河北省張家口市2025年高三下學期一模考試數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的大致圖象為（）A． B．C． D．2．已知奇函數是上的減函數，若滿足不等式組，則的最小值為（）A．-4 B．-2 C．0 D．43．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．已知復數，其中，，是虛數單位，則（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．8．公差不為零的等差數列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數列，則數列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數是定義在上的奇函數，函數滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．10．設集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個11．若，則的值為（）A． B． C． D．12．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.14．已知橢圓的左右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為________.15．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________.16．若冪函數的圖象經過點，則其單調遞減區間為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣A＝(k≠0)的一個特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對應的變換將點(3，1)變為點(1，1)．求實數a，k的值．18．（12分）某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試，每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率；（2）若已知甲同學特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機選1所；而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所．（i）求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數，求隨機變量的分布列及數學期望．19．（12分）已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，且，，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前n項和.20．（12分）在直角坐標系xOy中，直線的參數方程為（t為參數，）．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點，且．求直線的方程．21．（12分）已知等差數列和等比數列的各項均為整數，它們的前項和分別為，且，.（1）求數列，的通項公式；（2）求；（3）是否存在正整數，使得恰好是數列或中的項？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.22．（10分）已知函數．（1）若函數在上單調遞增，求實數的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數解析式判斷函數的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.2、B【解析】

根據函數的奇偶性和單調性得到可行域，畫出可行域和目標函數，根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數是上的減函數，則，且，畫出可行域和目標函數，，即，表示直線與軸截距的相反數，根據平移得到：當直線過點，即時，有最小值為.故選：.【點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性，線性規劃問題，意在考查學生的綜合應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.3、B【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.4、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.5、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應選．6、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數的運算；2、復數的模.7、C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式，將化簡為關于的形式，結合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結果；（2）將變形為，利用的值求出結果.8、B【解析】

設數列的公差為.由，成等比數列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數列的公差為，①.成等比數列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.9、D【解析】

說明函數是周期函數，由周期性把自變量的值變小，再結合奇偶性計算函數值．【詳解】由知函數的周期為4，又是奇函數，，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎．10、A【解析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個元素，故選A．考點：集合的運算．11、C【解析】

根據，再根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以二項式的展開式的通項公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式通項公式的應用，考查了數學運算能力12、B【解析】

根據交集的定義，，可知，代入計算即可求出.【詳解】由，可知，又因為，所以時，，解得.故選：B.【點睛】本題考查交集的概念，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.14、【解析】

由題得直線的方程為，代入橢圓方程得：，設點，則有，由，且解出，進而求解出離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，代入消得：，設點，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系，三角形面積計算與離心率的求解，考查了學生的運算求解能力15、【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.16、【解析】

利用待定系數法求出冪函數的解析式，再求出的單調遞減區間．【詳解】解：冪函數的圖象經過點，則，解得；所以，其中；所以的單調遞減區間為．故答案為：．【點睛】本題考查了冪函數的圖象與性質的應用問題，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解：設特征向量為α＝對應的特征值為λ，則＝λ，即因為k≠0，所以a＝2．5分因為，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝2．綜上，a＝2，k＝2．20分【解析】試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點：特征向量,逆矩陣點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣．18、（1）（2）（i）（ii）分布列見解析，【解析】

（1）先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率，利用事件的獨立性即得解；（2）（i）分別計算每個事件的概率，再利用事件的獨立性即得解；（ii），利用事件的獨立性，分別計算對應的概率，列出分布列，計算數學期望即得解.【詳解】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學都選高校，共有四種情況，甲同學選高校的概率為，因此乙、丙兩同學選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立，所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為．（2）（i）甲同學必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因為每位同學彼此獨立，所以甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率為．（ii），因此，．即的分布列為0123因此數學期望為．【點睛】本題考查了事件獨立性的應用和隨機變量的分布列和期望，考查了學生綜合分析，概念理解，實際應用，數學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

(1)設數列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進而求得.(2)由（1）得，,利用分組求和及錯位相減法即可求得結果.【詳解】（1）設數列的公差為d，數列的公比為q，由可得，，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，數列的前n項和為，設①，則②，②①得，綜上，數列的前n項和為.【點睛】本題考查求等差等比的通項公式,考試分組求和及錯位相減法求數列的和,考查學生的計算能力,難度一般.20、(1)見解析(2)【解析】

（1）將消去參數t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標方程轉為直角坐標方程．（2）利用直線被圓截得的弦長公式計算可得答案．【詳解】（1）由消去參數t得（），由得曲線C的直角坐標方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【點睛】本題考查參數方程，極坐標方程與直角坐標方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長公式的應用，考查分析能力與計算能力，屬于基礎題．21、（1）；（2）；（3）存在，1.【解析】

（1）利用基本量法直接計算即可；（2）利用錯位相減法計算；（3），令可得，，討論即可.【詳解】（1）設數列的公差為，數列的公比為，因為，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因為是數列或中的一項，所以，所以，因為，所以，又，則或.當時，有，即，令.則.當時，；當時，，即.由，知無整數解.當時,有，即存在使得是數列中的第2項，故存在正整數，使得是數列中的項.【點睛】本題考查數列的綜合應用，涉及到等差、等比數列的通項，錯位相減法求數列的前n項和，數列中的存在性問題，是一道較為綜合的題.22、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導數，問題轉化為在上恒成立，利用導數求出的最小值即可求解；（2）分別設切點橫坐標為，利用導數的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可