函數(shù)第三章第8講函數(shù)與方程高考要求考情分析1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)．2．根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解高考中，主要考查函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷以及利用零點(diǎn)的特征求參數(shù)的取值范圍，難度較大，考查邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與______有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有________．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有__________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間__________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0x軸零點(diǎn)f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝02.二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2103.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間__________，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近______，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)【答案】B【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出x＝2與x＝3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．2．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．0 B．1C．2 D．3【答案】B3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(

)A．y＝cosx

B．y＝sinxC．y＝lnx

D．y＝x2＋1【答案】A4．(2019年西安調(diào)研)方程2x＋3x＝k的解在[1,2)內(nèi)，則k的取值范圍是________．【答案】[5,10)【解析】令f(x)＝2x＋3x－k，則f(x)在R上是增函數(shù)．當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在(1,2)內(nèi)時(shí)，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又當(dāng)f(1)＝0時(shí)，k＝5.所以方程2x＋3x＝k的解在[1,2)內(nèi)，則k的取值范圍是[5,10)．5．函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．1．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值．(

)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn)．(

)(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]內(nèi)單調(diào)，圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重難突破能力提升2函數(shù)零點(diǎn)的確定與求解【考向分析】求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及零點(diǎn)存在的區(qū)間的確定是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，常常與函數(shù)的圖象與性質(zhì)交匯命題，主要考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，題型以選擇題、填空題為主．常見的考向：(1)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間；(2)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)．【解析】方法一(利用零點(diǎn)存在性定理)：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是增函數(shù)，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)上．故選C．方法二(數(shù)形結(jié)合)：函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在區(qū)間轉(zhuǎn)化為g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在范圍．作出h(x)和g(x)的圖象如圖所示，可知f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)．【解析】f(x)＝lgx－sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y＝lgx的圖象和函數(shù)y＝sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)y＝lgx的圖象和函數(shù)y＝sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選C．【規(guī)律方法】(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法．(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用【規(guī)律方法】(1)解決已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的存在情況，利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、二次函數(shù)的判別式等得到關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，然后求解即可．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①轉(zhuǎn)化，把已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的情況；②列式，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式；③下結(jié)論，求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍．(2)已知根或零點(diǎn)的區(qū)間求參數(shù)，要根據(jù)區(qū)間建立不等關(guān)系，其關(guān)鍵點(diǎn)為：①構(gòu)造方程或函數(shù)(反解參數(shù))；②利用零點(diǎn)區(qū)間，求解函數(shù)的值域或不等式；③確定參數(shù)范圍．二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【規(guī)律方法】解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題：(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系．(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組．【跟蹤訓(xùn)練】2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一個(gè)負(fù)根，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x＞－1時(shí)，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年杭州模擬)設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝xax－1和g(x)＝xlogax－1的零點(diǎn)(其中a＞1)，則x1＋2x2的取值范圍是(

)A．[2，＋∞)

B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)

D．(3，＋∞)【考查角度】函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)．【考查目的】考查應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．【拓展延伸】1．函數(shù)零點(diǎn)的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根．(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件．2．判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)直接求零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)的存在性定理；(3)