1.1.1正切授課教師

：班

級

：*

大

*

大

*

大

大

大

時

間

：

*

大

*

大

*

*

大

*********第一章

直角三角形的邊角關系北師大版數學九年級下冊【示范課精品課件】變式訓練課堂檢測新知講解典例講解新知講解復習引入I234

5

67

中

考

考

法學習目錄布置作業小結梳理98知識點

①正

切正切的概念如圖1-1-1,在Rt△ABC中，如果銳

角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊的比便

隨之確定，這個比叫做∠A

的正切，記∠A的對邊圖

1

-

1

-

1對邊與鄰邊，那么

●如果用a,b

分別表示∠A

的作tanA,即知1一講特別提醒●

tan

A不表示

“tan"

乘

“A”.tan

A是一個完整的符號，

它表示∠A

的正切。●tan

A>0且沒有單位，它表示一個比值，tan

A的

大

小只與∠A

的大小有關.90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,tan

∠BCD=

●CA

D圖1

-

1

-

2垂足為D,

則B例

1[中考

·桂林]如圖1-1-2,在Rt△ABC

中，∠ACB=知1一練3

一4解題秘方：緊扣正切的定義，找出該銳角所在的直角三角形的兩直角邊的比值，或與之相等的銳角所在直

角三角形的兩直角邊的比值.解：∵∠BCD+∠ACD=90°,∠CAB+∠ACD=90°,

∴∠BCD=∠CAB,知1一練1-1.[中考

·連云港]如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于

點

0

,E

為AD的中點，AC=4,OE=2.求OD的長及tan

∠EDO的值.知1一練解

：

∵四邊形ABCD

是菱形，∴

AC⊥BD,

∵AC=4,

∴OA=2.∵E是

AD的中點，

.

∵OE=2,

∴AD=4.∴OD=√AD2-OA2=√42-22=2√3.知1

一

練知2一講知

識

點2正切與梯子的傾斜程度的關系正切與梯子的傾斜程度的關系(1)當梯子與地面所成的角為銳角A

時

，tan

A的值越大，梯子越陡.因此，可用梯子的傾斜角的正切值來描述梯子的傾斜程度.梯

子

的

垂

直

高

度—

水平寬度tanA=知2一講(2)當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值隨之確定，這一

比值只與傾斜角的大小有關，而與物體的長度無關.(3)對“傾斜程度”的理解：①傾斜程度，其本意指傾斜角的大小，

一般來說，

傾斜角越大的物體，就說它放得越“陡”.②通過計算物體與地面夾角的正切值來判斷物體的

傾斜程度，夾角的正切值越大，物體放置得越“陡”.知2一講特別提醒●在很多實際問題中，人們無法測量傾斜角(如梯子與地

面的夾角),這時通常采用傾斜角的正切值來刻畫傾斜

程度.●一個銳角的正切值隨角度的增大(減小)而增大(減小).例

2如圖1-1-3,李佳怡和王慧珍將兩根木棒分別斜靠在墻上，其中AB=10cm,CD=6cm,BE=6

cm,DE=2cm.你能判斷出哪根木棒更陡嗎?說明理由.解題秘方：緊扣傾斜程度與正切值的關系以及正切值的求法解決問題.知2一練圖1

-

1

-

3解：木棒CD更陡.理由如下：

知

2

一

練

在Rt△ABE中，AE=√AB2-BE2=√

102-62=8(cm),在Rt△CDE中，CE=√CD2-DE2=√62-22=4√2(cm),∵tan

∠CDE>tan

∠ABE,∴木棒CD

更陡.∴ta2-1.如圖，梯子AB和EF中，更陡的是(

C)A.一樣陡B.梯子ABC.

梯子EFD.不能確定知2一練名稱定義表示方法關系舉例坡度坡面的鉛直高度

h與水平寬度l的

比稱為坡度(或

坡比),記作i坡度是

坡角的

正切值，

坡度越

大，坡

角越大，

坡面就

越陡當h=1,l=

√3時，坡度i=1:

√

3,坡角

a為30°坡角坡面與水平面的

夾角叫做坡角(或傾斜角),記

作∠a知

識

點

3坡度與坡角知3一講知3一講特別提醒●坡度是一個比，坡角是一個角.●坡度一般寫成1:m

的形式，比的前項為1,后項m

可

以是小數，也可以是帶根號的數。知3一練例

3如圖1-1-4,攔水壩的橫截面為梯形ABCD,BC//AD,斜坡AB的坡度為1:3,壩頂寬BC=3m,壩高為4m,斜坡CD=5m.解題秘方：緊扣坡度與坡面的傾斜程度之間的關系解決問題.圖1-

1-4(1)試比較斜坡AB和CD哪個更陡；解：如圖1-1-4,過點C作CF⊥AD,垂足為F,則CF=4m.在Rt△CFD

中，根據勾股定理，得FD=√

CD2-CF2=√52-42=3(m),圖1-1-4

.

·tan

,

∴tan

D>tan

A,∴斜坡CD更陡.

知

3

一

練

∴AE=3BE=3×4=12(m).∴AD=AE+EF+FD=12+3+3=18(m)即壩底AD

的長為18m.

圖1

-

1

-

4(2)求壩底AD的長.解：如圖1-1-4,過

點B

作BE⊥AD,BE=4m,EF=BC=3m.在Rt△AEB垂足為E,

易知中，∵

t:

知

3

一

練

3-1.[中考

·深圳]爬坡時坡面與水平面夾角為a,

則每爬

1m耗能(1.025-cosa)J,

如圖，若某人爬了1000

m,該坡角為30°,則他耗能(參考數據：

√3≈1.732,

√2≈1.414)(B)A.58J

B.159JC.1025J

D.1732

J知3一練1.

[2024鹽城期中]在Rt△ABC

中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,c=3a,則

tanA

的值為(

B

)A.

B.

C.√2D.32.

[2024常州新北區月考]如果某人沿坡度為3:4的斜坡前進10m,

那么他所在的位置比原來的位置升高了(A)A.6m

B.8mC.10m

D.12m3.

如圖所示，在△ABC

中，∠C=90°,AD是

BC邊上的中線

，BD=4,AD=2√5,

則

tan∠CAD的值是(A

)A.2B.√2C.√3D.

√54.

如圖，已知點A(t,3)在第一象限，OA

與

x軸的夾角為α,且

,

則t的值是(

C

)A.1B.C.2D.35.[教材P4

隨堂練習T2]如圖，有一斜坡AB,坡頂B

離地面的高度BC

為30m,斜坡的傾斜角是∠BAC,若

tan∠BAC則此斜坡的水平距離AC為

75

m.6.[教材P3例1]如圖①②表示兩個自動扶梯，則自動扶梯①

比較陡(填“①”或“②”).B5mFt8m①12

m②【點撥】由題圖①中數據可得，故

由題圖②中數據可得，∵tan

D<tan

A,

∴自動扶梯①比較陡.面積.【解】∵在△ABC

中，∠C=90°,BC=4,tan.

∴AC=6.