第2講概率1/29考情分析2/29總綱目錄考點一

古典概率考點二幾何概型考點三概率與統計綜合問題3/29考點一

古典概型1.古典概型概率公式:P(A)=

=

.2.古典概型兩個特點:(1)試驗中全部可能出現基本事件只有有限

個;(2)每個基本事件出現可能性相等.4/29經典例題(山東,16,12分)某旅游興趣者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐

洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包含A1但不包

括B1概率.解析(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能結果組成

基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個.所選兩個國家都是亞洲國家事件所包含基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個,5/29則所求事件概率P=

=

.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能結果組成基

本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},

{A3,B3},共9個.包含A1但不包含B1事件所包含基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個,則所求事件概率P=

.6/29求古典概型概率方法正確列舉出基本事件總數和待求事件包含基本事件數.(1)對于較復雜題目,列出事件數時要正確分類,分類時應不重不漏.(2)當直接求解有困難時,可考慮求出所求事件對立事件概率.方法歸納7/29跟蹤集訓1.(課標全國Ⅱ,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,55張卡片中隨機抽取1

張,放回后再隨機抽取1張,則抽得第一張卡片上數大于第二張卡片

上數概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D畫出樹狀圖如圖:

可知全部基本事件共有25個,滿足題意基本事件有10個,故所求概

率P=

=

.故選D.8/292.定義“上升數”是一個數中右邊數字比左邊數字大自然數(如

123,568,2479等),任取一個兩位數,這個兩位數為“上升數”概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B兩位數10,11,12,…,99共90個,其中十位數為1“上升數”

為12,13,…,19共8個,十位數為2“上升數”為23,24,…,29共7個,……,

十位數為8“上升數”為89,只有1個,則全部兩位數中“上升數”

共8+7+6+…+1=

=36個,則這個兩位數為“上升數”概率P=

=

,選B.9/29考點二

幾何概型1.幾何概型概率公式:P(A)=

.2.幾何概型應滿足兩個條件:(1)試驗中全部可能出現結果(基本事件)

有沒有限多個.(2)每個基本事件出現可能性相等.10/29經典例題(1)(課標全國Ⅰ,4,5分)如圖,正方形ABCD內圖形來自中國古

代太極圖.正方形內切圓中黑色部分和白色部分關于正方形中心

成中心對稱.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分概率是

()

A.

B.

C.

D.

11/29(2)(江蘇,7,5分)記函數f(x)=

定義域為D.在區間[-4,5]上隨機取一個數x,則x∈D概率是

.(3)已知長方形ABCD中,AB=4,BC=1,M為AB中點,則在此長方形內隨

機取一點P,P與M距離小于1概率為

.12/29解析(1)設正方形邊長為2,則正方形內切圓半徑為1,其中黑色

部分和白色部分關于正方形中心對稱,則黑色部分面積為

,所以在正方形內隨機取一點,此點取自黑色部分概率P=

=

,故選B.(2)由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],∴P(x∈D)=

=

.(3)如圖,點P位于以M為圓心,1為半徑半圓內部,由幾何概型概率公

式可得所求概率為

=

.答案(1)B(2)?(3)?13/29求解幾何概型概率應把握兩點(1)當組成試驗結果區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,

應考慮使用幾何概型概率公式求解.(2)尋找組成試驗全部結果區域和事件發生區域,有時需要設出

變量,在坐標系中表示所需要區域.方法歸納14/29跟蹤集訓1.(甘肅張掖第一次診療)在區間[0,π]上隨機取一個數θ,則使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率為

.答案

解析由

≤

sinθ+

cosθ≤2,得

≤sin

≤1,結合θ∈[0,π],得θ∈

,∴使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率為

=

.15/292.(云南第一次統考)若在區間[-4,4]內隨機取一個數m,在區間[-2,3]

內隨機取一個數n,則使得方程x2+2mx-n2+4=0有兩個不相等實數根

概率為

.16/29答案1-

解析∵方程x2+2mx-n2+4=0有兩個不相等實數根,∴Δ>0,即(2m)2-4(-n2+4)>0,m2+n2>4,總事件集合Ω={(m,n)|-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴Ω所

表示平面區域(如圖中矩形)面積S=8×5=40,而滿足條件事件集

合是{(m,n)|m2+n2>4,-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴圖中陰影部分面積S'=40-π

×22=40-4π,由幾何概型概率計算公式得所求事件概率P=

=

=1-

.

17/29考點三

概率與統計綜合問題在統計與概率綜合問題中,將對總體預計與概率進行綜合,是

一類常見方式,將樣本進行匯總,制成頻率分布直方圖與概率知識進

行綜合命題也是一個經常考查方式.18/29經典例題(北京,17,13分)某大學藝術專業400名學生參加某次測評,依據男女

學生人數百分比,使用分層抽樣方法從中隨機抽取了100名學生,統計他

們分數,將數據分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到以下頻

率分布直方圖:

19/29(1)從總體400名學生中隨機抽取一人,預計其分數小于70概率;(2)已知樣本中分數小于40學生有5人,試預計總體中分數在區間[40,50)內人數;(3)已知樣本中有二分之一男生分數大于70,且樣本中分數大于70

男女生人數相等.試預計總體中男生和女生人數百分比.解析(1)依據頻率分布直方圖可知,樣本中分數大于70頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,所以樣本中分數小于70頻率為1-0.6=0.4.所以從總體400名學生中隨機抽取一人,其分數小于70概率預計為

0.4.(2)依據題意,樣本中分數大于50頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=20/290.9,分數在區間[40,50)內人數為100-100×0.9-5=5.所以總體中分數在區間[40,50)內人數預計為400×

=20.(3)由題意可知,樣本中分數大于70學生人數為(0.02+0.04)×10×100

=60,所以樣本中分數大于70男生人數為60×

=30.所以樣本中男生人數為30×2=60,女生人數為100-60=40,男生和女生

人數百分比為60∶40=3∶2.所以依據分層抽樣原理,總體中男生和女生人數百分比預計為3∶2.21/29解答概率與統計綜合問題兩點注意(1)明確頻率與概率關系,頻率可近似替換概率.(2)這類問題中概率模型多是古典概型,在求解時,要明確基本事件

組成.方法歸納22/29跟蹤集訓(課標全國Ⅲ,18,12分)某超市計劃按月訂購一個酸奶,天天進貨量

相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出酸奶降價處理,以每瓶2

元價格當日全部處理完.依據往年銷售經驗,天天需求量與當日最高

氣溫(單位:℃)相關.假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;假如最高氣

溫位于區間[20,25),需求量為300瓶;假如最高氣溫低于20,需求量為200

瓶.為了確定六月份訂購計劃,統計了前三年六月份各天最高氣溫

數據,得下面頻數分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數21636257423/29以最高氣溫位于各區間頻率預計最高氣溫位于該區間概率.(1)預計六月份這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶

一天進貨量為450瓶時,寫出Y全部可能值,并預計Y大于零概率.解析(1)這種酸奶一天需求量不超出300瓶,當且僅當最高氣溫低于

25,由表格數據知,最高氣溫低于25頻率為

=0.6,所以這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率預計值為0.6.(2)當這種酸奶一天進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.24/29所以,Y全部可能值為900,300,-100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數據知,最高氣溫不低于20

頻率為

=0.8,所以Y大于零概率預計值為0.8.25/291.(天津,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無差異),顏色分別為紅、黃、

藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不一樣顏色彩筆,則取出2支彩筆

中含有紅色彩筆概率為

()A.

B.

C.

D.

隨堂檢測答案

C從5支彩筆中任取2支不一樣顏色彩筆,有以下10種情況:

(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍),(黃,綠),(黃,紫),(藍,綠),(藍,紫),(綠,

紫).其中含有紅色彩筆有4種情況:(紅,黃),(紅,藍),(紅,綠),(紅,紫),所以

所求事件概率P=

=

,故選C.26/292.某路口人行橫道信號燈為紅燈和綠燈交替出現,紅燈連續時間為40

秒.若一名行人來到該路口碰到紅燈,則最少需要等候15秒才出現綠燈

概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B行人在紅燈亮起25秒內抵達該路口,即滿足最少需要等

待15秒才出現綠燈,依據幾何概型概率公式知所求事件概率P=

=

,故選B.27/293.(廣西三市聯考)已知函數f(x)=logax+lo

8(a>0,且a≠1),在集合

中任取一個數a,則f(3a+1)>f(2a)>0概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B∵3a+1>2a,f(3a+1)>f(2a),f(x)=logax-loga8,