻率的差異很有可能是由樣本隨機性導(dǎo)致的．因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的．由此可見，相對于簡單比較兩個頻率的推斷，用獨立性檢驗得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分．當(dāng)我們接受零假設(shè)時，也可能犯錯誤．我們不知道犯錯誤這類錯誤的概率的大小，但是知道，若越大，則越?。?某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機抽樣的方法對治療情況進行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名．試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好．觀察：在表8.35中，若對調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，則表達式(1)中a，b，c，d的賦值都會相應(yīng)地改變．這樣做會影響取值的計算結(jié)果嗎？環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例4為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡單隨機抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對樣本觀測數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計結(jié)果，如表8.36所示．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險．表8.36單位：人吸煙肺癌合計非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計9874919965總結(jié)上面的例子，應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致應(yīng)包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：（1）提出零假設(shè)：和相互獨立，并給出在問題中的解釋．（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出列聯(lián)表，計算的值，并與臨界值比較．（3）根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論．（4）在和不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析和間的影響規(guī)律．注意，上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整例如，在有些時候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的．思考:獨立性檢驗的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？簡單地說，反證法是在某種假設(shè)之下，推出一個矛盾結(jié)論，從而證明不成立；而獨立性檢驗是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯誤的概率不大于這個小概率．另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會犯錯誤，但獨立性檢驗會犯隨機性錯誤．獨立性檢驗的本質(zhì)是比較觀測值與期望值之間的差異，由所代表的這種差異的大小是通過確定適當(dāng)?shù)男「怕手颠M行判斷的．這是一種非常重要的推斷方法，不僅有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，也開啟了人類認識世界的一種新的思維方式．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：課本134頁3、4題 備用練習(xí)1.“獨立性檢驗”中，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為事件A和B有關(guān)，則算出的數(shù)據(jù)滿足（）A． B． C． D．2.經(jīng)過對x2的統(tǒng)計量的研究，得到了若干個臨界值，當(dāng)x2<2.706時，我們認為事件A與B（

）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．有95%的把握認為A與B有關(guān)系B．有99%的把握認為A與B有關(guān)系C．沒有充分理由說明事件A與B有關(guān)系D．不能確定3.某地政府調(diào)查育齡婦女生育意愿與家庭年收入高低的關(guān)系時，隨機調(diào)查了當(dāng)?shù)?000名育齡婦女，用獨立性檢驗的方法處理數(shù)據(jù)，并計算得，則根據(jù)這一數(shù)據(jù)以及臨界