試題PAGE1試題2024北京大興高一（下）期中數學第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）復數（A） （B） （C）（D）（2）已知平面向量，．若，則（A）（B）（C）（D）2（3）在中，若，則（A） （B） （C） （D）（4）在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（A）三棱錐（B）三棱臺（C）四棱錐（D）組合體（5）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，則（A） （B） （C） （D）（6）已知均為非零向量，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）已知非零向量滿足，且，則是（A）三邊均不相等的三角形 （B）直角三角形（C）等腰（非等邊）三角形 （D）等邊三角形（8）在四邊形中，．若為線段上一動點，則的最大值為（A）1（B）3（C）5（D）7（9）已知是夾角為的兩個非零向量，且，若向量在向量上的投影向量為，則（A）（B）（C）4（D）（10）在中，，，分別為，，的對邊，給出下列四個條件：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③，，；=4\*GB3④，，．能判斷三角形存在且有唯一解的是（A）=1\*GB3①④（B）②=3\*GB3③（C）=1\*GB3①=2\*GB3②③（D）=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若復數，則______． （12）方程在復數范圍內的解為．（13）已知向量，，則的坐標可以是．（14）已知向量，，，與的夾角為，則，當的值最小時，實數x的值為.（15）給出下列命題：①一個棱柱至少5個面；②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形；④所有側面都是正方形的四棱柱一定是正方體；⑤有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺.其中，所有正確命題的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）已知向量．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求與的夾角的余弦值．（17）（本小題14分）已知復數（i為虛數單位）．（Ⅰ）若是純虛數，求；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）若復數在復平面上對應的點位于第二象限，求的取值范圍．（18）（本小題14分） 在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值及的面積．（19）（本小題14分）如圖，四面體的四個頂點均為長方體的頂點．（Ⅰ）若四面體各棱長均為，求該四面體的表面積和體積；（Ⅱ）若，求四面體外接球的表面積．（20）（本小題14分）如圖，在中，點是的中點，，過點的直線分別交邊于（不同于）兩點，且，．

（Ⅰ）當時，用向量表示，；（Ⅱ）證明：為定值．（21）（本小題15分）如圖，已知兩個路燈之間的距離是，為了測量點與河對岸(不可到達)點之間的距離，先后測得和的大小．（Ⅰ）若，求兩點之間的距離；（Ⅱ）假設你只攜