題型九全國趨勢跨學科試題2025湖北數學1.(2024成都)中國古代運用“土圭之法”判別四季.夏至時日影最短,冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數.某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子AB垂直于地面，AB長8尺.在夏至時，桿子AB在太陽光線AC照射下產生的日影為BC；在冬至時，桿子AB在太陽光線AD照射下產生的日影為BD.已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分時日影長度

(結果精確到0.1尺；參考數據：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35)

2.(2024遼寧)如圖①，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起.起始位置示意圖如圖②，此時測得點A到BC所在直線的距離AC＝3m，∠CAB＝60°；停止位置示意圖如圖③，此時測得∠CDB＝37°(點C，A，D在同一直線上，且直線CD與地面平行，圖③中所有點在同一平面內.定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變).(1)求AB的長；

3.(2024樂山)我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地.送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺(5尺為一步)，秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺.(假設秋千的繩索拉的很直)(1)如圖①，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；解：(1)如解圖，過點A'作A'B⊥OA，垂足為B.

設秋千繩索的長度為x尺.由題可知，OA＝OA'＝x，AB＝4，A'B＝10，∴OB＝OA－AB＝x－4.在Rt△OA'B中，由勾股定理得A'B2＋OB2＝OA'2，∴102＋(x－4)2＝x2.解得x＝14.5.答：秋千繩索OA的長度為14.5尺；解圖B(2)如圖②，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h.根據上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α，β和h的式子表示；如果不能，請說明理由.

4.

問題背景：日常生活中的各種稱重儀器大多都可以測出一定范圍內的物體質量，當物體質量太輕或太重時便無法直接測量出結果，在數學活動課上，老師讓同學們測空牛奶盒的質量.實驗操作：如圖，興趣小組的同學利用所學知識，制作了一個簡易天平，左側托盤固定在點A處，且托盤上放置了一個100g的砝碼，右側托盤可以在BC段滑動.已知AC＝15cm，BC＝50cm，通過往牛奶盒里加入水或倒出水，并移動右側托盤使天平保持平衡，得到下表中的實驗數據.實驗數據：實驗序號第1次第2次第3次第4次第5次總質量m(牛奶盒＋水)/g120605040150CD的距離l/cm12.5253037.510問題解決：任務一：根據表中數據可知，CD的長度隨著總質量的增大而

，并依此猜想：l與m滿足怎樣的函數關系：

(填“一次函數”“反比例函數”或“二次函數”)；減小反比例函數

任務二：某同學給空牛奶盒里加入了65g的水，移動托盤使天平保持平衡，此時CD＝20cm，求這個空牛奶盒的質量；任務三：在任務二的情況下，天平達到平衡，此時將含65g水的牛奶盒與砝碼的位置互換，要使天平仍保持平衡，則右邊托盤應怎樣移動.由任務二得含65g水的牛奶盒總質量為75g，∵將含65g水的牛奶盒與砝碼的位置互換，∴要使天平左邊