廣東省中山一中等七校重點中學2025屆下學期期末考試高三年級數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或2．已知集合，則=A． B． C． D．3．設等差數列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．4．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元5．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]6．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．337．若的二項展開式中的系數是40，則正整數的值為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．9．已知函數，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或810．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．11．已知函數，則下列結論錯誤的是()A．函數的最小正周期為πB．函數的圖象關于點對稱C．函數在上單調遞增D．函數的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到12．已知復數z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復數是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數滿足則點構成的區域的面積為____，的最大值為_________14．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.15．已知函數f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在點（e，f（e））處的切線方程為y=3x﹣e，則a+b=_____.16．若，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）18．（12分）已知直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.19．（12分）已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若，證明.20．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：.過點的直線：（為參數）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求實數的值.21．（12分）已知數列的各項都為正數，，且．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，其中表示不超過x的最大整數，如，，求數列的前2020項和．22．（10分）設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先根據弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當直線的方程為，聯立，解得和，所以；同理，當直線的方程為.，綜上，或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.2．C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數學運算素養．采取數軸法，利用數形結合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領會交集的含義易致誤，區分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3．A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.4．D【解析】

設目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結果即可．【詳解】設目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題，屬于基礎題．5．D【解析】

設，可得，構造（）22，結合，可得，根據向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點睛】本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.6．C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.7．B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題8．D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．9．B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值，可得結果.【詳解】函數，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題，屬基礎題10．B【解析】

可畫出圖形，根據條件可得，從而可解出，然后根據，進行數量積的運算即可求出．【詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.11．D【解析】

由可判斷選項A；當時，可判斷選項B；利用整體換元法可判斷選項C；可判斷選項D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當時，，所以B正確；當時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查余弦型函數的性質，涉及到周期性、對稱性、單調性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.12．D【解析】

兩邊同乘-i，化簡即可得出答案．【詳解】i?z＝2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復數為1+2i，選D.【點睛】的共軛復數為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．811【解析】

畫出不等式組表示的平面區域，數形結合求得區域面積以及目標函數的最值.【詳解】不等式組表示的平面區域如下圖所示：數形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區域面積；令，變為，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規劃問題，涉及區域面積的求解，屬基礎題.14．【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.15．0【解析】

由題意，列方程組可求，即求.【詳解】∵在點處的切線方程為，，代入得①.又②.聯立①②解得：..故答案為：0.【點睛】本題考查導數的幾何意義，屬于基礎題.16．【解析】

由已知利用兩角差的正弦函數公式可得，兩邊平方，由同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式即可計算得解．【詳解】，得，在等式兩邊平方得，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）分布列見解析；（2）406.【解析】

（1）計算個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，得到分布列.（2）計算，代入數據計算比較大小得到答案.【詳解】（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為.依題意可知，，所以的分布列為：（2）方案②中.結合（1）知每個人的平均化驗次數為：時，，此時1000人需要化驗的總次數為690次，時，，此時1000人需要化驗的總次數為604次，時，，此時1000人需要化驗的次數總為594次，即時化驗次數最多，時次數居中，時化驗次數最少，而采用方案①則需化驗1000次，故在這三種分組情況下，相比方案①，當時化驗次數最多可以平均減少次.【點睛】本題考查了分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.18．（1）直線普通方程：，曲線直角坐標方程：；（2）.【解析】

（1）消去直線參數方程中的參數即可得到其普通方程；將曲線極坐標方程化為，根據極坐標和直角坐標互化原則可得其直角坐標方程；（2）將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數的幾何意義可知，利用韋達定理求得結果.【詳解】（1）由直線參數方程消去可得普通方程為：曲線極坐標方程可化為：則曲線的直角坐標方程為：，即（2）將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，整理可得：設兩點對應的參數分別為：，則，【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化、參數方程與普通方程的互化、直線參數方程中參數的幾何意義的應用；求解距離之和的關鍵是能夠明確直線參數方程中參數的幾何意義，利用韋達定理來進行求解.19．（1）單調遞減區間為，，無單調遞增區間（2）證明見解析【解析】

（1）求導，根據導數的正負判斷單調性，（2）整理，化簡為，令，求的單調性，以及，即證.【詳解】解：（1）函數定義域為，則，令，，則，當，，單調遞減；當，，單調遞增；故，，，，故函數的單調遞減區間為，，無單調遞增區間.（2）證明，即為，因為，即證，令，則，令，則，當時，，所以在上單調遞減，則，，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以要證原不等式成立，只需證當時，，令，，，可知對于恒成立，即，即，故，即證，故原不等式得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，利用導數證明不等式，函數的最值問題，屬于中檔題．20．（1），；（2）.【解析】

（1）將代入求解，由（為參數）消去即可.（2）將（為參數）與聯立得，設，兩點對應的參數為，，則，，再根據，即，利用韋達定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數），消去得，∴曲線的直角坐標方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數）代入得，設，兩點對應的參數為，，則，，由得，所以，即，所以，而，解得.【點睛】本題主要考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的轉化和直線參數方程的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數列是正項數列，得到，根據數列是等比數列求通項公式；（Ⅱ），根據新定義和對數的運算分類討論數列的通項公式，并求前2020項和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數列的各項都為正數，∴，即．∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數列的前2020項的和為．【點睛】本題考查根據數列的遞推公式求通項公式和數列的前項和，意在考查轉化與化歸的思想，計算能力，屬于中檔題型.22．（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周