立體幾何第八章第3講直線、平面平行的判定與性質高考要求考情分析1.以立體幾何的有關定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面平行、面面平行的有關性質與判定定理，并能夠證明相關性質定理．2．能運用線面平行、面面平行的判定及性質定理證明一些空間圖形的平行關系的簡單命題直線與平面平行，常在解答題第1問中考查，或者作為選擇題的一個選項，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．直線與平面平行的判定定理和性質定理此平面內l∥a

a?α

l?α

交線l∥α

l?β

α∩β＝b

2．平面與平面平行的判定定理和性質定理相交直線a∥β

b∥β

a∩b＝P

a?α，b?α

相交交線α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

[特別提醒]平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.1．下列命題中，正確的是(

)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α【答案】D2．設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β

”是“α∥β

”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B

3．(2019年成都月考)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內且過B點的所有直線中(

)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線【答案】A

【解析】當直線a在平面β內且過B點時，不存在與a平行的直線．故選A．4．(2019年衡水開學考試)如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．【答案】平行四邊形

【解析】因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為________．【答案】平行1．在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則會出現錯誤．2．在面面平行的判定中易忽視“面內兩條相交直線”這一條件．3．如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質上也可以相交．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．(

)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數條．(

)(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2與線、面平行相關命題的判定

(1)(2019年開封模擬)在空間中，a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是(

)A．若a⊥c，b⊥c，則a∥bB．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥bC．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥bD．若α∥β，a?α，則a∥β

(2)(2019年聊城模擬)下列四個正方體中，A，B，C為所在棱的中點，則能得出平面ABC∥平面DEF的是(

)【答案】(1)D

(2)B【解析】(1)對于A，若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行、異面、相交，故A是假命題；對于B，設α∩β＝m，若a，b均與m平行，則a∥b，故B是假命題；對于C，a，b可能平行、異面、相交，故C是假命題；對于D，若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，則a∥β，故D是真命題．(2)在B中，如圖，連接MN，PN，因為A，B，C為正方體所在棱的中點，所以AB∥MN，AC∥PN.因為MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF.因為AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF.【規律方法】(1)判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項．(2)①結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷；②特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確．【跟蹤訓練】1．(1)(多選題)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個必要條件是(

)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α【解析】(1)對于選項A，若存在一條直線a，a∥α，a∥β，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則存在一條直線a，使得a∥α，a∥β，所以選項A的內容是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的內容也是α∥β的一個必要條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的內容是α∥β的一個充分條件．故選ABC．對于③，由①知，A，P，M三點共線是正確的．對于④，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．直線與平面平行的判定與性質

如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點．求證：PQ∥平面ABCD.【證明】方法一：如圖，取AE的中點G，連接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA.又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD.又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因為PG∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.【規律方法】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的定義(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.面面平行的判定與性質

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F分別為AB，AC的中點，【遷移探究1】在本例中，若將條件“E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變為“D1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.【規律方法】(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行)．(2)面面平行條件的應用①兩平面平行，分析構造與之相交的第三個平面，交線平行．②兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行．特別提醒：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩條直線是相交直線．【跟蹤訓練】3．(2019年南昌二模)如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點E，F分別是棱AB，PB上的點，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點E，F的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F－DCE的體積．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年開封模擬)下列條件中，能判斷平面α與平面β平行的是(

)A．α內有無窮多條直線都與β平行B．α與β同時平行于同一條直線C．α與β同時要垂直于同一條直線D．α與β同時垂直于同一個平面【考查角度】平面與平面平行．【考查目的】考查學生的空間想象能力，體現對直觀想象的核心素養的把握．【思路導引】利用面面平行的判定直接判斷即可．【解析】對于A，若α內有無窮多條平行的直線與β平行，則不能說明α平行β；對于B，平行于同一條直線的兩個平面可能不平行，還可以相交；對于C，垂直于同一條直線的兩平面平行；對于D，垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，還可以垂直．綜上，選項C正確．故選C．【答案】C【拓展延伸】1．三種平行關系間的轉化2．證明平行問題應注意的兩個問題(1)在推證線面平行時，必須滿足三個條件：一是直線a在已知平面外，二是直線b在已知平面內，三是兩直線平行．(2)把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行．【真題鏈接】

1．(2017年新課標Ⅰ)如圖所示，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中