立體幾何第八章第5講空間向量及其運算高考要求考情分析1.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置．2．會推導空間兩點間的距離公式．3．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．4．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．5．掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直．6．理解直線的方向向量與平面的法向量．7．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系這一部分往往作為后面學習的基礎，在高考中往往作為一個工具，考查直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng)欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．空間向量及其有關概念(1)空間向量的有關概念空間向量在空間中，具有______和______的量叫做空間向量相等向量方向______且模______的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相___________的向量共面向量____________________的向量大小方向相同相等平行或重合平行于同一個平面(2)空間向量的有關定理共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一一個λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc2．兩個向量的數量積(1)非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數量積的運算律①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

3．(2019年高安期末)已知空間向量a＝(－1，x,1)，b＝(3,1，y)，c＝(z,0,0)，a＋b＝c，則xyz的值為(

)A．±2

B．－2

C．2

D．0【答案】C

4．(一題兩空)已知向量a＝(1，－1,2)，b＝(0,1,1)，則|a－b|＝________，cos〈a，b〉＝________.5．(2020年上海模擬)已知向量a＝(7，－1,5)，b＝(－3,4,7)，則|a＋b|＝________.【答案】13

用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線平行，只需證明直線的方向向量共線即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調直線在平面外．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(

)(2)對任意兩個空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(

)(3)若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向量．(

)(4)若a·b＜0，則〈a，b〉是鈍角．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)×重難突破能力提升2空間向量的線性運算共線定理、共面定理的應用

已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：(1)E，F，G，H四點共面；(2)BD∥平面EFGH.空間向量數量積的應用

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．【跟蹤訓練】3．如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為__________．【考查角度】共線向量與共面向量．【考查目的】考查方程思想、空間向量及應用，體現數學運算的核心素養(yǎng)．【思路導引】根據向量a與b共線，列出方程組求x，y的值，驗證a與b是否同向即可．特別注意，不要將a，b同向和a∥b混淆，a∥b的意義是a，b方向相同或相反．【拓展延伸】1．基底意識用向量解決立體幾何問題應樹立“基底”意識．2．基向量法和坐標法用向量解決立體幾何問題時，可用基向量的運算求解，適于建系的可用坐標運算求解．3．利用向量解決立體幾何問題應注意的問題(1)注意向量夾角的確定，避免首尾相連的向量夾角確定錯誤；(2)注意向量夾角與兩直線夾角的區(qū)別；(3)注意向量共線與兩直線平行與重合的區(qū)別．【真題鏈接】

1．(2014年廣東