第一章質點運動學

§1-1質點運動的描述

一、參照系坐標系質點

1、參照系

為描述物體運動而選擇的參考物體叫參照系。

2、坐標系

為了定量地探討物體的運動，要選擇一個與參照系相對靜止的坐標系。如圖

說明：參照系、坐標系是隨意選擇的，視處理問題便利而定。

3、質點

忽視物體的大小和形態，而把它看作一個具有質量、占據空間位置的物體，這樣的

物體稱為質點。

說明：⑴質點是一種志向模型，而不真實存在（物理中有很多志向模型）

⑵質點突出了物體兩個基本性質1）具有質量

2）占有位置

⑶物體能否視為質點是有條件的、相對的。

二、位置矢量運動方程軌跡方程位移

1、位置矢量

定義：由坐標原點到質點所在位置的矢量稱為位置矢

量（簡稱位矢或徑矢）。如圖1一2,取的是直角坐標系，

尸為質點P的位置矢量

f=xi+yjzk（1-1）

圖1-2

位矢大小：

r=|r|=yjx2y2+z2（1-2）

r方向可由方向余弦確定：

z

cosa=-,COS/3=—cos/=—

r9

2、運動方程

質點的位置坐標與時間的函數關系，稱為運動方程。

運動方程⑴矢量式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k(1-3)

(2)標量式：x=x(t),y=y(t),z=z(t)(1-4)

3、軌跡方程

從式(1-4)中消掉r,得出X、歹、z之間的關系式。如平面上運動質點，運動方

程為X=f,y=〃，得軌跡方程為＞=/(拋物線)

4、位移

以平面運動為例,取直角坐標系，如圖1—3。設t.t+M

時刻質點位矢分別為[、r2,則△/時間間隔內位矢變化為

Ar=r2-rt(1-5)

稱Ar為該時間間隔內質點的位移。

△產=(吃一再)；+(8—必)/(1-6)

大小為

|麗|二-。尸+(當一%產

探討：⑴比較甌與八二者均為矢量；前者是過程量，后者為瞬時量

⑵比較△尸與As(AfB路程)二者均為過程量；前者是矢量，后者是標量。一

般狀況下同*As。當AtfO時，聞=加。

⑶什么運動狀況下，均有所|=心？

三、速度

為了描述質點運動快慢及方向，從而引進速度概念。

1、平均速度

如圖1-3,定義：歹=—(1-7)

AZ

稱工為時間間隔內質點的平均速度。

-ArAxvAy-_-_-八。、

v=—=—?+—J=vi+vj(1-8)

△tAzArxv

工方向：同△尸方向。

說明：戶與時間間隔(-f+Af)相對應。

2、瞬時速度

方粗略地描述了質點的運動狀況。為了描述質點運動的細微環節，引進瞬時速度。

4、、/一[.一].Ardr

7E乂：v=limv=lim——=——

A-ooM出

稱口為質點在，時刻的瞬時速度，簡稱速度。

(1-9)

結論：質點的速度等于位矢對時間的一階導數。

drdx；dy-v-：

V=——=—1+—J=vxl+LJ(1-10)

dtdtdtxy

式中v個…一,分別為，在八、軸方向的速度重量。

V的大小：

2

drdx

KMdtdtdt

V

。的方向：所在位置的切線向前方向。/與X正向軸夾角滿意見。=上

匕

3、平均速率與瞬時速率

X內路程

定義:（參見圖1-3）

AZ

稱中為質點在/T+△，時間段內得平均速率。為了描述運動細微環節，引進瞬時速率。

小vAsds

定乂：v=limv-lim——=—

4ToAiO△/dt

稱P為』寸刻質點的瞬時速率，簡稱速率。

當A/f0時（參見圖1-3）,Ar=Jr,曝=ds,有\dr\-ds

可知:

dtdt

l-ids

即n=M=7(1-11)

dt

結論：質點速率等于其速度大小或等于路程對時間的一階導數。

說明：⑴比較E與M二者均為過程量；前者為標量，后者為矢量。

⑵比較丫與0：二者均為瞬時量；前者為標量，后者為矢量。

四、加速度

為了描述質點速度變化的快慢，從而引進加速度的概念。

1、平均加速度

定義：:=竺=』一匕.（見圖1-4）

△tAZ

稱亍為&時間間隔內質點的平均加速度。

2、瞬時加速度

為了描述質點運動速度變化的細微環節，引進瞬時加速度。圖1-4

中<7一[.=].Avdv

定義：a=hma=lim——二——

A—o4fozdt

稱）為質點在/時刻的瞬時加速度，簡稱加速度。

一dvd~r

a=-=-----(1-12)

dtdt

結論：加速度等于速度對時間的一階導數或位矢對時間的二階導數。

_dvdv-dv_d'x-d~y-

a=——=--i+-v-j=--z+--j

dtdtdtdt~d''t2

dv_d2xdvd2y

式中：axa=---=——ou%,分別稱為之在x、y軸上的重量。

xdtdt2ydtdt2x

22、2

'也丫公、d2y

々的大小:同=如+.也、++

dt）、力>dt2)[dt2)

2與x軸正向夾角滿意吆。=土

a的方向:

%

說明：值沿E的極限方向,一般狀況下。與e方向不同（如不計空氣阻力的斜上拋運

動）。

瞬時量：尸，v,v,a

綜上：過程量：Ar,V9V9a

矢量：r,Ar,v，v,a9a

標量：bs,V,V

A,tB-,+a,

五、直線運動-1X

OX]X2

質點做直線運動，如圖15圖1-5

1、位移

△尸=弓一方=x2i-xti-Axz

Ax>0：△尸沿+x軸方向；Ax<0：雷沿-x軸方向。

2,速度

drdx-

v=——=—i=vi

dtdt

vY>0,戶沿+x軸方向；vr<0,?沿-x軸方向。

3、加速度

_dvdv--

a=——=--xi=ai

dtdt

ax>0,萬沿+x軸方向；<0,萬沿-x軸方向。

由上可見，一維運動狀況下，由心、心、吟的正負就能推斷位移、速度和加速度

的方向，故一維運動可用標量式代替矢量式。

六、運動的二類問題

第一類問題：微分

運動方程^_____________a等

《第二類問題：積分-

例1T：已知一質點的運動方程為了=2萬+(2-產)，(SI),求:

⑴t=ls和t=2s時位矢；

(2)t=ls到t=2s內位移；

⑶t=ls到t=2s內質點的平均速度;

(4)t=ls和t=2s時質點的速度;

⑸t=ls到t=2s內的平均加速度；

(6)t=ls和t=2s時質點的加速度。

解:(1)亍1=2/+jm

r2=4/-2；m

(2)△了='一耳=2/-3jm

-Ar2i-3jc：/I/

(3)v=——=-----=2i-3/m/s

\t2-1

d7-一

(4)v=——=2i-2ti

dt

V]=2i-2ym/s

v2=2i-4jm/s

(5)心竺=上&=9=

ArAZ3-1

2

_drdv/2

(6)Q———2/m/s

dt~dt

例1-2：一質點沿x軸運動，已知加速度為a=4/(SI),初始條件為：f=0時,=0,

x0=10mo求：運動方程。

解：取質點為探討對象，由加速度定義有

。=電=4/(一維可用標量式)

dt

=dv=4tdt

由初始條件有：

[dv4tdt

JoJo

得：v=2t2

由速度定義得：

=>dx-2t2dt

由初始條件得：

「dx=12〃力

J10Jo

即

2

x=—t?+10m

3

由上可見，例IT和例1-2分別屬于質點運動學中的第一類和第二類問題。

§1-2圓周運動

一、自然坐標系

圖2-1中，BAC為質點軌跡，/時刻質點P位于A

點，耳、第分別為A點切向及法向的單位矢量，以A

為原點，目切向和痣法向為坐標軸，由此構成的參照

系為自然坐標系(可推廣到三維)

二、圓周運動的切向加速度及法向加速度

1、切向加速度

如圖1-7,質點做半徑為尸的圓周運動，，時刻，質

點速度

v=vet(2-1)

式(2-1)中，丫=|可為速率。加速度為

北立=史瓦+丫迫(2-2)

dtdtdt

式(2-2)中，第一項是由質點運動速率變化引起的，方

圖1-7

向與耳共線，稱該項為切向加速度，記為

a.=—e-ae(2-3)

‘力'''

式(2-3)中，

ES3

a,為加速度a的切向重量。

結論：切向加速度重量等于速率對時間的一階導數。

2、法向加速度

式(2-2)中，第二項是由質點運動方向改變引起的。

如圖1-8,質點由A點運動到B點，有

v->v'

ds-AB

因為瓦_LOZ,e\1OB,所以弓、口夾角為d。。

de,=e',-e,（見圖1-9）

當dOr0時，有|西|=同護=加。

因為龍,_1-弓，所以龐,由A點指向圓心0,可有

det=dOen

式（2-2）中第二項為:

detd6_vds_d_

該項為矢量，其方向沿半徑指向圓心，稱為法向加速度，記為

大小為

式（2-6）中，a“是加速度的法向重量。

結論：法向加速度重量等于速率平方除以曲率半徑。

3、總加速度

_____dv_v_

大小:

dv

dt

方向：之與耳夾角（見圖1-10）滿意

a,

4、一般曲線運動

圓周運動的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲

線運動，只要把曲率半徑尸看作變量即可。

探討：⑴如圖ITO,G總是指向曲線的凹側。

⑵a“三0時，尸—8,質點做直線運動。此時

[＞0,加速直線運動（公＞0）

為=也＜0,減速直線運動（dn＜0）

出=0,勻速直線運動（小=0）

⑶時，r有限，質點做曲線運動。此時

[＞0,加速曲線運動（公＞0）

4=包＜＜0,減速曲線運動（小＜0）

dt=0,勻速曲線運動（小=0）

‘加速圓周運動

圓周運動減速圓周運動

勻速圓周運動

（4）曲線運動特例

‘豎直下拋

拋體運動平拋

斜拋

三、圓周運動的角量描述

1、角坐標

如圖1-11,/時刻質點在A處，/+加時刻質點在B

處，。是0A與x軸正向夾角，6+A6是0B與x軸正向

夾角，稱。為f時刻質點角坐標，△。為時間間

隔內角坐標增量，稱為在時間間隔內的角位移。

2、角速度

平均角速度：

定義：b=^~（2-9）

△t

稱。為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運動。為了描述運動細微環節，須

要引進瞬時角速度。

定義：co=limci=lim=—（2-10）

goA/TOZdt

結論：角速度等于角坐標對時間的一階導數。

說明：角速度是矢量，聲的方向與角位移方向一樣。

3、角加速度

為了描述角速度變化的快慢，引進角加速度概念。

（1）平均角加速度：

設在+△/內，質點角速度增量為

一△①

定義:a------(2-12)

稱也為，-/+加時間間隔內質點的平均角加速度

瞬時角加速度:

A(wda>d~0

定義:a=lima=hm---=——=——(2-13)

△/TOgox出dr

稱。為/時刻質點的瞬時角加型度，簡稱角迎速度o

dcod~O

a=——=--(2-14)

dtdt"

結論：角加速度等于角速度對時間的一階導數或等于角坐標對時間的二階導數。

說明：角加速度是矢量，方向沿d◎方向。

4、線量與角量的關系

把物理量。、八萬、訪、Z等稱為線量，。，a等稱為角量。

(1)^v與關系

如圖2-7?力—>0時，|團=ds=rd0

有回=又

dtdt

即=“|(2-15)

(2)、4與a關系

式(2-15)兩邊對，求一階導數，有

dvdco

——v----

dtdt

B[Jat-ra(2-16)

(3)、%與。關系

(2-17)

§1-3相對運動

本節探討一個質點的運動，用兩個參考系來描述，并得出兩個參考系中物理量(如:

速度、加速度)之間的數學變換關系。

一、相對位矢

設有參照系E、M,其上固連的坐標系，如圖1T3,二坐標系相應坐標軸平行,

M相對于E運動。質點P相對E、M的位矢分別

為弓E、，相對位矢為：

-

亍PE=(218)

結論：P對E的位矢等于P對M的位矢

與。'對E的位矢的矢量和。

二、相對位移

圖1-13

由(2-18)有

△了所=A-PM+'「O'E(2-19)

結論：P對E的位移等于P對M的位移與。'對E的位移的矢量和。

三、相對速度

將式(2-18)兩邊對時間求一階導數有

%=%+%(2-20)

結論：P對E的速度等于P對M的速度與M對E的速度的矢量和。

四、相對加速度

由式(2-20)對時間求一階導數有

@PE~&PM+&ME(2-21)

結論：P對E的加速度等于P對M的加速度與M對E的加速度的矢量和。

例1-3：質點做平面曲線運動，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為r,。和明,

速度為力,試說明下式正確的有哪些?

dv

⑴a=——

dt

d2r

⑵a=--

dt"

⑶41

dt

r

解：因為標量聲矢量，所以⑴不對。

小，故⑵不對。

力2

而擊2_4=同=包=型,因此⑶正確。

1'dtdt

由于4=3中r為曲率半徑，而這里一為位矢的大小，不確定是曲率半徑，所以⑷不對。

r

例1-4：在一個轉動的齒輪上，一個齒尖P沿半徑為R的圓周運動，其路程S隨時間的

變化規律為S=+其中，%,b都是正的常數，則加寸刻齒尖P的速

度和加速度大小為多少？

dw

解：V=—=v+6/

dt0

。3產件

例1-5：—質點運動方程為產=10cos5〃+10sin5"(SI),求:

(i)q=?

(2)an=?

解：(1)v=—=-50sin5/z+50cos5"

dt

v=|v|=^(-50sin5/)2+(50cos5/)2=50m/s

dv

=—=0

dt

⑵%=7^2-Q；=a=250m/s2

2

(留意此方法，給定運動方程，先求出a、%，之后求％,這樣比用%=匕求％簡單)

r

例1-6：拋射體運動，拋射角為。，初速度為正，不計空氣阻力，

⑴問運動中值變化否？%、%變否？

⑵隨意位置同|、%為多少？

⑶拋出點、最高點、落地點同|、氏各為多少？曲率半徑為多少？

解：如圖所取坐標，x軸水平，y軸豎直，

。為拋射點。

⑴質點受重力恒力作用，有@=￡,故G不變.

Va,=—,而v改變，變。

at

%=荷-a；而a不變，at變,

。”變。

⑵隨意位置P處，質點的a,、明為

[an=gcosa

⑶拋射點處，a=e,v=嗎，有

|a,|=gsin61

an=gcosO

angeos。

最高點：a=0,v=vocos0,

同=0

<%=g,

ACOS20

r=-V-----

Ig

???落地點：與出射點對稱

同|=gsin6

an-gcos0

2

geos。

例1-7：一質點從靜止（E=0）動身，沿半徑為R=3m的圓周運動，切向加速度大小不

變，為4=3m/s；在/時刻，其總加速度萬恰與半徑成45°角，求f=?

解：依題意知，叁與5夾角為45°,有

（卬》

RR

由②有

例1-8：某人騎自行車以速率v向西行使，北風以速率v吹來（對地面），問騎車者遇到

風速及風向如何？

北

解：地為靜系E,人為動系M。風為運動物體P

確定速度：vPE=v,方向向南;

牽連速度：VME=V,方向向西;

求相對速度丫.”=?方向如何？

*"/>￡="PM+"A/E,,有圖1115。

%|=%|=丫,Na=45°

NVPM=4心+%=V2v圖1-15

vPM方向：來自西北。或東偏南45°。

第二章牛頓運動定律

§2-1牛頓運動定律力

一、牛頓運動定律

1、第確定律

戶=0時，-=恒量|（2-1）

說明：⑴反映物體的慣性，故叫做慣性定律。

⑵給出了力的概念，指出了力是改變物體運動狀態的緣由。

2、第二定律

聲=癡|（2-2）

說明：⑴戶為合力

⑵戶=小值為瞬時關系

⑶矢量關系

（4）只適應于質點

⑸解題時常寫成

F\--max

F=ma=>"F,.=mav（直角坐標系）（2-3）

F.=ma.

'丫2

Fn=man=m一（法向）

F=ma=><j（自然坐標系）（2-4）

Ft--mat=加,（切向）

.dt

3、第三定律

R=一戶J（2-5）

說明：⑴后、￡在同始終線上，但作用在不同物體上。

（2）R、￡同有同無互不抵消。

二、幾種常見的力

1、力

力是指物體間的相互作用。

2、力學中常見的力

（1）萬有引力

即任何二質點都要相互吸引，引力的大小和兩個質點的質量如、加2的乘積成正比，和

它們距離r的平方成反比；引力的方向在它們連線方向上。

說明：通常所說的重力就是地面旁邊物體受地球的引力。

（2）彈性力

彈簧被拉伸或壓縮時，其內部就產生抗拒力，并企圖復原原來的形態，這種力稱為

彈簧的復原力。

（3）摩擦力

當一物體在另一物體表面上滑動或有滑動的趨勢時，在接觸面上有一種阻礙它們相

對滑動的力，這種力稱為摩擦力。

3、兩種質量

,//=GmM//確定的質量加稱為引力質量,機引

ml

\f=zwa確定的質量加稱為慣性質量，加

可證明：——=const,

加慣

適選單位可有加引=加慣O

???以后不區分二者，統稱為質量。

§2-2力學單位制和量綱（自學）

§2-3慣性系力學相對性原理

一、慣性參照系

在運動學中，參照系可任選，在應用牛頓定律時，參照系不能任選，因為牛頓運動

定律不是對全部的參照系都適用。如圖2-1,假設火車車廂的桌面是水平光滑的，在桌

面上放一小球，明顯小球受合外力=0,當火車以加速度。向前開時，車上人看見小球以

加速度一值向后運動。而對地面上人來說，小球的加速度為零。假如取地參系，小球的

合外力等于零，故此時牛頓運動定律（第一、二定律）成立。假如取車廂為參照系，小

球的加速度胃0,而作用小球的合外力=0,故此時牛頓運動定律（第一、第二定律）不

成立。凡是牛頓運動定律成立的參照系，稱為慣性系。牛頓定律不成立的參照系稱為非

慣性系。

說明：（1）一個參照系是否為慣性系，要由視察和試驗來推斷。天文學方面的視察證明，

以太陽中心為原點，坐標軸的方向指向恒星的坐標軸是慣性系。理論證明，

凡是對慣性系做勻速直線運動的參照系都是慣性系。

（2）地球是否為慣性系？因為它有自轉和公轉，所以地球對太陽這個慣性系不

是作勻速直線運動的，嚴格講地球不是慣性系。但是，地球自轉和公轉的

角速度都很小，故可以近似看成是慣性系。

二、力學相對性原理

在1-3中已講過，參照系E與M,設E是一慣性系，M相對E以做勻速直線運動,

即0M也是一慣性系，二參照系相應坐標軸平行，在E、M上牛頓第二定律均成立，設一

質點巳質量為m,相對E、M有

凡=掰萬所（相對E）（2_7）

立“=加即材（相對M）_

設P相對E、M的速度分別為心￡、vPM,有

%E=+^ME（218）

上式兩邊對/求一階導數有

&PE=aPM（2-9）

可見，P對E和M的加速度相同。綜上可知，對于不同的慣性系，牛頓第二定律有

相同的形式（見（2-7））,在一慣性系內部所做的任何力學試驗，都不能確定該慣性系

相對其它慣性系是否在運動（見（2-9））,這個原理稱為力學相對性原理或伽利略相對

性原理。

§2-4牛頓定律應用舉例

例2-1:如圖2-2,水平地面上有一質量為M的物體,

靜止于地面上。物體與地面間的靜摩擦系數為人，若

要拉動物體，問最小的拉力是多少？沿何方向？圖2-2

解：⑴探討對象：M

⑵受力分析：M受四個力，重力巨，拉力7,

面的正壓力耳，地面對它的摩擦力『，見圖2-3。

⑶牛頓第二定律：

合力：F=P+T+N+f^P+T+N+f=M5

重量式：取直角坐標系

x重量：Fcos6-f=Ma

①

y重量：EsinO+N-尸=0②

物體啟動時，有

Fcos0-f>0③

物體剛啟動時，摩擦力為最大靜摩擦力，即/由②解出N,求得/為:

/=4（P"sin。）④

④代③中：有

F>〃,A^g/(cos6+sin。)⑤

可見:F=F(0)。7=7^時，要求分母(cos6+4sin。)最大。

設A(0)-Rssin0+cos6

今=氏cos。一sin8=0

=>tgS=4

“2A

'：嬴=-〃,sine-cose<0

...fg6=〃，時，A=Amm

nE=Emin。e="ag4s代入⑤中，

得:

LJ1+求

F方向與水平方向夾角為。=時，即為所求結果。

強調：留意受力分析，力學方程的矢量式、標量式（取坐標）。

例2-2：質量為加的物體被豎直上拋，初速度為%，物體受到的空氣阻力數值為/=K%,

K為常數。求物體上升到最高點時所用時間及上升的最大高度。

解：⑴探討對象：m

⑵受力分析：m受兩個力，重力戶及空

氣阻力/，如圖2-4。

⑶牛頓第二定律：

合力：F=P+f

P+f=fna

日dV

y重量：-mg-KV=m—

dt

mdV,圖2-4

=>------------=-dt

tng+KV

dV1」

即------------=——dt

mg+KVm

fVdV-17

Jvomg+KVm

1?mg+KV1」

—In----------=——dt

Kmg+KV^m

_K_t

mg+KV-em\mg+KV。)

11

=>V=—{mg+KV^em--wg①

KK

p=0時，物體達到了最高點，可有為

螫*=（

/0*n%lnl+%②

KmgKmg

dt

dy-Vdt

tJ]_K_f?

￡%=￡.=￡-[mg+KV.Ym--mgdt

tn?1

y=—rr（wg+^）em-1~—mgt

KK

m「-￡11

m

=~^T（mg+KV0）1-e~—mgt③

KK

l

o時，y=ymm

%

mg

例2-3：如圖2-5,長為/的輕繩，一端系質量為加的小球，另一端系于原點。，開始時

小球處于最低位置，若小球獲得如圖所示的初速度環，小球將在豎直面內作圓

周運動，求:小球在隨意位置的速率及繩的張力。

解：⑴探討對象：m

⑵受力分析：小球受兩個力,

即重力/嚙，拉力片,如圖2-6。

⑶牛頓定律：Fn+mg=ma

應用自然坐標系，運動到處時，重量方程有,

=m①

瓦,方向：Fn-mgcos0=man~j~

圖2-5

dv

方向：一mgsin0-ma.=m——②

'dt

dv?dvd0dvvdv

—____—,,—_____,

由②有：-gsin。a

dtdOdtddIdO

即vdv=-IgsinOdO

fvPO

作如下積分:[vdv-]）一lgsinOdO

有—說)=lg(COS0-1)

得：V=-JVQ+2lg(cos0-\)

n代①中，得：

F?=w(-y-+3gcos0-2g)

例2-4：如圖2-6,一根輕繩穿過定滑輪，輕繩兩端

各系一質量為叫和叫的物體，且加］>啊，

設滑輪的質量不計，滑輪與繩及軸間摩擦不

計，定滑輪以加速度即相對地面對上運動，

試求兩物體相對定滑輪的加速度大小及繩中張力。

解：⑴探討對象：叫、m2圖2-6

⑵受力分析：叫、加2各受兩個力，即重力

及繩拉力，如圖2-7。

⑶牛頓定律

設m對定滑輪及地加速度為4r、a］,

m2對定滑輪及地加速度為各「、萬2，

mx：mxg+，=嗎4=叫他什+?（））

m2：m2g+T2=m2a2=/n2（a2r+萬0）

如圖所選坐標，并留意外,=。2,=%，1\=T?=T，有"喈

w

［加￡一7=加1（%—即）

［mg+T=m（a+a）

22r0圖2-7

解得：勺=四*缶+0。）

加1+m2

例2-5：如圖2-8,質量為V的三角形劈置于水平光滑

桌面上，另一質量為根的木塊放在A/的斜面上，m與M

間無摩擦。試求〃對地的加速度和加對〃的加速度。

解：⑴探討對象：m>M

⑵受力分析：加受三個力，重力崎，正壓力加，

地面支持力耳”。m受兩個力，重力mg,M的支持力N,

如圖2-9所。

取坐標系，設M對地加速度為4”，〃［對M的加速度為，加對地的加速度為萬〃,

有4“=容”+編

由牛頓得二定律有：

m：mg+Nm（amM+aM）

x重量：JVsin=m（amMcos0-aM）①

y重量：-〃zg+Ncos。=一"%.”sin。②

一、質點的動量定理

1、動量

質點的質量加與其速度。的乘贈雪點的動量，記為戶。

R=加(3-1)

說明：⑴戶是矢量，方向與/相同

⑵戶是瞬時量

⑶R是相對量

⑷坐標和動量是描述物體狀態的參量

2、沖量

牛頓第二定律原始形式

-d

F=—(7MV)

dt

由止匕有Fdt=d(mv)

積分：『Fdt=dP^p2-A(3-2)

定義：『瓦〃稱為在4-乙時間內力聲對質點的沖量。

記為1=^Fdt(3-3)

說明：⑴7是矢量

(2)7是過程量

(3)7是力對時間的積累效應

(4)7的重量式

</1'=[Fydt

L=『F=dt

:,耳。2-。)=『4力(3-4)

尺(，2力

I叫-

F仁_

IxX

F心-3

.，.重量式(3—4)可寫成</,,J--5

F仁

4_

Fx、及、月是在八-J時間內工、工、￡平均值。

3、質點的動量定理

由上知I=p2-p](3-6)

結論：質點所受合力的沖量=質點動量的增量，稱此為質點的動量定理。

說明：⑴7與萬2-四同方向

Ix=P2X-Plx

⑵重量式<ly=P2y-Ply(3-7)

[Z=P2z—Plz

⑶過程量可用狀態量表示，使問題得到簡化

⑷成立條件：慣性系

⑸動量原理對碰撞問題很有用

二、質點系的動量定理

概念：系統：指一組質點

內力：系統內質點間作用力

外力：系統外物體對系統內質點作用力

設系統含〃個質點，第，?個質點的質量和速度分別為叫、V,.,對于第i個質點受合內

力為E內，受合外力為E外，由牛頓第二定律有

F+戶—也?

勺外'訥-dt

對上式求和，有

i=li=li=lUIULi=l

因為內力是一對一對的作用力與反作用力組成，故心內力0,

,.一d-

有F合外力=^P（3-8）

結論：系統受的合外力等于系統動量的變化，這就是質點系的動量定理。

式（3-8）可表示如下

『心外力力）=凡_〃（3-9）

Jf]Jp]

即7合外力沖量=P2-Px（3-10）

結論：系統受合外力沖量等于系統動量的增量，這也是質點系動量定理的又一表述。

例3-1：質量為機的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設打擊時間4,打擊前鐵錘速

率為n,則在打擊木樁的時間內，鐵錘受平均和外力的大小為？

解：設豎直向下為正，由動量定理知：

F't=0—my

nI忸—I=一rnv

11\t

強調：動量定理中說的是合外力沖量=動量增量

例3-2：一物體受合力為尸=2/（SI）,做直線運動，試問在第二個5秒內和第一個5

秒內物體受沖量之比及動量增量之比各為多少？

解：設物體沿+x方向運動，

人=[尸或=￡2/力=25N-S（Z沿f方向）

/2=[人力=12以f=75N-S（人沿j方向）

=>/,//）=3

..=（%）2

?"=（皿

.（即）2R

??----=3

（△p）l

例3-3：如圖3-1,一彈性球，質量為加=0.020kg,

速率v=5m/s,與墻壁碰撞后跳回。設跳回時速

率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都

為a=60。o

⑴求碰撞過程中小球受到的沖量7=?

⑵設碰撞時間為△/=0.05s,求碰撞過程中小球

受到的平均沖力了=?

解：⑴7=?

如圖13-1所取坐標，動量定理為7=初弓-加G

〈方法一〉用重量方程解

Ix=mv2x-mv]x-mvcosor-(-wvcosa)=2/wncosa

Iv=mv2v-ZMV1R=wvsincz-wvsina=0

=>I=Ixi=2mvcosai=2x0.020x5xcos60°i=0.10/N,S

〈方法二〉用矢量圖解

I=mv2-mv1=m{y2-vj

（%-匕）如上圖3-1所示。

?；NOBA=a=60°,，N/=60°

故NO46為等邊三角形。

=艮-W=n=5m/s,仔2_%）沿7方向

/./=zn|v2-v,|=0.020x5=0.10N?S,沿f方向。

⑵7=鼠

^=7/AZ=0.107/0.05=2/N

留意：此題按7=『戶力求7困難（或求不出來）時，用公式7=型求便利。

§3-2動量守恒定律

由式（3-8）知，當系統受合外力為零時

亞=0

(3-11)

dt

即系統動量不隨時間變化,稱此為動量守恒定律。

說明：⑴動量守恒條件：戶合外力=0,慣性系。

⑵動量守恒是指系統的總動量守恒，而不是指個別物體的動量守恒。

⑶內力能改變系統動能而不能改變系統動量。

⑷戶合外力力0時，若戶合外力在某一方向上的重量為零，則在該方向上系統的動

量重量守恒。

⑸動量守恒是指丘=常矢量（不隨時間變化），，此時要求用外力三0。

⑹動量守恒是自然界的普遍規律之一。

例3-4：如圖3-2,質量為加的水銀球，豎直地落到L

光滑的水平桌面上，分成質量相等的三等份，沿桌面，.

r,l\v\

運動。其中兩等份的速度分別為G、v2,大小都為a/

0.30m/so相互垂直地分開，試求第三等份的速度。n，2-----彳弋---------1

解：〈方法一〉用