題型七幾何證明與作圖類型1簡單幾何證明題類型2填空雙空題

類型3尺規作圖2025湖北數學類型1簡單幾何證明題2025湖北數學1.如圖，在△ABC和△DEF中，點A，E在線段CF上，AB與DE交于點G，若∠BAC＝∠D，∠AGE＝∠C，AC＝DF.求證：AB＝DE.證明∵∠BAC＝∠D，∠DEF＝∠DEF，∴∠AGE＝∠F，∵∠AGE＝∠C，∴∠C＝∠F.∵AC＝DF，∠BAC＝∠D，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE.

2.如圖，△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC垂足為E，DF⊥BC垂足為F，且ED＝FD，求證：△ABC是等腰三角形．3.如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠ABD＝90°，E是BD的中點，且BC∥AE，連接CE.求證：AB＝CE.證明：∵點E是BD的中點，BC＝CD，∴CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴AB∥CE.∵BC∥AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴AB＝CE.4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點，過點C作CE∥AB，且AD＝CE，連接AE，BD.求證：∠ABD＝∠CAE.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為CD邊上的中點，連接AE并延長，與BC的延長線交于點F，連接AC，DF，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．

6.如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為AB，CD邊的中點，連接CE，AF.求證：∠BCE＝∠DAF.

一題多解法7.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，OA＝OC，OB＝OD，DE平分∠ADB交AB于點E，且∠AOB＝4∠ADE.求證：AB⊥BC.證明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠ADE，∵∠AOB＝4∠ADE＝∠DAO＋∠ADB＝∠DAO＋2∠ADE，∴∠DAO＝2∠DAE，∴∠DAO＝∠ADB，∴AO＝DO，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE，BE，延長AE交BC的延長線于點F.若AB＝BC＋AD，求證：BE⊥AF.

∵AB＝BC＋AD，∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF，∴△ABF是等腰三角形，∵AE＝FE，∴E為AF的中點，∴BE⊥AF.類型2填空雙空題2025湖北數學

2.如圖，由三個全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF拼成一個大等邊三角形ABC.連接BD并延長交AC于點G，若AE＝ED＝2，則(1)∠FDB的度數是____；(2)DG的長是_____．30°

3.如圖，正方形ABCD的邊長是6，對角線的交點為O，點E在邊CD上且CE＝2，CF⊥BE，連接OF，則(1)∠OFB＝____；(2)OF＝_____．

45°4.如圖，BD是等邊△ABC的中線，過點D作AB垂線FE，交AB于點F，交BC的延長線于點E，過點F作FH∥BD交AD于點H，若AH＝1，則AD的長是___，△BDE的面積是______．

45.(2024重慶B卷)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點B為切點．連接AC交⊙O于點D，E是⊙O上一點，連接BE，DE，過點A作AF∥BE交BD的延長線于點F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，則AB的長度是____；DF的長度是____．

6.如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，點D在AC上(可與點A，C重合)，分別過點A，C作直線BD的垂線，垂足為E，F，則AE＋CF的最大值為____，最小值為____．1512題型3尺規作圖2025湖北數學1.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC.(1)作∠BAC的平分線交BC于點D；(要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)

(1)解：如解圖所示，射線AD即為所求；解圖

1.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC.(2)在(1)的條件下，若E是線段AD上一點，連接BE，CE，求證：△BDE≌△CDE.解圖2.如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為邊AC上一點，連接BD.(1)作∠BDE＝∠C，且DE交邊AB于點E；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)(1)解：如解圖，∠BDE即為所求作(作法不唯一)；解圖2.如圖，在△ABC中，AB＝BC，D為邊AC上一點，連接BD.(2)在(1)的條件下，求證：∠BED＝∠ADB.(2)證明：由(1)可知，∠BDE＝∠C，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠BDE＝∠A，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠A＝∠BED，即∠BED＝∠ADB.解圖3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD.(1)請用無刻度的直尺和圓規作出線段BD的垂直平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；解：(1)作線段BD的垂直平分線EF如解圖所示；解圖(2)如解圖，∵EF是線段BD的垂直平分線，∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF＝6.∴AE＝AD－DE＝2.3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD.(2)若(1)中所作的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接DF，AD＝8，DF＝6，求AE的長．解圖4.如圖，線段AC，BD相交于點O，且AB∥CD，AE⊥BD于點E.(1)尺規作圖：過點C作BD的垂線，垂足為點F，連接AF，CE；(保留作圖痕跡，不寫作法，并標明相應的字母)解：(1)如解圖，CF，AF，CE即為所求；解圖4.如圖，線段AC，BD相交于點O，且AB∥CD，AE⊥BD于點E.(2)若AB＝CD，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．(若前問未完成，可畫草圖完成此問)(2)四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠BEA＝∠DFC＝90°.又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.解圖5.中國清代數學家李之鉉在其著作《幾何易簡集》中記載了這樣一道畫圖題：原文釋義甲乙為定直線，以甲為圓心，以任意之半徑截于丙；又以丙為圓心，以同度之半徑作兩弧而得交點丁；以丁為圓心，丁丙為半徑畫弧，連丙丁而引長之則得交點戊；戊甲相連.如圖，已知射線AB，①以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線AB于點C；②以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧交①中所畫弧于點D；③以點D為圓心，以CD長為半徑畫弧交CD的延長線于點E；④連接AE.(1)根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，完成這道作圖題(保留作圖痕跡，不寫作法)；解：(1)如解圖，即為所求；解圖(2)根據(1)完成的圖，連接AD，補充如下證明過程：證明：由作圖痕跡得，AD＝CD＝DE，∴∠DAC＝_______，∠DEA＝∠DAE，∵∠ACE＋∠CEA＋∠CAE＝180°，∠CAE＝_______＋_______，∴∠ACE＋∠CEA＋∠DAC＋∠DAE＝180°，∴2(∠DAC＋∠DAE)＝180°，即∠DAC＋_______＝90°，∴∠EAB＝____°，∴AB⊥AE.解圖90∠DCA∠DAC∠DAE∠DAE

(1)作出四邊形EFHG如解圖；解圖

解圖

DHEFHGa

7.如圖，已知矩形ABCD，點M，N分別在CD，AB上(不與頂點重合)，連接MN，線段MN將矩形ABCD分為面積相等的兩部分．(1)請用數學中常用的工具：圓規，無刻度直尺，找出一組符合條件的M點和N點(保留作圖痕跡，不寫作法)；(1)解：如解圖①，點M，N即為所求；一題多解法解圖①(2)求證：AM＝CN.(2)證明：如解圖②，連接AM，CN，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCM.∵∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(ASA)，∴AN＝CM.∵AB∥CD，∴∠CMN＝∠MNA，∵MN＝NM，∴△ANM≌