平面向量、復數第六章第3講平面向量的數量積及平面向量的應用高考要求考情分析1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義．2．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．3．能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．4．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．5．會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題高考中此講內容常以選擇題、填空題的形式考查，偶爾也出現有關平面向量的綜合性的解答題，一般難度不大．考查邏輯推理和數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏1|a||b|cosθ

|a||b|cosθ

|b|cosθ

3．平面向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[特別提醒]對于實數a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但對于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不滿足向量結合律．這是因為(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．3．(2019年哈爾濱模擬)已知向量a＝(k,6)，b＝(－2，3)，且a⊥b，則k的值是(

)A．－4

B．－3

C．4

D．9【答案】D

【解析】向量a＝(k,6)，b＝(－2,3)，當a⊥b時，a·b＝0，即－2k＋6×3＝0，解得k＝9.故選D．4．(教材習題改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．【答案】－2

5．(2020年鄭州模擬)已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，則|b|＝______.【答案】2

【解析】因為已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a2＝a·b，即2＝2＋m，所以m＝0，所以b＝(2,0)，則|b|＝2.【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×

(6)×重難突破能力提升2平面向量數量積的運算【規律方法】(1)求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義、利用向量的坐標運算、利用數量積的幾何意義．(2)解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，可先利用向量的加減運算或數量積的運算律化簡再運算．但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補．【答案】(1)A

(2)B

平面向量數量積的性質【考向分析】平面向量的夾角與模的問題是高考中的常考內容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題．常見的考向：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夾角；(3)平面向量的垂直．平面向量與三角函數【規律方法】(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立得到三角函數的關系式，然后求解．(2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等．向量在物理中的應用【規律方法】此題考查的是向量在物理中的應用．在解答的過程當中充分體現了數形結合的思想、向量運算的法則以及問題轉化的思想．值得同學們體會反思．【跟蹤訓練】3．已知F＝(2,3)作用一物體，使物體從A(2,0)移動到B(4,0)，則力F對物體所做的功為________．【答案】4

追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】數量積運算性質、三角函數的性質．【考查目的】考查向量數量積的運算性質和三角函數的性質，突出考查推理能力與計算能力，體現邏輯推理和數學運算的核心素養．【思路導引】建立坐標系求出各點坐標，表示出所求問題，結合三角函數的性質即可求解．【拓展延伸】1．兩個非零向量垂直的充要條件兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0.2．與向量夾角有關的兩個結論(1)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0°；(2)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或180°.(3)實數運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數量積的運算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c.(4)實數運算滿足乘法結合律，但平面向量數量積的運算不滿足乘法結合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．【真題鏈接】

3．(2017年新課標Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，則m＝________.【答案】2

【解析】因為向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，所以a·b＝－6＋3m＝0，解得m＝2.4．(2017年新課標Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，若向量a＋b與a垂直，則m＝________.【答案】7

【解析】因為向量a＝(－