專題05矩形的性質和判定（五大類型）【題型1矩形的概念和性質】【題型2矩形和垂直平分線的綜合應用】【題型3直角三角形斜邊上的中線】【題型4矩形的判定】【題型5矩形的性質與判定綜合】【題型1矩形的概念和性質】（2022秋?禮泉縣期末）1．在矩形中，對角線，交于點，若，則長為（）A． B． C． D．（2022秋?衡南縣期末）2．如圖，分別在長方形ABCD的邊DC，BC上取兩點E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝()A．45° B．30° C．15° D．60°（2023春?東昌府區期末）3．如圖，矩形的兩條對角線相交于點，，，則矩形的邊長BC的長是()A．2 B．4 C． D．（2022?興平市模擬）4．如圖，矩形ABCD中，，，則AC的長是A．2 B． C．4 D．8（2022春?通許縣期末）5．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點E、F，連接CE，則△DCE的面積為（）A． B． C．2 D．1（2022春?海口期末）6．如圖，在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，若AB=3，AC=6，則∠AOD等于（

）

A．90° B．100° C．110° D．120°（2022秋?六盤水期中）7．如圖，四邊形和四邊形都是矩形．若，則等于（

）A． B． C． D．（2022春?大余縣期末）8．如圖，矩形中，于，且：：，則的度數為（

）A． B． C． D．（2022?漳州模擬）9．如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，則重疊部分的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6（2023春?武勝縣校級期末）10．如圖，矩形的對角線和相交于點，過點的直線分別交和于點E、F，AB=2，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．【題型2矩形和垂直平分線的綜合應用】（2023春?廬江縣期中）11．如圖，在矩形中，，，對角線的垂直平分線分別交、于點，，則的長為（）

A． B． C． D．（2022春?增城區期末）12．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若AB＝3，BC＝4，則BF的長為（

）A． B． C． D．1（2023春?江源區期末）13．如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交，于點E，F，連接，，如果，則．（2023?深圳模擬）14．如圖，在矩形中，作的垂直平分線分別與交于點M、N，連接．若．則矩形的周長為．（2022春?博興縣期末）15．如圖，在矩形ABCD中，EF為對角線BD的垂直平分線，分別交AD、BC于點E、F，連接AO，若，，則．【題型3直角三角形斜邊上的中線】（2022秋?西安期末）16．如圖，在中，，點是的中點，若，則的度數是（

）A． B． C． D．（2022秋?新華區校級期末）17．如圖，在中，，是的中線，，則的長等于（

）A．5 B．4 C．8 D．6（2022秋?裕華區期末）18．如圖，中，，，平分交于點，點為的中點，連接，則的周長是（

）A．20 B．12 C．16 D．13（2023春?清江浦區期末）19．在中，，點D是斜邊的中點，若，則．【題型4矩形的判定】（2023?張店區校級自主招生）20．要判斷一個四邊形的窗框是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩組對邊是否相等B．測量對角線是否相等C．測量對角線是否互相平分D．測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等（2023春?青山區期中）21．如圖，在中，對角線與相交于點，添加下列條件不能判定為矩形的是（

）A． B．C． D．（2022秋?牡丹區期末）22．如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，且互相平分．若添加下列條件，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（

）A．AC＝BD B．∠DAB＝90°C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°（2023?灞橋區校級四模）23．下列說法中正確的是（

）A．有一個角是直角的四邊形是矩形B．兩條對角線相等的四邊形是矩形C．兩條對角線互相垂直的四邊形是矩形D．有三個角是直角的四邊形是矩形（2023?雁塔區一模）24．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是(

)

A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD（2023春?蓮池區校級期末）25．依據所標數據，下列四邊形不一定為矩形的是（

）A．

B．

C．

D．

（2023?雁塔區校級模擬）26．如圖，在中，，點D、E分別為中點，連接并延長至點F，使得，連接．求證：四邊形為矩形．

（2023秋?昌樂縣期末）27．如圖，在中，點E是的中點，連接，、的延長線相交于點F，連接、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：四邊形是矩形．【題型5矩形的性質與判定綜合】（2023?同心縣校級二模）28．如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝3，若要使平行四邊形ABCD為矩形，則OB的長度為（）A．4 B．3 C．2 D．1（2023春?裕華區校級期中）29．如圖，點P是中斜邊（不與A，C重合）上一動點，分別作于點M，作于點N，點O是的中點，若，當點P在上運動時，則的最小值是（）A．3 B． C． D．4（2023春?興城市期中）30．如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，且，，則的度數為．（2023春?臺山市校級期中）31．如圖，在平行四邊形中，，(1)求證：平行四邊形是矩形；(2)若，求的長．（2023春?北京期末）32．如圖，在中，對角線，交于點，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，作的平分線交于點，求的長．（2023春?臺山市校級期中）33．如圖，在平行四邊形中，，(1)求證：平行四邊形是矩形；(2)若，求的長．（2023春?北京期末）34．如圖，在中，對角線，交于點，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，作的平分線交于點，求的長．（2023秋?青白江區期末）35．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，，，且∠ABC=90°．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度數；②四邊形ABCD的面積．（2023秋?遼陽期末）36．已知：如圖1，在中，，點是的中點．求證：．下面是兩位同學添加輔助線的方法：小剛：如圖2，延長到點，使得，連接，．小紅：如圖3，取的中點，連接．請你選擇一位同學的方法，并進行證明．（2022秋?射陽縣期末）37．如圖，已知等腰，，點D是邊的中點，是外角的平分線，過點C作，垂足為E．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若矩形的周長是28，，求四邊形的面積．（2023春?新余期末）38．如圖，在中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，求的長度．參考答案：1．A【分析】根據矩形性質可得，，即可得出結果．【詳解】解：如圖：

四邊形為矩形，，，故選：．【點睛】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是解答本題的關鍵．2．C【分析】長方形內角為90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因為AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【詳解】在長方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE＝∠DAF＝15°故選C．【點睛】運用了長方形的四個角都是直角以及角平分線的概念即可解決．3．C【分析】根據矩形的性質得出∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，求出AO=BO，得出等邊三角形AOB，求出AC=2AO=4，根據勾股定理求出BC即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AO=AB=2，∴AC=2AO=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：；故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據矩形的性質和等邊三角形的性質求出AC的長，注意：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線互相平分且相等．4．D【分析】由矩形的性質得出OA＝OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA＝AB＝4，由AC＝2OA，即可得出結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8；故選D．【點睛】本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．5．B【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，設CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的長，繼而根據三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，∵EO是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，設CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+(4﹣x)2，解得：x＝，即CE的長為，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面積＝××2＝，故選B．【點睛】本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理的應用等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.6．D【分析】先根據矩形的對角線相等且互相平分得出OA=OB=AC=3=AB，那么△OAB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠AOB=60°，進而由鄰補角定義求得∠AOD=120°．【詳解】解：∵在矩形ABCD中，AC與BD交于點O，AC=6，∴OA=OB=AC=3，∵AB=3，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOD=180°-∠AOB=120°．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，鄰補角定義，難度適中．得出△OAB是等邊三角形是解題的關鍵．7．A【分析】由題意可得∠AGF=∠DAB=90°，由平行線的性質可得，即可得∠DGF=70°．【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形∴∠AGF=∠DAB=90°，DC//AB∴∴故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的性質是本題的關鍵．8．C【分析】利用矩形的性質結合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．【詳解】解：∵矩形中，∴∵：：，∴∵，∴∵∴∴故選C．【點睛】本題考查的是矩形的性質，等腰三角形的性質，掌握“矩形的對角線相等且互相平分”是解本題的關鍵．9．B【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，折疊的性質；證明，可得，設，則，在中，由勾股定理構建方程求出，可得的長，然后利用三角形面積公式計算即可．【詳解】解：由折疊得：，，在矩形中，，，∴，，又∵，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴的面積．故選：B．10．4【分析】根據矩形的性質可得陰影部分的面積等于矩形面積的一半，即可求得結果.【詳解】由圖可知，陰影部分的面積故答案為：4考點：本題考查的是矩形的性質點評：解答本題的關鍵是根據矩形的性質得到△DOE的面積等于△BOF的面積，從而可以判斷陰影部分的面積等于矩形面積的一半.11．A【分析】連接，根據矩形的性質可得，，，根據線段垂直平分線的性質可得，設，在中，根據勾股定理列方程，求出的值，即可確定的長．【詳解】解：連接，如圖所示：在矩形中，，，，對角線的垂直平分線分別交、于點，，，設，則，在中，根據勾股定理，得，解得，，故選：A．

【點睛】本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．12．B【分析】根據矩形的性質，線段垂直平分線的性質，以及勾股定理即可得到結論．【詳解】解：連接，是的垂直平分線，，設，則在中，．解得：，，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．13．【分析】本題考查矩形的性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質等知識，首先證明四邊形是菱形，在根據菱形的對角線平分一組對角進行求解是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵垂直平分線段，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴，∴，∴，故答案為：．14．【分析】證，得，再證平行四邊形是菱形，得，則，然后由勾股定理得，即可得出結論．【詳解】解：如圖，設交于點O，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．又∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴矩形的周長，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．15．4.8【分析】連接BE，由矩形的性質可求BD，OD的長，利用ASA證明△EDO≌△FBO可得OE=OF，利用勾股定理可求解BE=DE=5，設AE=x，利用勾股定理列方程可解答．【詳解】解：如圖，連接BE，∵EF為矩形ABCD的對角線BD的垂直平分線，AO=4，∴BD=2DO=2AO=8，BE=DE，∠DOE=90°，∴DO=4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，∵OB=OD，∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO=OF，∵EF=6，∴EO=3，設AE=x，在中，在和中，，∴，解得：，∴．故答案為：4.8【點睛】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，靈活運用勾股定理求解線段長是解題的關鍵．16．D【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質求得，再證明是等邊三角形，據此即可求解．【詳解】解：∵在中，，點是的中點，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是解題的關鍵．17．D【分析】根據直角三角形斜邊中線定理可進行求解．【詳解】解：∵，是的中線，，∴；故選D．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握直角三角形斜邊中線定理是解題的關鍵．18．C【分析】本題考查了等腰三角形的性質、直角三角形斜邊的中線性質；根據等腰三角形三線合一求出的長，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長，根據三角形的周長公式計算得到答案．【詳解】，平分，，，，點為的中點，，∴的周長，故選：C．19．6【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結論．【詳解】解：在中，點D是斜邊的中點，，∴，故答案為：6．20．D【分析】根據矩形的判定定理判定即可．【詳解】A.測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形，故A錯誤；B.對角線相等的四邊形不一定是矩形，不能判定四邊形的形狀，故B錯誤；C.測量對角線是否互相平分，能判定平行四邊形，故C錯誤；D.根據對角線相等且互相平分四邊形是矩形，可知量出對角線的交點到四個頂點的距離，看是否相等，可判斷是否是矩形．故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．21．D【分析】根據矩形的判定方法進行分析即可．【詳解】A、，由一個角為直角的平行四邊形是矩形知，為矩形，故此選項不符合題意；B、∵在中，，又，則，則為矩形，故此選項不符合題意；C、∵，∴，又，則，根據對角線相等的平行四邊形是矩形知，為矩形，故此選項不符合題意；D、能判定平行四邊形為菱形，不能判定它為矩形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，矩形與菱形的判定，掌握矩形的判定方法是關鍵．22．C【分析】首先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再分別對各個選項分別進行判定是不是矩形即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD的對角線相交于點O，且互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，若AC=BD，則四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；若∠DAB=90°，則四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；若AB=AD，則四邊形ABCD是菱形，故選項C符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC=∠ABC，若∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°，則四邊形ABCD是矩形，故選項D不符合題意；故選：C．【點睛】此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質，關鍵是熟練掌握矩形的判定定理．23．D【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定義進行判斷后即可確定本題的答案．【詳解】解：A、有一個直角的平行四邊形是矩形，故錯誤；B、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；C、兩條對角線互相垂直的四邊形可能是梯形等，故錯誤；D、四個角都是直角的四邊形是矩形，正確，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定，牢記有關矩形的判定定理及定義是解答本題的關鍵，屬于基礎概念題，難度不大．24．D【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再添加AC=BD，可根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形．【詳解】結合選項可知，添加AC=BD，∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD，根據矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，∴四邊形ABCD是矩形，故選D．【點睛】此題主要考查了矩形的判定，關鍵是掌握矩形的判定定理：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．25．A【分析】根據矩形的判定方法“有三個角是直角的四邊形是矩形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形”即可求解．【詳解】解：A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，但不能說明四邊形是矩形，故該選項符合題意；B、有三個角是直角的四邊形是矩形，故該選項不符合題意；C、∵，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，故該選項不符合題意；D、∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是直角三角形，且，∴四邊形是矩形，故該選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定方法，熟練掌握矩形的判定方法是解題的關鍵．26．見解析【分析】根據中點的意義及三角形中位線性質可得，再利用平行四邊形的判定定理及矩形的判定定理證明即可．【詳解】∵點D、E分別為中點，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴四邊形為矩形．【點睛】本題考查了中點的意義及三角形中位線性質，平行四邊形的判定定理及矩形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．27．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過證明可得，然后由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形是平行四邊形；（2）利用三角形外角的性質和角的倍數關系求得，然后求得，從而可得平行四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：在中，，∴，∵點E是的中點，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形；∴，又由（1）可得，四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，又∵∴，∴，∴，即四邊形是矩形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，矩形的判定，掌握相關性質定理正確推理論證是解題關鍵．28．B【詳解】試題解析：假如平行四邊形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB=3．故選B．點睛：對角線相等的平行四邊形是矩形.29．B【分析】證四邊形是矩形，得，由勾股定理求出，當時，最小，然后由面積法求出的最小值，即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖所示：∵于點M，于點N，∴四邊形是矩形，，∴，與互相平分，∵點O是的中點，∴，當時，最小，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、垂線段最短、勾股定理以及面積法等知識；熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．30．【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的判定以及性質，由平行四邊形的性質得出，，得出，即可證明四邊形是矩形，根據矩形的性質得出，進一步即可求出．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，故答案為：．31．(1)見解析(2)【分析】（1）根據對角線相等的平行四邊形是矩形，證明即可；（2）先根據直角三角形中30度角所對直角邊等于斜邊的一半求出的長，再利用勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）在矩形中，，是直角三角形，∵，，．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質，矩形的判定，直角三角形的性質，勾股定理等知識，熟記相關知識點是解題的關鍵．32．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握矩形的判定和性質定理是解題的關鍵．（1）根據平行四邊形的性質得到，，根據矩形的判定定理即可得到結論；（2）如圖，根據矩形的性質得到，，根據角平分線的定義得到，根據勾股定理得到，根據直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．，，平行四邊形為矩形；（2）如圖，四邊形是矩形，，．為的平分線，．，，，，，，，，．33．(1)見解析(2)【分析】（1）根據對角線相等的平行四邊形是矩形，證明即可；（2）先根據直角三角形中30度角所對直角邊等于斜邊的一半求出的長，再利用勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形是矩形；（2）在矩形中，，是直角三角形，∵，，．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質，矩形的判定，直角三角形的性質，勾股定理等知識，熟記相關知識點是解題的關鍵．34．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，角平分線的定義，熟練掌握矩形的判定和性質定理是解題的關鍵．（1）根據平行四邊形的性質得到，，根據矩形的判定定理即可得到結論；（2）如圖，根據矩形的性質得到，，根據角平分線的定義得到，根據勾股定理得到，根據直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．，，平行四邊形為矩形；（2）如圖，四邊形是矩形，，．為的平分線，．，，，，，，，，．35．（1）見解析；（2）①60°，②.【分析】（1）根據AO=CO，BO=DO可知四邊形ABCD是平行四邊形，又∠ABC=90°，可證四邊形ABCD是矩形（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四邊形ABCD的面積，同時利用矩形的性質，對角線相等且互