天津濱海新區大港第八中學2025屆高三2月階段性測試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．2．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．3．在中，，，，若，則實數()A． B． C． D．4．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．35．若函數在處有極值，則在區間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．36．設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．7．若集合，，則=（）A． B． C． D．8．已知函數，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數的圖象的一條對稱軸是，則的最小值為A． B． C． D．9．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A． B． C． D．10．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直11．在明代程大位所著的《算法統宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．12．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某次足球比賽中，，，，四支球隊進入了半決賽.半決賽中，對陣，對陣，獲勝的兩隊進入決賽爭奪冠軍，失利的兩隊爭奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.獲勝概率—0.40.30.8獲勝概率0.6—0.70.5獲勝概率0.70.3—0.3獲勝概率0.20.50.7—則隊獲得冠軍的概率為______.14．已知直角坐標系中起點為坐標原點的向量滿足，且，，，存在，對于任意的實數，不等式，則實數的取值范圍是______.15．如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.16．若函數在區間上恰有4個不同的零點，則正數的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知．（1）若的解集為，求的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．18．（12分）已知正實數滿足.（1）求的最小值.（2）證明：19．（12分）已知離心率為的橢圓經過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.20．（12分）已知函數，記不等式的解集為.（1）求；（2）設，證明：.21．（12分）市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張提供了兩種貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數據：.22．（10分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由函數性質,結合特殊值驗證,通過排除法求得結果.【詳解】對于選項B,為奇函數可判斷B錯誤;對于選項C,當時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數在第一象限的圖象無增區間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數的圖象判斷解析式問題,通過函數性質及特殊值利用排除法是解決本題的關鍵,難度一般.2、A【解析】

由，得到，得出，再結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.3、D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.4、C【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數.【詳解】設正方體邊長為，建立空間直角坐標系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.5、B【解析】

根據極值點處的導數為零先求出的值，然后再按照求函數在連續的閉區間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數極值的性質以及利用導數求函數在連續的閉區間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．6、B【解析】

設過點作的垂線，其方程為，聯立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．7、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．8、C【解析】

將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，因為函數的圖象的一條對稱軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．9、B【解析】

利用等差數列的性質求出的值，然后利用等差數列求和公式以及等差中項的性質可求出的值.【詳解】由等差數列的性質可得，.故選：B.【點睛】本題考查等差數列基本性質的應用，同時也考查了等差數列求和，考查計算能力，屬于基礎題.10、D【解析】

根據異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據異面直線的性質知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據異面直線的性質知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.11、D【解析】

設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數列,,結合等比數列的性質可求出答案.【詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數列與數學文化,考查了等比數列的性質,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.12、D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.18【解析】

根據表中信息，可得勝C的概率；分類討論B或D進入決賽，再計算A勝B或A勝C的概率即可求解.【詳解】由表中信息可知，勝C的概率為；若B進入決賽，B勝D的概率為，則A勝B的概率為；若D進入決賽，D勝B的概率為，則A勝D的概率為；由相應的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為.故答案為：0.18【點睛】本題考查了獨立事件的概率應用，互斥事件的概率求法，屬于基礎題.14、【解析】

由題意可設，，，由向量的坐標運算，以及恒成立思想可設，的最小值即為點，到直線的距離，求得，可得不大于．【詳解】解：，且，可設，，，，可得，可得的終點均在直線上，由于為任意實數，可得時，的最小值即為點到直線的距離，可得，對于任意的實數，不等式，可得，故答案為：．【點睛】本題主要考查向量的模的求法，以及兩點的距離的運用，考查直線方程的運用，以及點到直線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．15、【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關系，進而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關系，進而求得結果.【詳解】設所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.16、；【解析】

求出函數的零點，讓正數零點從小到大排列，第三個正數零點落在區間上，第四個零點在區間外即可．【詳解】由，得，，，，∵，∴，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數的零點，根據正弦函數性質求出函數零點，然后題意，把正數零點從小到大排列，由于0已經是一個零點，因此只有前3個零點在區間上．由此可得的不等關系，從而得出結論，本題解法屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式，再根據根與系數的關系求出的值；（2）利用絕對值不等式求出的最小值，把不等式化為只含有的不等式，求出不等式解集即可．【詳解】（1）不等式，即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數根即，解得（2）因為所以要使不等式恒成立，只需當時，，解得，即；當時，，解得，即；綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應用問題，也考查了分類討論思想，是中檔題．18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為，所以因為，所以（當且僅當，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當且僅當時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.19、(1)；(2)是，【解析】

(1)根據及可得，再將點代入橢圓的方程與聯立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯立，用根與系數的關系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用可求出，從而可確定點恒在一條直線上，結合圖形即可求出的面積．【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以，即，又，所以，①因為點在橢圓上，所以，②由①②解得，所以橢圓C的方程為．(1)可知，，可設所在直線的方程為，由，得，設，，，則，，設直線、、的斜率分別為、、，因為三點共線，所以，即，所以，又，因為直線、、的斜率成等差數列，所以，即，化簡得，即點恒在一條直線上，又因為直線方程為，且，所以是定值.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系及橢圓中的定值問題，屬于中檔題．20、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標因式分解，結合（1）的結論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因為，所以，，所以，所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎題.21、（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解析】

（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，即可由等差數列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，設小張每