函數第三章第9講函數模型及其應用高考要求考情分析1.了解指數函數、對數函數、冪函數的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義．2．了解函數模型(如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等模型)在社會生活中的廣泛應用函數的實際應用問題，常常以選擇題、填空題的形式出現，如果出現在解答題中，便是和導數結合在一起考查，考查數學建模和數學運算的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11.幾類函數模型及其增長差異(1)幾類函數模型：(2)三種函數模型的性質：遞增函數y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)內的增減性單調______單調______單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與______平行隨x的增大逐漸表現為與______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax遞增y軸x軸2.解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．(3)解模：求解數學模型，得出數學結論．(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：1．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數據如下表：則對x，y最適合的擬合函數是(

)A．y＝2x

B．y＝x2－1C．y＝2x－2

D．y＝log2x【答案】Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.002．下所示是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數關系的圖象，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(

)3．某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據以前的統計數據，若零售價定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，每月的進貨在當月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價應定為________元/瓶．【答案】64．(2019年棗陽高級中學期中)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．【答案】4.24【解析】因為m＝6.5，所以[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.1．函數模型應用不當，是常見的解題錯誤．所以要正確理解題意，選擇適當的函數模型．2．要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．3．注意問題反饋．在解決函數模型后，必須驗證這個數學結果對實際問題的合理性．(4)在(0，＋∞)內，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度．(

)(5)指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增長速度越來越快．(

)(6)指數函數模型，一般用于解決變化較快、短時間內變化量較大的實際問題．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√重難突破能力提升2一次函數、二次函數模型

據氣象中心觀察和預測：發生于沿海M地的臺風一直向正南方向移動，其移動速度v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的函數圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積為時間t內臺風所經過的路程s(單位：km)．(1)當t＝4時，求s的值；(2)將s隨t變化的規律用數學關系式表示出來；【規律方法】一次函數、二次函數模型問題的常見類型及解題策略：(1)直接考查一次函數、二次函數模型．解決此類問題應注意三點：①二次函數的最值一般利用配方法與函數的單調性解決，但一定要密切注意函數的定義域，否則極易出錯；②確定一次函數模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數法；③解決函數應用問題時，最后要還原到實際問題．(2)以分段函數的形式考查．解決此類問題應關注以下三點：①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數模型求解；②構造分段函數時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟蹤訓練】1．(2020年商丘二中檢測)如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．(1)設MP＝x米，PN＝y米，將y表示成x的函數，并求該函數的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．【跟蹤訓練】2．某村計劃建造一個室內面積為800m2的矩形蔬菜溫室．在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地．當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？指數函數、對數函數模型的應用(2)(2019年唐山模擬)某人計劃購買一輛轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、年檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，則大約使用________年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元．【答案】(1)C

(2)4

【解析】(1)由題意知，lgA－lg0.001＝4，即lgA＝1，解得A＝10.故選C．(2)設使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化簡得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)為單調遞增函數，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，所以函數f(x)在(3,4)上有一個零點．故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元．【規律方法】掌握2種函數模型的應用技巧(1)與指數函數、對數函數模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在三類模型中，指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題，必要時可借助導數．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．“綠水青山就是金山銀山”的環境保護理念已經逐漸深入到老百姓的意識中，保護環境，人人有責，各化工廠對污水的處理也加大了投入．某化工廠每一天中污水污染指數f(x)與時刻x(時)的函數關系為f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a為污水治理調節參數，且a∈(0,1)．規定每天中f(x)的最大值作為當天的污水污染指數，要使該廠每天的污水污染指數不超過3，則調節參數a的取值范圍為________．【考查角度】利用函數模型解決實際問題．【考查目的】考查應用意識和轉化能力，體現了數學建模的核心素養．【思路導引】根據題目提供的數學模型，利用換元法將原函數關系式轉化為一次函數關系式，再利用一次函數的性質求解．【拓展延伸】1．實際問題的定義域要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．2．解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．(3)求模：求解數學模型，得出數學結論．(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義．【真題鏈接】

1．(2016年四川)某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2015年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(

)(參考數據：lg1.12≈0.05