平面解析幾何第九章第3講圓的方程高考要求考情分析1.掌握確定圓的幾何要素．2．掌握圓的標準方程與一般方程單獨考查圓的情況很少，一般與圓錐曲線結合考查，考查數學抽象的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．圓的定義和圓的方程D2＋E2－4F＞0

2．點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)d＞r?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在____________；(2)d＝r?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在____________；(3)d＜r?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在____________．圓外圓上圓內[特別提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結構都認為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號，只有大于0時才表示圓．[謹記常用結論]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：(1)當F＝0時，圓過原點．(2)當D＝0，E≠0時，圓心在y軸上；當D≠0，E＝0時，圓心在x軸上．(3)當D＝F＝0，E≠0時，圓與x軸相切于原點；E＝F＝0，D≠0時，圓與y軸相切于原點．(4)當D2＝E2＝4F時，圓與兩坐標軸相切．1．(2019年紹興學業考試)圓x2＋(y－2)2＝9的半徑是(

)A．3

B．2

C．9

D．6【答案】A

【解析】圓x2＋(y－2)2＝9的半徑為3.故選A．2．(2019年惠州學業考試模擬)已知圓C與y軸相切于點(0,5)，半徑為5，則圓C的標準方程是(

)A．(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25【答案】D

【解析】由題意得圓C的圓心為(5,5)或(－5，5)，故圓C的標準方程為(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.故選D．3．(2019年安徽期末)以A(－2,1)，B(1,5)為半徑兩端點的圓的方程是(

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝25B．(x－1)2＋(y－5)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25或(x－1)2＋(y－5)2＝25D．(x＋2)2＋(y－1)2＝5或(x－1)2＋(y－5)2＝5【答案】C

4．圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為____________________．【答案】(x－2)2＋y2＝105．(2019年哈爾濱三模)過點A(－3,2)，B(－5，－2)，且圓心在直線3x－2y＋4＝0上的圓的半徑為____________．1．求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程．2．過圓外一定點求圓的切線，應該有兩個結果，若只求出一個結果，應該考慮切線斜率不存在的情況．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2圓的方程【答案】(1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2

(2)D【規律方法】(1)方程選擇原則：求圓的方程時，如果由已知條件易求得圓心坐標、半徑或需要用圓心坐標列方程，常選用標準方程；如果已知條件與圓心坐標、半徑無直接關系，常選用一般方程．(2)求圓的方程的方法和步驟：確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟如下：①根據題意，選擇標準方程或一般方程；②根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；③解出a，b，r或D，E，F代入標準方程或一般方程．【跟蹤訓練】1．(1)已知直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過圓C的圓心，且圓C的半徑為2，則圓C的方程是______________．(2)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，與該拋物線的準線相切的圓的標準方程為____________________．【答案】(1)(x＋2)2＋(y＋1)2＝4(2)(x－1)2＋y2＝4【解析】(1)由題意得，直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過C(－2，－1)，且圓C的半徑為2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.(2)拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，準線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為2，所以該圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.與圓有關的最值問題或者范圍問題【考向分析】與圓有關的最值問題也是命題的熱點內容，它著重考查數形結合與轉化思想．常見的考向：(1)斜率型最值問題；(2)截距型最值問題；(3)距離型最值問題；(4)利用對稱性求最值．【答案】A

與圓有關的軌跡問題

已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．【解析】(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點的坐標為(2x－2,2y)．因為P點在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設PQ的中點為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.【規律方法】求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．【跟蹤訓練】2．設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP(O為坐標原點)，求點P的軌跡．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】點與圓的位置關系與圓與直線的位置關系式的應用．【考查目的】主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，體現數學運算的核心素養．【思路導引】直接利用中點坐標公式的應用和中點的關系式的應用求出結果．【答案】B【拓展延伸】

常用到的圓的三個性質在解決與圓有關的問題時，借助于圓的幾何性質，往往會使得思路簡潔明了，簡便運算．(1)圓