7.5正態分布1.利用實際問題的頻率直方圖，了解正態曲線的特征、意義以及正態曲線的性質2.會根據正態曲線的性質求隨機變量在某一區間的概率3.會利用正態分布的3σ原則進行概率決策。學習目標1.兩點分布：X01P1-pp2.二項分布：X01…k…nP……3.超幾何分布：Xmm+1…k…rP……離散型隨機變量復習回顧現實中，除了前面已經研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續型隨機變量(continuousrandomvariable).下面我們看一個具體問題.問題:自動流水線包裝的食鹽,每袋標準質量為400g.由于各種不可控的因素,任意抽取一袋食鹽,它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質量減去標準質量).用X表示這種誤差,則X是一個連續型隨機變量.檢測人員在一次產品檢驗中,隨機抽取了100袋食鹽,獲得誤差X

(單位:g)的觀測值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述這100個樣本誤差數據的分布?(2).如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布?可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布,如右圖.所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區間內的頻率,所有小矩形的面積之和為1.根據頻率與概率的關系，可用以用上圖中的鐘型曲線來描述袋裝食鹽質量誤差的概率分布.曲線與水平軸之間的面積為1任意抽取一袋鹽，誤差落在[-2,-1]內的概率如何表示?可以用圖中黃色陰影部分的面積表示.誤差觀測值有正有負,并大致對稱地分布在X=0的兩側,而且小誤差比大誤差出現得更頻繁隨著樣本數據量越來越大,讓分組越來越多,組距越來越小,由頻率的穩定性可知,規率分布直方圖的輪廓就越來越穩定,接近一條光滑的鐘形曲線,如右圖所示。0YX相應的函數解析式為：稱為正態密度函數

一、正態密度曲線（簡稱正態曲線）由函數知識可知，此鐘形曲線是一個函數，在數學家不懈的努力下，得到此鐘形曲線的解析式。正態密度曲線若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量X服從正態分布(normaldis-tribution),記為X~N(u,σ2).y012-1-2x-33μ=0σ=1

二、正態分布的定義特別地,當u=0,σ=1時,稱隨機變量X服從標準正態分布.(2)隨機變量X的取值的概率計算（數形結合法）①P(X=a)=0(隨機變量X在某點處的概率為0）②X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積,

P(a≤X<b)為區域B的面積.（隨機變量X在某個范圍內的概率等于正態曲線、x軸及范圍界點所在直線圍成的面積）

三、正態曲線的性質：具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征.(5)當無限增大時，曲線無限接近x軸.且對稱區域面積相等即直線x=u左側與右側正態曲線與x軸圍成的面積相等，都等于0.5；

σ越大，表示總體的分布越分散；σ越小，表示總體的分布越集中.μ=-1μ=0

μ=1σ=1μ=0

正態曲線在特殊區間上的概率：四、正態分布的3??原則.正態總體在

以外取值的概率只有0.0027

,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生,稱為小概率事件.

小概率事件:發生的概率小于或等于5%（小于或等于1%）的事件

五、正態分布下的概率計算問題.例2

在某次考試中,考生的成績X服從正態分布,即

X~N（90,100）（1）求考試成績X位于區間（70,110]上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（80,100]之間的考生大約有多少人？[解]∵X～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝10．(1)在該正態分布中，μ－2σ＝70，μ＋2σ＝110，∵P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，∴考試成績X位于區間(70,110]內的概率為0.9545．(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，∵P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，∴考試成績X位于區間(80,100]內的概率為0.6827．由共有2000名考生，知考試成績在(80,100]間的考生大約有2000×0.6827≈1365(人)．練習3.若X~N(5,1),求P(6<X<7).

4.若X~N(μ,σ2),問X位于區域(μ,μ+σ)內的概率是多少？解：由正態曲線的對稱性可得，5.6.六、使用正態分布的3??原則進行概率決策.正態曲線在特殊區間上的概率：正態總體在

以外取值的概率只有0.0027

,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生,稱為小概率事件.

小概率事件:發生的概率小于或等于5%（小于或等于1%）的事件例3.某企業產品正常生產時，產品尺寸服從正態分布N(80,0.25),從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表:根據產品質量標準和生產線的實際情況,產品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外視為小概率事件,一旦小概率事件發生,視為生產線出現異常,產品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以內為正品,以外為次品.(1)判斷生產線是否出現異常,并說明理由.(2)用頻率表示概率,若再隨機從生產線上取3件產品復檢,正品檢測費10元/件,次品檢測費15元/件.記這3件產品檢測費為隨機變量X,求X的數學期望及方差.

例3.某企業產品正常生產時，產品尺寸服從正態分布N(80,0.25),從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表:根據產品質量標準和生產線的實際情況,產品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外視為小概率事件,一旦小概率事件發生,視為生產線出現異常,產品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以內為正品,以外為次品.(1)判斷生產線是否出現異常,并說明理由.

解:(1)依題意,有μ=80，σ=0.5,所以正品尺寸的范圍是[78.5,81.5].因為200×(1-0.9973)=0.54(件),而超出正常范圍的零件數為5,所以生產線出現異常.例3.某企業產品正常生產時，產品尺寸服從正態分布N(80,0.25),從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表:根據產品質量標準和生產線的實際情況,產品尺寸在[μ一3σ,μ+3σ]以外視為小概率事件,一旦小概率事件發生,視為生產線出現異常,產品尺寸在[μ一3σ，μ+3σ]以內為正品,以外為次品.(2)用頻率表示概率,若再隨機從生產線上取3件產品復檢,正品檢測費10元/件,次品檢測費15元/件.記這3件產品檢測費為隨機變量X,求X的數學期望及方差.1.某學校為了了解全校學生的體重情況,從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，得到頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率，(1)估計這100人體重數據的平均值μ和方差σ2.(結果取整數,同一組數據用該組區間的中點值作代表)(2)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在[55,65)的人數,求X的分布列和數學期望.(3)由頻率分布直方圖可以認為,該校學生的體重Y近似服從正態分布N(μ,σ2).若P(μ-2σ<Y<μ+2σ)>0.9545,則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常,并說明理由.練習2.某設備在正常運行時,產品的質量服從正態分布，其參數分別為μ=500g，σ=1g.為了檢查設備運行是否正常，質量檢查員需要隨機抽取產品,測量其質量.當檢查員隨機抽取一個產品,測得其質量為504g時，他立即要求停止生產，檢查設備,他的決定是否有道理?2.某設備在正常運行時,產品的質量服從正態分布，其參數分別為μ=500g，σ=1g.為了檢查設備運行是否正常，質量檢查員需要隨機抽取產品,測量其質量.當檢查員隨機抽取一個產品,測得其質量為504g時，他立即要求停止生產，檢查設備,他的決定是否有道理?解:檢查員的決定是有道理的.理由如下:當該設備正常運行時，產品的質量服從正態分布，其參數分別為μ=500g，σ=1g,所以根據正態分布的性質可知，產品質量在區間[μ-3σ,μ+3σ]內,即[497，503]內的概率約為0.9973,而產品的質量超出這個范圍的概率只有0.0027,這是