解題秘籍03幾何背景下的線段最值問題（6種題型匯總+專項訓練+真題訓練）【題型匯總】【考情分析】線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查將軍飲馬、費馬點、胡不歸等問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數等相關知識，以及數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.題型01垂線段最短圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．2題型02將軍飲馬問題圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結論做點P關于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為4．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數y2=3x的圖象交于點

(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動．當n為何值時，PA-PC5．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側，點A到直線l的距離AC=2，點B到直線l的距離BD=4，A、B兩點的水平距離CD=8，點P是直線l上的一個動點，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

6．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經過點-1,6，與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（(1)求拋物線的表達式；(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．7．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23題型03胡不歸問題【模型詳解】條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.圖示：解題步驟：作射線AM使sin∠PAM=k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側.2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的解題大招：即當B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.模型總結：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數得到k?PA的等線段注意：若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構造,作垂線即可求出最小值.8．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

9．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為A-D-C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為10．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(-3，0)兩點，與y軸交于點B(0，A．2 B．2 C．22 D．411．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．題型04費馬點費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短，得出最短長度.【進階】加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是l，如果現在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1，那么此類題目就叫做“加權費馬點”.【模型拓展】類型一單系數類當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉特殊角度：對應旋轉90°，對應旋轉120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉角度是90°旋轉角度是120°2）另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比類型二多系數類其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉中心呢？我們總結了以下方法：1.將最小系數提到括號外；2.中間大小的系數確定放縮比例；3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所在的三角形。12．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為13．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數形結合是一種重要的數學思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結合以上兩材料求出x2

14．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/km，a元/km，2a元/15．（2023九年級下·全國·專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內部一點，求PA+2PB+516．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

題型05阿氏圓問題使用場景已知兩個定點A，B，動點P在定圓上，求PA+kPB的最小值類型點A，B均在圓外，r=kOB(k<1)點A，B均在圓內，r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長線上取點D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值大招結論AD的長即為PA+kPB的最小值【模型總結】對于阿氏圓而言：當系數k＜1的時候，一般情況下，考慮向內構造.當系數k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.17．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則1A．1 B．2 C．3 D．418．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動點，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DF+1A．92 B．132 C．4 D19．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是20．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．21．（20-21九年級上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝22．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為．23．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、

24．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE=4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+14題型06瓜豆模型【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k，A點圖示：結論：1)當α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構成的夾角為α（定值）.【總結】1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據點線最值，點圓最值來求線段最值；2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經之比等于相似比，根據主動點的軌跡長直接求得25．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．26．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

27．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．28．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、A．103 B．31010 C．13【專項訓練】【將軍飲馬】1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B6，

(1)分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．2.（2025·湖南婁底·一模）如圖，點A是坐標原點，點B在x軸的正半軸上，點C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．(1)求點C的坐標；(2)點P是y軸上的一個動點，當點P處于何位置時，PB+PC的值最小？【費馬點】1．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數形結合是一種重要的數學思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△P