試題PAGE1試題2024北京八一學校高一（下）期中數學考試時長90分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.與終邊相同的角是（）A. B. C. D.2.函數的最小正周期為（）A. B. C. D.3.若滿足，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.半徑為1cm，圓心角為的扇形的弧長為（）A. B. C. D.5.已知，，若，則實數（）．A.3 B. C.6 D.6.已知，則的值為（）A. B. C. D.7.為了得到函數的圖象，需要把函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度8.如圖所示，一個大風車的半徑為，每旋轉一周，最低點離地面，若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點離地面的距離與時間之間的函數關系是A. B.C. D.9.已知函數的部分圖象如圖所示，給出下列結論：①振幅為，最小正周期為；②振幅為，最小正周期為；③點為圖象的一個對稱中心；④在上單調遞減．其中所有正確結論的序號是（）．A.①② B.②③ C.③④ D.②④10.已知，順次連接函數與的任意三個相鄰的交點都構成一個等邊三角形，則A. B. C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.______.12.已知角的終邊與單位圓交于點，則______．13.如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網格的格點上，向量用，表示為，則______．14.已知角A是的一個內角，若，則角A的取值范圍是______．15.與是兩個單位向量，，則當______時，取得最小值．16.如圖，直角梯形中，，，若為三條邊上的一個動點，且，則下列結論中正確的是______．（把正確結論的序號都填上）①滿足的點有且只有1個；②滿足的點有且只有2個；③能使取最大值的點有且只有2個；④能使取最大值的點有無數個．三、解答題：本大題共4小題，共36分．解答應寫出文字說明，演算步藻或證明過程．17.已知角為第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．18.將函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度得到函數的圖象．求：（1）的值；（2）的單調遞減區間、對稱軸方程及對稱中心．19.某同學用“五點法”畫函數在某一個周期的圖像時，列表并填入了部分數據，如表：0①②③④⑤020－20選擇下面三個條件之一，完成作答．條件一：①，②；條件二：①，③；條件三：④，⑤．（1）我選擇條件______，請直接寫出函數的解析式和最小正周期；（2）求函數在上的最值，并寫出相應的值；（3）若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍．20.給定正整數，任意的有序數組，，定義：，（1）已知有序數組，，求及；（2）定義：n行n列的數表A，共計個位置，每個位置的數字都是0或1；任意兩行都至少有一個同列的數字不同，并且有只有一個同列的數字都是1；每一行的1的個數都是a；稱這樣的數表A為‘表’．①求證：當時，不存在‘表’；②求證：所有的‘表’的任意一列有且只有a個1．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】B【分析】利用終邊相同的角的定義求解.【詳解】因為所有與－30°終邊相同的角都可以表示為α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.故選：B2.【答案】A【分析】由，求解即可.【詳解】由，得函數的最小正周期為故選：A3.【答案】C【分析】直接根據各象限三角函數的符號判斷即可得答案.【詳解】由可知的終邊在第三象限或第四象限或y軸負半軸上，由，可知的終邊在第一象限或在第三象限，則的終邊在第三象限，故選：C.4.【答案】D【分析】利用扇形弧長公式直接計算即可.【詳解】圓心角化為弧度為，則弧長為.故選：D.5.【答案】D【分析】首先求出的坐標，再根據平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得.故選：D6.【答案】A【分析】將分子、分母同除將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為，所以.故選：A7.【答案】C【分析】直接利用函數的圖象變換規律，可得結論．【詳解】函數，根據圖像左加右減的變換原則，只需把函數的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數的圖象，故選：．8.【答案】D【分析】由題意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再將點代入函數解析式求出的值，由此可得出與之間的函數關系式.【詳解】由題意可得，，，，，，，當時，，得，，可取，所以，故選D.【點睛】本題考查函數的解析式，基本步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據題中信息得出最小正周期，可得出；（3）求初相：將對稱中心點、最高點或最低點代入函數解析式可求出的值.9.【答案】D【分析】根據函數圖象得到，即可求出、，再由求出，最后由函數過點求出，即可得到函數解析式，最后根據正弦函數的性質判斷即可.【詳解】由圖可知，解得，又，所以，解得，所以，又函數過點，所以，即，所以，解得，又，所以，所以，所以的振幅為，最小正周期為，故①錯誤，②正確；因為，所以點不是圖象的對稱中心，故③錯誤；當時，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，故④正確.故選：D10.【答案】B【詳解】當正弦值等于余弦值時，函數值為，故等邊三角形的高為，由此得到邊長為，邊長即為函數的周期，故.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像與性質.首先大致畫出正弦函數圖像和余弦函數圖像，通過觀察可知可知，三角形左右兩個頂點之間為一個周期，故只需求出等邊三角形的邊長即可.再根據可知等邊三角形的高，由此求得邊長即函數的周期，再由周期公式求得的值.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．11.【答案】【分析】直接利用誘導公式化簡計算即可【詳解】，故答案為：12.【答案】【分析】根據三角函數的定義計算可得.【詳解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以.故答案為：13.【答案】【分析】先將，，平移至共起點，然后建立平面直角坐標系，用坐標進行運算即可求解.【詳解】如圖，將，，平移至共起點，然后建立平面直角坐標系，則，，，由，所以且，，所以.故答案為：.14.【答案】【分析】根據角的大小范圍與角的正切值取值范圍對應關系,結合正切函數圖象即可求解.【詳解】因為角A是的一個內角，所以，又，所以由正切函數圖象可得.故答案為：.15.【答案】【分析】先由向量加法法則及其幾何意義得出與夾角為，再建立平面直角坐標系，用坐標進行運算即可求解，或也可通過作圖探究最小值.【詳解】法一：因為與是兩個單位向量，，所以由向量加法法則及其幾何意義可知與夾角為，將、放置共起點位置，如圖所示，建立平面直角坐標系，則，，所以，所以當，取得最小值為.故答案為：.法二：因為與是兩個單位向量，，所以由向量加法法則及其幾何意義可知與夾角為，將、與放置共起點位置，如圖所示：則終點始終在過終點且平行于所在直線上，且當與垂直時取得最小值為，此時，即.故答案為：.16.【答案】②④【分析】分類討論，求出當在邊上，在邊上，在邊上時，的取值范圍以及的范圍，然后根據所求判斷正誤.【詳解】當在邊上時，如圖，取中點，連接，則設，，，又，，，，，當在邊上時，，，，當在邊上時，設，，，，，，，；①當時，，此時點就是點；或，此時點在上，故錯誤；②當時，有或，這樣的點有兩個，故正確；③的最大值為，此時，這樣的點有且只有1個，故錯誤；④的最大值為，當在邊上時，恒有，這樣的點有無數個，故正確.故答案為：②④.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是對點所在位置分類討論，結合共線定理將雙變量問題轉化為單變量問題.三、解答題：本大題共4小題，共36分．解答應寫出文字說明，演算步藻或證明過程．17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由同角三角函數的基本關系計算可得；（2）法1，利用誘導公式化簡，直接代入計算可得；法2，由（1）的結論求出，利用誘導公式化簡，再根據同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得；【小問1詳解】，∵角為第二象限角，∴．【小問2詳解】法1：法2：易得，則18.【答案】（1）（2）單調遞減區間為，，對稱軸方程為，，對稱中心為，．【分析】（1）首先得到平移后的解析式，由誘導公式可得，，即可求出的值；（2）由（1）可得，再根據正弦函數的性質計算可得.【小問1詳解】函數的圖象向左平移個單位后得到：，所以，，所以，，因為，所以．【小問2詳解】由（1）知，令，，解得，，所以的單調遞減區間為，．由，，得，，所以的對稱軸方程為，，由，，解得，，所以的對稱中心為，．19.【答案】（1）選擇見解析，，最小正周期為；（2），最小值1；，最大值2；（3）．【分析】（1）利用五點法作圖的思路求解；（2）利用“整體思想”結合的性質求解；（3）去掉絕對值符號，再將問題轉化為函數的最值問題求解.【小問1詳解】根據表格知：，選擇條件一、三：，選擇條件二：，所以，選擇條件一、二時：，可知，結合，所以，選擇條件三時：，可知，結合，所以，所以函數的解析式為：，最小正周期為【小問2詳解】當時，，當時，即時，取得最小值1；當時，即時，取得最大值2；【小問3詳解】由（2）可得，任意的時，．由可得，，的最大值為－4，的最小值為7，則的取值范圍是．20.【答案】（1）、；（2）①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據新定義，代入數值計算即可.（2）①根據題中‘表’的定義，由，1，2，3，4逐個判斷推出矛盾，即可證明當時，不存在‘表’；②根據‘表’的定義，由當或1時，當時推出矛盾證明即可.【小問1詳解】由題意可得，，，所以.【小問2詳解】數表A的第i行構成一個有序數組記為，則，；①當時，，1，2，3，4，，這與M有4個元素矛盾；同理，，矛盾；，，矛盾；同理，，，矛盾；，，M也不能滿足．故知，時，不存在表．②數表A中只有0或1，每一行的1的個數都是a，故數表中的1的總數是na．第i行組成有序數組記為，第j列構成有序數組記為．，，下證，首先，或1時，有時，不合題意．其次，時，若存在．不妨記為，則第一列至少有個1，不妨記為前行的第一列都是1