二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質人教版九年級上冊教學目標010203會畫二次函數y=a(x-h)2+k的圖象學會二次函數性質的應用掌握二次函數y=a(x-h)2+k的性質01重點：1.理解并掌握二次函數y=a(x-h)2+k的性質.2.掌握二次項系數a的作用．02難點：理解并掌握二次函數y=a(x-h)2+k的性質.重難點01二次函數的圖象新課導入1.說出下列函數圖象的開口方向,對稱軸,頂點,最值和增減變化情況:(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO2.請說出二次函數y=-2x2的開口方向、頂點坐標、對稱軸及最值？3.把y=-2x2的圖像向上平移3個單位y=-2x2+3向左平移2個單位y=-2(x+2)24.請猜測一下，二次函數y=-2(x+2)2+3的圖象是否可以由y=-2x2平移得到？你認為該如何平移呢？02二次函數的性質a,c的符號a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0圖像開口方向對稱軸頂點坐標函數的增減性最值向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0,c）（0,c）當x<0時，y隨x增大而減小；當x>0時，y隨x增大而增大.當x<0時，y隨x增大而增大；當x>0時，y隨x增大而減小.x=0時，y最小值=cx=0時，y最大值=c問題1

說說二次函數y=ax2+c(a≠0)的圖像的特征.問題2

二次函數y=ax2+c（a≠0）與y=ax2（a≠0）

的圖像有何關系？答：二次函數y=ax2+c（a≠0）的圖像可以由y=ax2（a≠0）的圖像平移得到：當c>0時，向上平移c個單位長度得到.當c<0時，向下平移-c個單位長度得到.

問題3

函數的圖像，能否也可以由函數平移得到？答：應該可以.二次函數y=a（x-h）2的圖像和性質一例1

畫出二次函數.的圖像，并考慮它們的開口方向、對稱軸和頂點．x···－3－2－10123···············－2－4.5－200－2－2－22－2－4－64－4－4.50xy－8xyO－22－2－4－64－4拋物線開口方向對稱軸頂點坐標向下直線x=-1(-1,0)直線x=0直線x=1向下向下(0,0)(1,0)a＞0時，開口

,最____點是頂點;a＜0時，開口

,最____點是頂點;

對稱軸是

.

頂點坐標是

.向上低向下高直線x=h(h,0)知識要點二次函數y=a（x-h)2

的特點若拋物線y＝3(x＋)2的圖像上的三個點，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，則y1，y2，y3的大小關系為________________．解析：∵拋物線y＝3(x＋)2的對稱軸為x＝－，a＝3＞0，∴x＜－時，y隨x的增大而減小；x＞－時，y隨x的增大而增大．∵點A的坐標為(－3，y1)，∴點A在拋物線上的對稱點A′的坐標為(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案為y2＜y3＜y1.練一練y2＜y3＜y1向右平移1個單位二次函數y=ax2與y=a(x-h)2的關系二想一想拋物線與拋物線有什么關系？xyO－22－2－4－64－4向左平移1個單位二次函數y=ax2

與y=a（x-h)2的關系可以看作互相平移得到.左右平移規律：括號內：左加右減；括號外不變.知識要點例2.拋物線y＝ax2向右平移3個單位后經過點(－1，4)，求a的值和平移后的函數關系式．解：二次函數y＝ax2的圖像向右平移3個單位后的二次函數關系式可表示為y＝a(x－3)2.把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，.∴平移后二次函數關系式為y＝(x－3)2.方法總結：根據拋物線左右平移的規律，向右平移3個單位后，a不變，括號內應“減去3”；若向左平移3個單位，括號內應“加上3”，即“左加右減”．將二次函數y＝－2x2的圖像平移后，可得到二次函數y＝－2(x＋1)2的圖像，平移的方法是(

).A．向上平移1個單位B．向下平移1個單位C．向左平移1個單位D．向右平移1個單位解析：拋物線y＝－2x2的頂點坐標是(0，0)，拋物線y＝－2(x＋1)2的頂點坐標是(－1，0)．則由二次函數y＝－2x2的圖像向左平移1個單位即可得到二次函數y＝－2(x＋1)2的圖像．故選C.練一練C二次函數y=a（x-h）2+k的圖像和性質三例3

畫出函數的圖像.指出它的開口方向、頂點與對稱軸.探究歸納…………210-1-2-3-4x解:先列表再描點、連線-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直線x=－1開口方向向下；對稱軸是直線x=-1;頂點坐標是(-1,-1)試一試

畫出函數y=2（x+1）2-2圖像，并說出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點.開口方向向下；對稱軸是直線x=-1;頂點坐標是(-1,-2)-22xyO-2468-424知識要點二次函數y=a（x-h)2+k的特點a＞0時，開口

,最

點是頂點;a＜0時，開口

,最

點是頂點;對稱軸是

，頂點坐標是

.向上低向下高直線x=h(h,k)頂點式例4.已知二次函數y＝a(x－1)2－c的圖像如圖所示，則一次函數y＝ax＋c的大致圖像可能是(

).解析：根據二次函數開口向上則a＞0，根據－c是二次函數頂點坐標的縱坐標，得出c＞0，故一次函數y＝ax＋c的大致圖像經過第一、二、三象限．故選A.典例精析A例5.已知二次函數y＝a(x－1)2－4的圖像經過點(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是該函數圖像上的兩點，當y1＝y2時，求m、n之間的數量關系．解：(1)將(3，0)代入y＝a(x－1)2－4.得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根據題意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4.

∵y1＝y2.∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化簡，得2m＋n＝2；方法二：∵函數y＝(x－1)2－4的圖像的對稱軸是經過點(1，－4)，且平行于y軸的直線.∴m＋n－1＝1－m，化簡，得2m＋n＝2.方法總結：已知函數圖像上的點，則這點的坐標必滿足函數的表達式，代入即可求得函數解析式．例6

要修建一個圓形噴水池,在池中心豎直安裝一根水管.在水管的頂端安裝一個噴水頭,使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高,高度為3m,水柱落地處離池中心3m,水管應多長?C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如圖建立直角坐標系,

點(1,3)是圖中這段拋物線的頂點.

因此可設這段拋物線對應的函數是∵這段拋物線經過點(3,0).∴0=a(3－1)2＋3.解得:因此拋物線的解析式為:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).當x=0時,y=2.25.答:水管長應為2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－向左平移1個單位二次函數y=a(x-h)2+k與y=ax2的關系四12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10探究歸納怎樣移動拋物線就可以得到拋物線？平移方法1向下平移1個單位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎樣移動拋物線就可以得到拋物線？平移方法2向左平移1個單位向下平移1個單位二次函數y=ax2

與y=a（x-h)2+k的關系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移規律簡記為：上下平移，括號外上加下減；左右平移，括號內左加右減.二次項系數a不變.要點歸納03二次函數的應用1.請回答拋物線y=4(x－3)2＋7由拋物線y=4x2怎樣平移得到?由拋物線向上平移7個單位再向右平移3個單位得到的.2.如果一條拋物線的形狀與形狀相同，且頂點坐標是（4，-2），試求這個函數關系式.練一練1.把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個單位長度，那么平移后拋物線的解析式是

.2.二次函數y=2(x-)2圖像的對稱軸是直線_______，頂點是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）為二次函數y=(x-2)2圖像上的三點，則y1

，y2

，y3的大小關系為_______________.當堂練習

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2

y1

＞y2

＞y3

4.指出下列函數圖像的開口方向,對稱軸和