解題秘籍03幾何背景下的線段最值問題（6種題型匯總+專項訓(xùn)練+真題訓(xùn)練）【題型匯總】【考情分析】線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查將軍飲馬、費馬點、胡不歸等問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.題型01垂線段最短圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．2題型02將軍飲馬問題圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結(jié)論做點P關(guān)于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結(jié)論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關(guān)于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為4．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數(shù)y2=3x的圖象交于點

(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動．當n為何值時，PA-PC5．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側(cè)，點A到直線l的距離AC=2，點B到直線l的距離BD=4，A、B兩點的水平距離CD=8，點P是直線l上的一個動點，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

6．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經(jīng)過點-1,6，與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（(1)求拋物線的表達式；(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．7．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設(shè)點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23題型03胡不歸問題【模型詳解】條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.圖示：解題步驟：作射線AM使sin∠PAM=k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側(cè).2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的解題大招：即當B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.模型總結(jié)：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉(zhuǎn)化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到k?PA的等線段注意：若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構(gòu)造,作垂線即可求出最小值.8．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

9．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A-D-C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為10．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(-3，0)兩點，與y軸交于點B(0，A．2 B．2 C．22 D．411．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．題型04費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結(jié)論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.【進階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。12．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為13．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結(jié)合以上兩材料求出x2

14．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/15．（2023九年級下·全國·專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+516．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

題型05阿氏圓問題使用場景已知兩個定點A，B，動點P在定圓上，求PA+kPB的最小值類型點A，B均在圓外，r=kOB(k<1)點A，B均在圓內(nèi)，r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長線上取點D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值大招結(jié)論AD的長即為PA+kPB的最小值【模型總結(jié)】對于阿氏圓而言：當系數(shù)k＜1的時候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.當系數(shù)k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.17．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則1A．1 B．2 C．3 D．418．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動點，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DF+1A．92 B．132 C．4 D19．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是20．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．21．（20-21九年級上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝22．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為．23．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、

24．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE=4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+14題型06瓜豆模型【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k，A點圖示：結(jié)論：1)當α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.【總結(jié)】1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值；2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得25．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．26．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

27．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．28．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、A．103 B．31010 C．13【專項訓(xùn)練】【將軍飲馬】1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B6，

(1)分別求反比例函數(shù)的表達式和直線AB所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．2.（2025·湖南婁底·一模）如圖，點A是坐標原點，點B在x軸的正半軸上，點C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．(1)求點C的坐標；(2)點P是y軸上的一個動點，當點P處于何位置時，PB+PC的值最小？【費馬點】1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△P