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解題秘籍03幾何背景下的線段最值問題(6種題型匯總+專項訓(xùn)練+真題訓(xùn)練)【題型匯總】【考情分析】線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查將軍飲馬、費馬點、胡不歸等問題,一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識,以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.題型01垂線段最短圖形條件如圖,點P為直線m1上一動點,點Q為直線m2上一動點,點A為定點,求PA+PQ的最小值.如圖,點P為直線m1上一動點,點Q為直線m2上一動點,點A為定點,求PA+PQ的最小值.10.(2024·四川涼山·中考真題)如圖,⊙M的圓心為M4,0,半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,過點P作⊙M的切線,切點為Q,則11.(2022·山東菏澤·中考真題)如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,M是對角線BD上的一個動點,CF=BF,則MA+MF的最小值為(
)A.1 B.2 C.3 D.2題型02將軍飲馬問題圖形條件如圖,點M,N分別為m1,m2上的動點,點P為定點,求PM+PN+MN的最小值.結(jié)論做點P關(guān)于m1,m2的對稱點P',P'',那么當P',M,N,P''四點共線時,PM+PN+MN取得最小值,最小值為的距離.圖形條件如圖,A,B為定點,M,N分別為m,n上的動點,MN⊥n,m∥n,且MN為定值,求AM+MN+NB的最小值.如圖,A,B為定點,M,N分別為m上的動點,且MN為定值,求AM+MN+NB最小值.結(jié)論如圖,將點A向下平移MN的單位長度得到點A',連接A'B,交n于點N,過點N作MN⊥m,垂足為點M,點M和點N即為所求,當A',N,B三點共線時AM+MN+NB取得最小值,最小值為A'B+MN.如圖,將點A向右平移MN個單位長度得點A',作B關(guān)于直線m的對稱點B’,連接A'B',交直線m于點N,將點N向左平移MN個單位長度得點M,點M和點N即為所求,當A',N,B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值,最小值為A'B'+MN.3.(2024·四川成都·中考真題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知A3,0,B0,2,過點B作y軸的垂線l,P為直線l上一動點,連接PO,PA,則PO+PA的最小值為4.(2023·山東菏澤·二模)如圖,直線y1=kx+2與反比例函數(shù)y2=3x的圖象交于點
(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動.當n為何值時,PA-PC5.(2023·陜西咸陽·一模)【問題提出】(1)如圖1,點A、B在直線l的同側(cè),點A到直線l的距離AC=2,點B到直線l的距離BD=4,A、B兩點的水平距離CD=8,點P是直線l上的一個動點,則AP+BP的最小值是________;【問題探究】(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,G是AD的中點,線段EF在邊AB上左右滑動,若EF=1,求GE+CF的最小值;【問題解決】(3)如圖3,某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地,管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BD(小路的寬度忽略不計,兩條小路交于點P),并在AD和BC上分別選取點M、N,沿PM、PN和MN修建地下水管,為了節(jié)約成本,要使得線段PM、PN與MN之和最小.已測出∠ACB=45°,∠ADB=60°,∠CPD=75°,PD=40m,PC=502m
6.(2024·重慶·中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+4a≠0經(jīng)過點-1,6,與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點((1)求拋物線的表達式;(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點,過點P作PE⊥x軸,垂足為E,交AC于點D.點M是線段DE上一動點,MN⊥y軸,垂足為N,點F為線段BC的中點,連接AM,NF.當線段PD長度取得最大值時,求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移,使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段PD長度取得最大值時的點D,且與直線AC相交于另一點K.點Q為新拋物線上的一個動點,當∠QDK=∠ACB時,直接寫出所有符合條件的點Q的坐標.7.(2024·西藏·中考真題)在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0,B3,0兩點,與(1)求拋物線的解析式;(2)如圖(甲),設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為點D,在直線l上是否存在一點P,使PA-PD有最大值?若存在,求出PA-PD的最大值;若不存在,請說明理由;(3)如圖(乙),設(shè)點M為拋物線上一點,連接MC,過點M作MN⊥CM交直線l于點N.若tan∠MCN=23題型03胡不歸問題【模型詳解】條件:已知A,B為定點,其中點A在定直線m上,點P在直線m上一動點,求k?PA+PB(k<1)的最小值.圖示:解題步驟:作射線AM使sin∠PAM=k(k<1),且點M與點B位于直線m的兩側(cè).2)過點P作PC⊥AM于點C,則PC=k?PA,此時k?PA+PB=PC+BP.3)過點B作BD⊥AM于點D,該垂線段長即為所求最小值,計算垂線段的解題大招:即當B,P,C三點共線時,k?PA+PB取最小值,最小值為BD的長度.模型總結(jié):在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中,關(guān)鍵是構(gòu)造與k?PA相等的線段,將“k?PA+PB”型問題轉(zhuǎn)化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段,方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到k?PA的等線段注意:若k>1,則提取系數(shù),轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子,可以先將式子變形為,再求出的最小值,此時只需要構(gòu)造,作垂線即可求出最小值.8.(2023·湖南湘西·中考真題)如圖,⊙O是等邊三角形ABC的外接圓,其半徑為4.過點B作BE⊥AC于點E,點P為線段BE上一動點(點P不與B,E重合),則CP+12BP
9.(22-23九年級上·廣東茂名·期末)如圖,AB=AC,A0,15,C(1,0),D為射線AO上一點,一動點P從A出發(fā),運動路徑為A-D-C,在AD上的速度為4個單位/秒,在CD上的速度為1個單位/秒,則整個運動時間最少時,D的坐標為10.(2024·四川德陽·二模)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),C(-3,0)兩點,與y軸交于點B(0,A.2 B.2 C.22 D.411.(2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題)如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足為D,P為線段AD上的一動點,連接PB、PC.則PA+2PB的最小值為.題型04費馬點費馬點概念:三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點,稱為費馬點.結(jié)論:1)對于一個各角不超過120°的三角形,費馬點是對各邊的張角都是120°的點;2)對于有一個角超過120°的三角形,費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.(注意:通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°)【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法,以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形,根據(jù)兩點之間線段最短,得出最短長度.【進階】加權(quán)費馬點模型概述:前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l,如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值,前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時,相對較為簡單,一般有兩種處理手段,1)一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度:對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°,對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2)另一種是旋轉(zhuǎn)放縮,對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時,都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的,對于給定的系數(shù),我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢?我們總結(jié)了以下方法:1.將最小系數(shù)提到括號外;2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例;3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心(例如最大系數(shù)在PA前面,就以A為旋轉(zhuǎn)中心),旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。12.(2024·陜西榆林·二模)如圖,在?ABCD中,AD=6,連接AC,AB=AC=5,以點C為圓心,15CD長為半徑畫弧,弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N,點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點,點Q是HN上一動點,連接AP、DP、PQ,則AP+DP+PQ的最小值為13.(2024·湖北·模擬預(yù)測)閱讀以下材料并完成問題材料一:數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長,a+12材料二:費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題.費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小.著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下:將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1,并連接PP1易得△PP1B請結(jié)合以上兩材料求出x2
14.(2023·湖北隨州·中考真題)1643年,法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題:給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置,意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明,該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”,該問題也被稱為“將軍巡營”問題.(1)下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程:(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空,③處填寫角度數(shù),④處填寫該三角形的某個頂點)當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時,如圖1,將△APC繞,點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P
由PC=P'C,∠PCP'=60°,可知△PCP'為由②可知,當B,P,P',A在同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值,如圖2,最小值為A'B,此時的P點為該三角形的“費馬點”,且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時,“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若∠BAC≥120°,則該三角形的“費馬點”為④點.(2)如圖4,在△ABC中,三個內(nèi)角均小于120°,且AC=3,BC=4,∠ACB=30°,已知點P為△ABC的“費馬點
(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個三角形,且已知AC=4km,BC=23km,∠ACB=60°.現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜,已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a元/km,a元/km,2a元/15.(2023九年級下·全國·專題練習)如圖,正方形ABCD的邊長為4,點P是正方形內(nèi)部一點,求PA+2PB+516.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)如圖,在△ABC中,∠ACB=30°,BC=4,在△ABC內(nèi)有一點O,連接OA,OB,OC,若2OA+OB+5OC的最小值為45,則AC
題型05阿氏圓問題使用場景已知兩個定點A,B,動點P在定圓上,求PA+kPB的最小值類型點A,B均在圓外,r=kOB(k<1)點A,B均在圓內(nèi),r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點D,使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP,則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長線上取點D,使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP,則PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD,則AD的長即為PA+kPB的最小值大招結(jié)論AD的長即為PA+kPB的最小值【模型總結(jié)】對于阿氏圓而言:當系數(shù)k<1的時候,一般情況下,考慮向內(nèi)構(gòu)造.當系數(shù)k>1的時候,一般情況下,考慮向外構(gòu)造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時,當軌跡為直線時,運用“胡不歸模型”求解;當軌跡為圓形時,運用“阿氏圓模型”求解.17.(2024·山東泰安·二模)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=22,AC=9,以C為圓心,3為半徑作⊙C,P為⊙C上一動點,連接AP、BP,則1A.1 B.2 C.3 D.418.(2024·安徽六安·模擬預(yù)測)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=6,E為AD邊上一動點,將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置,點A與點F重合,連接DF,CF,則DF+1A.92 B.132 C.4 D19.(2020·廣西·中考真題)如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=4,點E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P是扇形AEF的EF上任意一點,連接BP,CP,則12BP+CP的最小值是20.(2020·江蘇常州·一模)如圖,在⊙O中,點A、點B在⊙O上,∠AOB=90°,OA=6,點C在OA上,且OC=2AC,點D是OB的中點,點M是劣弧AB上的動點,則CM+2DM的最小值為.21.(20-21九年級上·江蘇宿遷·期末)問題提出:如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=4,CA=6,⊙C的半徑為2,(1)嘗試解決:為了解決這個問題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,則CDCP=CPCB=12.又∠PCD=∠BCP,所以△PCD∽△BCP(2)自主探索:在“問題提出”的條件不變的前提下,求13(3)拓展延伸:如圖②,已知在扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=22.(2025九年級下·全國·專題練習)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2BC=6,BD=1,P在以B為圓心3為半徑的圓上,則AP+6PD的最小值為.23.(2023·陜西咸陽·三模)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,點E、F分別是OD、OC上的兩個動點,且EF=4,P是EF的中點,連接OP、PC、
24.如圖,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點,且DE=4,P是DE的中點,連接PA,PB,則PA+14題型06瓜豆模型【模型一】點在直線上條件;如圖,點O是定點,點A、B是動點,∠AOB=α(α≠0)且OBOA圖示:結(jié)論:B點的運動軌跡也是直線,OBOA=OB’OA’=k,【模型二】點在圓上條件;如圖,點O是定點,點A、B是動點,∠AOB=α且OBOA=k,A點圖示:結(jié)論:1)當α=0,①B點的運動軌跡是圓,②A,B,O始終是一條直線,③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當α≠0,①B點的運動軌跡是圓,②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為α(定值).【總結(jié)】1)在線段最值問題中,有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡,再根據(jù)點線最值,點圓最值來求線段最值;2)部分求動點軌跡長的問題中,只要確定屬于"瓜豆“模型,就可以利用路經(jīng)之比等于相似比,根據(jù)主動點的軌跡長直接求得25.(2022·安徽合肥·三模)如圖,在Rt△ABC紙片中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在BC,AB邊上,連接DE,將△BDE沿DE翻折,使點B落在點F的位置,連接AF,若四邊形BEFD是菱形,則AF的長的最小值為(
)A.5 B.3 C.52 D.26.(2023·廣東廣州·二模)如圖,正方形ABCD的邊長為42,E為BC上一點,且BE=2,F(xiàn)為AB邊上的一個動點,連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為
27.(2024·安徽淮北·三模)如圖,線段AB=4,點M為AB的中點,動點P到點M的距離是1,連接PB,線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的最大值是(
)A.3 B.4 C.22 D.28.(2023·浙江寧波·模擬預(yù)測)如圖,△ABC中,∠ABC=90°,tan∠BAC=12,點D是AB的中點,P是以A為圓心,以AD為半徑的圓上的動點,連接PB、A.103 B.31010 C.13【專項訓(xùn)練】【將軍飲馬】1.(2023·四川宜賓·中考真題)如圖,在平面直角坐標系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角頂點C3,0,頂點A、B6,
(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式;(2)在x軸上是否存在一點P,使△ABP周長的值最小.若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.2.(2025·湖南婁底·一模)如圖,點A是坐標原點,點B在x軸的正半軸上,點C在第一象限.AB=4,∠CAB=30°,∠CBA=120°.(1)求點C的坐標;(2)點P是y軸上的一個動點,當點P處于何位置時,PB+PC的值最小?【費馬點】1.(2024·湖北·模擬預(yù)測)閱讀以下材料并完成問題材料一:數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長,a+12材料二:費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題.費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小.著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下:將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1,并連接PP1易得△P
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