2.2.1空間向量及其加減運算第二章

空間向量與立體幾何教學目的1.理解空間向量的概念。2.掌握空間向量的線性運算。3.掌握共線向量定理及其應用。重點難點重點：空間向量的有關概念，掌握空間向量的線性運算，掌握共線向量定理，掌握共線向量定理及其應用。難點：理解空間向量的概念，掌握共線向量定理及其應用。復習導入平面向量定義表示幾何表示代數表示向量的模相等向量相反向量單位向量零向量平面向量的有關概念平面向量空間向量定義既有大小又有方向表示幾何表示有向線段代數表示,向量的模向量的大小：||,||相等向量大小相等方向相同相反向量大小相等方向相反單位向量模為1的向量零向量模為0，方向任意類比新知探究問題：你能類比平面向量，得出空間向量的相關概念嗎？試填充下表：平面向量空間向量定義（平面中）既有大小又有方向（空間中）既有大小又有方向表示幾何表示有向線段有向線段代數表示,,向量的模向量的大小：||,||向量的大小：||,||相等向量大小相等方向相同大小相等方向相同相反向量大小相等方向相反大小相等方向相反單位向量模為1的向量模為1的向量零向量模為0，方向任意模為0，方向任意平面向量與空間向量只是研究的范圍不同.空間向量是平面向量擴展。新知探究例1

如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中：（1）向量DC，A'B'，D'C'

與向量AB相等嗎？（2）向量C'D'，CD，BA與向量A'B'相等嗎？解：（1）由于DC，A'B'，D'C'

均與AB的方向相同、長度相等，因而它們均與AB相等．（2）由于C'D'，CD，BA的長度均與A'B'的長度相等，但方向相反，因而它們均是A'B的相反向量．新知應用新知應用②③

我們知道平面向量求和采用三角形法則和平行四邊形法則，那么能否繼續利用三角形法則和平行四邊形法則對空間向量求和呢？新知探究1.你能說出平面向量的加法如何計算嗎？

平行四邊形法則

三角形法則新知探究

空間向量依舊可以做加法，結果依然是向量，并且遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法規則亦然！

A

2.空間中的向量加法應該是什么樣的，遵循怎樣的法則？向量減法呢？3.平面向量滿足什么算律呢？空間向量是否同樣滿足？新知探究平面向量的運算律加法交換律：加法結合律：數乘分配律：3.平面向量滿足什么算律呢？空間向量是否同樣滿足？新知探究空間向量的加法運算律：

a

＋

b

=

b

＋

a

（加法交換律）

(a

＋

b

)

＋c=

a

＋(b

＋c)．（加法結合律）abca+b+cabca+b+ca+bb+c（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：推廣（2）首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：推廣新知應用4.平面向量的數乘運算能否推廣到空間向量？新知探究當λ>0時，λa與

a方向相同；數乘運算：與平面向量一樣，實數λ與空間向量

的乘積λ

仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算.

|λ

a|=|λ||a|．其長度和方向規定如下：當λ<0時，λa與

a方向相反．新知探究5.λa與a之間是什么關系？

λa與a所在直線之間的關系？

共線向量基本定理對于空間任意兩個向量a,b(b≠0)，

a//b的充要條件是存在實數λ，使

a=λb6.空間向量的數乘滿足什么算律呢？新知探究數乘分配律：新知應用

新知應用方法：利用共線定理，通過線性運算法則簡單化簡共線向量基本定理的推論如圖，l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，對于空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使推廣OP=OA+ta.(1)OP=(1-t)OA+tOB.

(2)aPB總結歸納1.空間向量的基本概念。2.空間向量的線性運算法則及運算律。3.共線向量。（1