相似三角形一、單選題1．（2022·福建·九年級統考競賽）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，點M是CD邊的中點，點E，F分別是邊AB，BC上的點，且AF⊥ME，G為垂足．若EB=2，BF=1，則四邊形BFGE的面積為（

）A． B． C． D．2．（2014·全國·八年級競賽）已知的三邊長分別為2，3，4，為三角形內一點，過點作三邊的平行線，交各邊于、、、、、（如圖），如果，則（

）A． B． C． D．3．（2016·全國·九年級競賽）如圖，在四邊形中，，，，對角線的交點為，則（

）A． B． C． D．4．（2016秋·山東泰安·九年級競賽）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，點P從點A出發，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動；同時，動點Q從點B出發沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應點為點P′．設點Q運動的時間為t秒，若四邊形QPCP′為菱形，則t的值為（）A． B．2 C．2 D．35．（2014·全國·九年級競賽）在中，，D在上，E在上，使得為等腰直角三角形，，則的長為（）A． B． C． D．6．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）△ABC中，D、E、F分別是在AB、AC、BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，那么下列各式正確的是(

).A．= B．= C．= D．=7．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是().A．(2,) B．(－2，-)C．(2,)或(－2，) D．(2,)或(－2，-)8．（2015秋·山東泰安·九年級競賽）如圖，直線l和雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點，P是線段AB上的點(不與A、B重合)，過點A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP，設△AOC的面積為、△BOD的面積為、△POE的面積為，則（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2023春·浙江寧波·九年級校聯考競賽）如圖，在四邊形設中，，，是等邊三角形，且點在上，如果，，的面積為________．10．（2018·全國·八年級競賽）若，則的值為_____．11．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則________．三、解答題12．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考競賽）回答下列問題：(1)如圖，當時，，將△PAB繞B點順時針旋轉90°畫出旋轉后的圖形；(2)在（1）中，若，，，求的大小．(3)如圖，，，且，，，則△面積是．(4)如圖，△ABC中，，，點P在△ABC內，且，，，求△ABC的面積．13．（2023春·浙江寧波·九年級校聯考競賽）如圖1，四邊形ABCD和AEFG都是菱形，∠DAB=∠GAE=60°，點G,E分別在邊AD，AB上，點F在菱形ABCD內部，將菱形AEFG繞點A旋轉一定角度α，點E、F始終在菱形ABCD內部．（1）如圖2，求證：△DGA≌△BEA；（2）如圖3，點P、Q分別在AB、AD的延長線上，連接AF并延長與∠QDC的平分線交于點H，連接AE并延長與∠PBC的平分線交于K，連接DH、HK、CH、CK．①求證：△ADH∽△KBA；②若AB=2，DH=5，則線段BK的長度為，線段HK的長度為．③菱形AEFG繞點A旋轉α度（0°<α<30°），AB=m，△KBC是等腰三角形，則線段HK的長為．14．（2015秋·山東臨沂·九年級競賽）如圖，在平行四邊形中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于點F．已知，，求△CDF的面積．15．（2013·浙江紹興·九年級競賽）如圖.AD、AH分別是△ABC（其中AB＞AC）的角平分線、高線，M點是AD的中點，△MDH的外接圓交CM于E，求證∠AEB=90°．16．（2013·全國·七年級競賽）已知四條直線、、、依次相交于O，過上的任意一點引平行于的直線交于點，過引平行于的直線交于點，過引平行于的直線交于點，過引平行于的直線交于點P．求證：．17．（2018·全國·九年級競賽）如圖，在扇形中，，，點在上，，點為的中點，點為弧上的動點，與的交點為．（1）當四邊形的面積最大時，求；（2）求的最小值．18．（2017春·江蘇鎮江·九年級競賽）如圖，已知：正方形ABCD中，AB=8，點O為邊AB上一動點，以點O為圓心，OB為半徑的⊙O交邊AD于點E（不與點A、D重合），EF⊥OE交邊CD于點F．設BO=x，AE=y．（1）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（2）在點O運動的過程中，△EFD的周長是否發生變化？如果發生變化，請用x的代數式表示△EFD的周長；如果不變化，請求出△EFD的周長；（3）以點A為圓心，OA為半徑作圓，在點O運動的過程中，討論⊙O與⊙A的位置關系，并寫出相應的x的取值范圍．參考答案：1．B【分析】設，得到，．作于，先證明出，利用性質建立等式解出，利用勾股定理求出，再根據，利用相似比求出面積即可．【詳解】解：設，則，．作于，則．所以．所以，即，解得．于是，．所以，．又，所以．因此．所以．【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定及性質、勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定．2．D【分析】首先證得四邊形，四邊形，四邊形均為平行四邊形，利用相似三角形的判定和性質可得，易得，利用平行四邊形的性質可得，求得，利用相似三角形的性質列方程，解得x．【詳解】解：∵，，，∴四邊形，四邊形，四邊形均為平行四邊形，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，解得．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定及性質定理和相似三角形的判定及性質定理，能夠用x表示出其它邊的長是解答此題的關鍵．3．D【分析】過點作于點，利用有兩個角相等的三角形相似判定，根據相似三角形的性質得比例式，設，用含的式子分別表示出、、，再由面積法得出的第二種表示方法，從而得關于的方程，解得的值，則的值可得，然后用勾股定理求得即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，，，，，，設，由于，故，在中，由勾股定理得：，則，顯然，化簡整理得解得，不符合題意，舍去），故，在中，，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理在計算中的應用、面積法及方程思想在幾何計算中的應用，本題具有一定的難度．4．B【分析】首先連接PP′交BC于O，根據菱形的性質可得PP′⊥CQ，可證出PO∥AC，根據平行線分線段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的長，代入比例式可以算出t的值．【詳解】解：連接PP′交BC于O，∵若四邊形QPCP′為菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴∵設點Q運動的時間為t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6-t，∴CO=3-，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴解得：t=2，故選B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例；等腰直角三角形及菱形的性質．5．A【分析】過點E作，交于點F，證明和全等，得出，設，利用平行線分線段成比例定理，列出比例式，列方程解答．【詳解】過點E作，交于點F，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，設，所，∵∴，即，解得，∴．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．6．C【詳解】試題分析：根據題意畫出圖形，如圖：∵DE∥BC，∴，故A、D錯誤；∵EF∥AB，∴△ABC≌△EFC，∴，故B錯誤；∵DE∥BC，EF∥AB，∴，∴，故C正確；故選C.考點：1、相似三角形的判定和性質；2、平行線分線段成比例定理.7．D【詳解】解：根據位似圖形的性質可知，當矩形OA′B′C′在第一象限時，，，此時點B′的坐標為(2,)；當矩形OA′B′C′在第四象限時，點B′的坐標為(－2，-).故選D.【點睛】此題考查了位似變換與坐標與圖形的性質．此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握數形結合思想的應用．8．D【分析】根據雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S＝解答即可．【詳解】解：根據雙曲線的解析式可得所以可得設OP與雙曲線的交點為，過作x軸的垂線，垂足為M因此而圖象可得所以故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積為，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．9．【分析】作，交于點，過點作，垂足為，證明，可得，設：，則，，，證明，根據相似三角形對應邊成比例可得，即可解出，即可求出的面積．【詳解】解：如圖，作，交于點，過點作，垂足為，∴，∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，設：，則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，∴，，，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定及相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質等，熟練掌握全等三角形及相似三角形的性質和判定，并根據題目作出輔助線是解答本題的關鍵．10．-1或8【分析】設=k，根據比例的性質可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根據等式的性質可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況，分別求出k值，根據=k3即可得答案．【詳解】設=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，當a+b+c=0時，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，當a+b+c≠0時，則2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案為：-1或8【點睛】本題考查比例的性質，分情況討論，注意整體代入思想的運用是解題關鍵．11．3【分析】根據直角三角形的性質得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，點D為AB中點，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關鍵是通過平行得到比例式．12．(1)圖見詳解(2)135°(3)(4)【分析】（1）由，可知點旋轉到點，在的下方過點作的垂線，并且在垂線上截取，則為點繞點順時針旋轉以后的對應點，△即為所求；（2）連接，求出是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后計算即可得解；（3）根據全等三角形的面積相等求出與的面積之和等于四邊形的面積，然后根據等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計算即可得解，同理求出和的面積的和，和的面積的和，從而求出的面積，然后根據的面積的面積與的面積的和計算即可得解；（4）首先作，使得，，則有，即可得△ABQ與△ACP的相似比為2，繼而可得△APQ與△BPQ是直角三角形，根據直角三角形的性質即可求解△ABC的面積．(1)解：如圖1所示，△即為所求；(2)解：如圖2，連接．將繞點順時針旋轉，與△重合，△，，，，，是等腰直角三角形，，．在中，，，，，△是直角三角形，，；(3)解：如圖3①，將繞點逆時針旋轉得到△，連接，△，，，，是等邊三角形，，，，，，△是直角三角形，，，，；△，；如圖3②，同理可求：和的面積的和，和的面積的和，的面積，的面積的面積與的面積的和．故答案為．(4)解：如圖，作，使得，，連接PQ，取AQ的中點N，連接PN，∴，∵，∴△ABQ與△ACP的相似比為2，∵，，，∴，，，∵點N是AQ的中點，∴，∴△APN是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，作AM⊥BQ于點M，延長AC，使得AC=CK，即AB=AK，∴△ABK是等邊三角形，由，∴，∴，∴，∵△ABK是等邊三角形，∴，設△ABK的高為h，則，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質、等邊三角形的性質與判定及旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定、含30度直角三角形的性質、等邊三角形的性質與判定及旋轉的性質是解題的關鍵．13．（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）根據菱形的性質可得，根據旋轉角相等，可得，根據邊角邊即可證明△DGA≌△BEA；（2）①根據菱形的性質以及角平分線的性質可得，根據旋轉的性質可得,根據外角的性質可得，進而證明；②根據列出比例式，代入數值即可求得的長；連接,過點作，垂足為,證明四邊形是矩形，進而在中，勾股定理即可求得的大小；③分情況討論，當和時，當時，根據求得，進而勾股定理在中，求得，當時，證明四邊形是正方形即可求得的長．【詳解】（1）如圖，四邊形ABCD和AEFG都是菱形，（2）如圖，①四邊形ABCD和AEFG都是菱形，∠DAB=∠GAE=60°，,，平分∠QDC，平分∠PBC，,為菱形的對角線，,②四邊形是菱形如圖，連接,過點作，垂足為,是等邊三角形，四邊形是矩形，在中，故答案為：，7③，△KBC是等腰三角形，當時，如圖，過點作，連接,過點作，垂足為,在中,在中當時，如圖，四邊形是矩形又四邊形是正方形綜上所述或者故答案為：或【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形全等的性質與判定，相似三角形的性質與判定，正方形的性質與判定，矩形的性質與判定，勾股定理，旋轉的性質，角平分線的定義，三角形外角的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．14．S△CDF=．【分析】根據平行四邊形的性質，可證△BEF∽△CDF，由BE：AB=2：3，可證BE：DC=2：3，根據相似三角形的性質，可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥DC，∴△BEF∽△CDF∵AB=DC，BE：AB=2：3，∴BE：DC=2：3∴∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質等知識點，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．15．通過三角形相似求得角度的相等，進而進行角度轉化【詳解】試題分析：如圖，連結,∵是斜邊的中點∴（5分）∴∵四點共圓∴∴∴（10分）∵,∴∽∴,即（15分）∴,又∵∴∽,∴（20分）∴∴四點共圓，∴.（25分）考點：三角形相似點評：本題屬于對三角形相似的考點的，進而運用角度的變換求解16．見解析【詳解】證明：延長，分別交、于M、N．延長交于R．設，，，則，．，．．而，得方程，即把上式看作c的二次方程，有．由即得亦即．17．（1）；（2）．【分析】（1）四邊形面積最大時，兩三角形的高的和等于半徑，即可求得EF；（2）延長OB至點G，使BG=OB，連接GE、GC、DE．證明△DOE～△EOG，得到EG=2DE，所以CE+2DE=CE+EG，當C、E、G三點在同一直線上上時，CE+EG最小，此時即CE+2DE有最小值為．【詳解】解：（1）分別過、作于，于，∵，∴；此時，、、重合，∵∴，，∴；（2）延長至點，使，連接、、．∴∵點為的中點，，∴，∴，又，∴，，即，∴，當、、三點在同一直線上上時，最小，，，此時，故有最小值為．【點睛】本題考查了圓的相關性質，四邊形面積最大值問題，動點中存在性問題．熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．18．（1）（2）△EFD的周長不變．理由見解析；（3）當⊙O與⊙A相