第四章三角形重難點(diǎn)12幾何壓軸題二相似模型（6大類型20種模型詳解+20種模型專題訓(xùn)練）【題型匯總】類型一A型模型類型A型模型作平行線構(gòu)造A型相似條件DE∥BC點(diǎn)D在線段AB上圖示結(jié)論?ADE∽?ABC過點(diǎn)D作DE//BC交AC于點(diǎn)E，得“A字”相似模型，將轉(zhuǎn)化為如圖2，過點(diǎn)B作BC//DE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，得“A字”相似模型,將轉(zhuǎn)化為題型01直接用A型相似1．（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來像一個(gè)“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB=AC，拉桿EF∥BC，AE=16AB，EF=0.35米，則兩梯桿跨度B、CA．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．1032．（20-21九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如圖，△ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝kx（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q．若△ANQ的面積為1，則k

A．9 B．12 C．15 D．183．（2024·廣東東莞·二模）獨(dú)輪車（圖1）俗稱“手推車”，又名輦、鹿車等，西漢時(shí)已在一些田間隘道上出現(xiàn)．北宋時(shí)正式出現(xiàn)獨(dú)輪車名稱，在北方，幾乎與毛驢起同樣的運(yùn)輸作用．如圖2所示為從獨(dú)輪車中抽象出來的幾何模型．在△ABC中，AB=BC，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)P，且PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)若tanC=12題型02構(gòu)造A型相似1．（2020·湖北武漢·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，連接CD，AE交于點(diǎn)F，若∠CFE=45°，2．（20-21九年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求AN:NC的值．3．（2020·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)O是△ABC邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于點(diǎn)M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若點(diǎn)O是線段BC中點(diǎn)．①求證：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之間的關(guān)系（用含k題型03反A型模型類型條件圖示結(jié)論反A型模型∠1=∠2?ADE∽?ABC，AD?AC=AE?AB作垂線構(gòu)造反“A”字相似模型∠B=90°，E為AB上的一點(diǎn)?ADE∽?ABC，AD?AC=AE?AB1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面積為9，四邊形BDEC的面積為16，則AC的長(zhǎng)為．2．（2020·山東濰坊·二模）如圖，在ΔABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．（1）求證：直線DF與⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)．3．（2020·浙江金華·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AD上，連接EF．

(1)求證：△ABE∽(2)當(dāng)DC=CB，∠DFE=2∠CDB時(shí)，則AEBE-DECE(3)①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S,S1,②當(dāng)DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p時(shí)，試用含m，5．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）【問題背景】（1）如圖1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求證：BDAB

【問題探究】（2）如圖2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，作EF⊥BC于點(diǎn)F，猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加以證明；【問題拓展】（3）在（2）上述條件下，當(dāng)FC=AC時(shí)，直接寫出∠BCD的正切值tan∠BCD題型04作垂線構(gòu)造反“A”字相似模型1．（2024九年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，小楊將一個(gè)三角板放在⊙O上，使三角板的一直角邊經(jīng)過圓心O，測(cè)得AC＝5cm，AB＝3cm，則⊙O的半徑長(zhǎng)為．

類型二X型模型類型X型模型作平行線構(gòu)造X型相似條件AB∥CD=k圖示結(jié)論?AOB∽?COD過點(diǎn)D作CD∥AB，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，則可構(gòu)造?AOB∽?COD，可得題型01直接用X型相似1．（2021·山東聊城·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE=2ED，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BGGF

A．23 B．12 C．132．（22-23九年級(jí)上·北京房山·期中）如圖，AD與BC交于O點(diǎn)，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的長(zhǎng)．3．（2024·廣東東莞·一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架AD與CB交于點(diǎn)O，測(cè)得AO=BO=50cm，CO=DO=30(1)若CD=40cm，求AB(2)將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度∠AOB=106°，求AB距離地面的高．(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)值sin37°≈0.604．（20-21九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）某小區(qū)的居民籌集資金1600元，計(jì)劃在一塊上、下底分別為10m、20m的梯形空地上種花（如圖所示）．（1）他們?cè)凇鰽MD和△BMC地帶上種植太陽花，單價(jià)為8元/m2.當(dāng)△AMD地帶種滿花后（圖中陰影部分）花了160元，請(qǐng)計(jì)算種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用；（2）若△AMB和△DMC地帶要種的有玫瑰花和茉莉花可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2和10元/m2，應(yīng)選擇哪一種花，剛好用完所籌集的資金？5．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE，若AE的延長(zhǎng)線和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：BC=CF；（2）連接AC和BE相交于點(diǎn)為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．題型02構(gòu)造X型相似1．（21-22九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，G為△ABC的重心，AG=12，則AD=．2．（20-21八年級(jí)下·湖南常德·期中）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若BE=8，則GE=．3．（20-21九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．題型03雙反X型模型（蝶形模型）條件：∠OAB=∠ODC圖示：結(jié)論：?AOB∽?DOC，?AOD∽?BOC1．（22-23九年級(jí)上·上海·期中）已知：如圖，已知△ABC與△ADE均為等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果點(diǎn)D在BC邊上，且∠EDC＝∠BAD．點(diǎn)O為AC與DE的交點(diǎn)．(1)求證：△ABC∽△ADE；(2)求證：DA?OC＝OD?CE．2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，等邊△ABC中，G為BC中點(diǎn)，D、E分別是BC、AC上的兩點(diǎn)，BD=CE．

(1)求證：∠BAD=∠CBE；(2)H為EF上一點(diǎn)，若∠BHG+∠AFH=90°，求AFFH遷移拓展：(3)如圖2，等腰Rt△ABC中，G為斜邊BC的中點(diǎn)，D為BG中點(diǎn)，BD=1．E是AC上的點(diǎn)，CE=2BD，H為EF上一點(diǎn)，若∠BHG+∠AFH=90°類型三母子相似題型01母子相似模型類型母子相似模型構(gòu)造母子相似模型條件點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2∠ABE=∠C圖示結(jié)論?ACD∽?ABC，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F?ABF∽?ACB過點(diǎn)C作CG∥BF交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,?ABC∽?ACG1．（21-22九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）探索發(fā)現(xiàn)；（1）如圖1，在△ABC中，∠B=∠CAF；求證：AC初步應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AB，BE⊥AD，連接CE、CD；求證：BEBD遷移拓展：（3）如圖3，在△ABC中，∠B=∠CAF，H為AC上一點(diǎn)使CH=CF，過H作HG∥BC交AB于G，AG=AF，求BFCF

3．（21-22八年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=22，AB=4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)”(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD4．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使DH=AD，連接CH．由∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，則AB與CH的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DQ∥AP，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交AB邊于點(diǎn)K．試判斷BK與【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD，E為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F①若BF=AC．求AE的長(zhǎng)度；②在射線AD上取一點(diǎn)G，且AGCE=45，連接題型02射影定理模型類型射影定理作高用射影定理?xiàng)l件∠ABC=∠ADB=90°F,A,B三點(diǎn)共線，C,A,E三點(diǎn)共線，∠ACB=∠AFE=90°圖示結(jié)論1）?ABD∽?ACB∽?BCD2),,3）AB?BC=BD?AC（面積法）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D?AFE∽?ADC∽?ACB∽?CDB1．（2022·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半徑．2．（2023·山東日照·一模）操作與研究：如圖，△ABC被平行于CD的光線照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出圖中線段AC的投影是______，線段BC的投影是______．(2)問題情景：如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明A(3)【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為15，點(diǎn)O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；②若DE=2CE，求OF的長(zhǎng)．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問題．射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC①AD2=BD?DC；②AB∵AD是斜邊BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD（依據(jù)）．∴BDAD=AD(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)4．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)E，若AB＝210，CD＝2，則△ABE的面積為類型四一線三等角模型類型一線三等角模型（同側(cè)型）一線三垂直模型（同側(cè)型）條件∠B=∠D=∠ACE=α∠B=∠D=∠ACE=90°圖示結(jié)論?ABC∽?CDEABCD=BCDE=AC?ABC∽?CDEABCD=BCDE=AC【一線三等角/一線三垂直的出題樣式】題目中一般不會(huì)直接給出一線三等角模型/一線三垂直模型標(biāo)準(zhǔn)樣式，需要結(jié)合題目信息，進(jìn)行構(gòu)建.以一線三垂直模型為例，當(dāng)有直角三角形和過直角頂點(diǎn)的直線時(shí)，即可作垂線構(gòu)造“一線三垂直”相似樣型，當(dāng)三個(gè)相等角不是直角時(shí)，亦可構(gòu)造“一線三等角”相似模型.題型01一線三垂直模型1．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD為正方形，DE⊥EF，(1)證明：△DAE∽△EGF(2)不添加輔助線，添加一個(gè)角的條件，證明△DAE≌△EGF2．（2023·貴州銅仁·三模）如圖1將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．(1)求證：△OCP∽△PDA；(2)如圖2，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF與線段3．（2024·廣西玉林·三模）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)H為AB上一動(dòng)點(diǎn)，且2≤BH<4，截取HM=HB，且HM交線段AD于M，過M作HM的垂線MN交DC于N．(1)求證：△AHM∽△DMN；(2)如圖2，若點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，求△DMN的周長(zhǎng)；(3)在動(dòng)點(diǎn)H逐漸向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（HB逐漸增大）的過程中，△DMN的周長(zhǎng)如何變化？請(qǐng)說明理由．題型02一線三等角模型1．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、

(1)證明：△BDA∽△CED；(2)若∠B=45°,BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時(shí)2．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，連結(jié)DE，(1)如圖1，若∠A=∠B=∠DEC=50°，證明：△ADE∽△BEC．(2)如圖2，若四邊形ABCD為矩形，AB=5，BC=2，且△ADE與E、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求AE的長(zhǎng)．3．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ．4．（2023·河南周口·三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠ABC=α，將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段CE，在射線BC上取點(diǎn)D，使得∠CDE=α，線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系是______；（2）類比探究：如圖2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他條件不變，寫出變化后線段BC（3）拓展延伸：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，把線段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF，直接寫出線段BF的長(zhǎng)．類型五熱考模型題型01對(duì)角互補(bǔ)模型【基礎(chǔ)模型】條件：如圖，在?ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE圖示：解題策略：方法一：如圖1，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，由已知條件易證明?EDM∽?EFN，所以,由于,則.方法二：如圖2，過點(diǎn)E作GE⊥AB交BC于點(diǎn)G,由已知條件易證明?ADE∽?GFE，?BGE∽?BAC，所以，，由于AE=BE，則結(jié)論：1．（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的頂點(diǎn)O在AB上，OM、ON分別交CA、CB于點(diǎn)P、Q，∠MON繞點(diǎn)O任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OAOB=12時(shí)，OPOQ的值為；當(dāng)OAOB=m2．（22-23九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)．將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使它的兩條直角邊分別與線段AB，BC交于點(diǎn)P，Q(1)如圖（2），當(dāng)DP⊥AB時(shí)，猜想線段AP，DQ之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)佳佳發(fā)現(xiàn)，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，DPDQ=BC(3)當(dāng)點(diǎn)P，B重合時(shí)，如圖（3），線段AP，PQ，CQ之間滿足一定的等量關(guān)系，請(qǐng)你探索AP，PQ，CQ之間的數(shù)量關(guān)系．3．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．

在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)，且ADBD=1n（n為正整數(shù)），E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥DE交直線BC(1)【初步成知】如圖1，當(dāng)n=1時(shí)，以下是小亮和小紅兩位同學(xué)的證明片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并補(bǔ)全小紅的證明過程．小亮：證明：連接CD．

由題意，可知AD=BD，即D為AB的中點(diǎn)．∴CD=AD=BD,CD平分∠ACB，CD⊥AB．∴∠ACD=∠BCD=∠B=45°,∠CDB=90°．∵ED⊥FD,∴∠EDF=∠CDB=90°．∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF．∴∠CDE=∠BDF．∴△CDE≌△BDFASA∴DE=DF．小紅：證明：過點(diǎn)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，DH⊥BC于點(diǎn)H．由題意，可知AD=BD,△ADN和△BDH均是等腰直角三角形，四邊形CNDH是矩形．

∴AN=DN,NC=DH．易得DN∥BC,∴AD∴DN=DH．……(2)【深入探究】①如圖2，當(dāng)n=2，且點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，試探究線段DE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過類比、歸納、猜想，探究出線段DE,DF之間的數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論．（直接寫出結(jié)論，不必證明）(3)【拓展運(yùn)用】在（1）的條件下，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為M，若AC=4，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．4．（2020九年級(jí)·河南·專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF＝（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則DEDF＝（用含m，n②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；題型02角含半角相似模型90°含45°120°含60°條件∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE圖示結(jié)論?BAE∽?ADE∽?CDA?BAE∽?ADE∽?CDA1．（2022·廣東深圳·二模）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不動(dòng)，將△AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AF，AG與邊BC分別交于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），則結(jié)論BE?CD=AB2是否成立（填“成立”【類比引申】（2）如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF為∠BAD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與BD，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足∠EAF=【拓展延伸】（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠BAD=120°，∠EAF的兩邊分別與BD，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足∠EAF=∠ADB，若BF=92．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的長(zhǎng)．解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接

由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'中，___∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=___【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對(duì)角線BD交于M、

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、

【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D、E在邊AC上，且∠DBE=45°．設(shè)AD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

3．（22-23九年級(jí)上·江蘇徐州·期末）如圖，在△PAB中，C、D為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC=PD．(1)若PC=CD,∠APB=120°，則△APC與△PBD相似嗎?為什么?(2)若PC⊥AB（即C、D重合），則∠APB=_______°時(shí)，△APC∽△PBD；(3)當(dāng)∠CPD和∠APB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△APC∽△PBD?請(qǐng)說明理由．題型03手拉手相似模型條件：在?ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，圖示：解題策略：連接BD，CE,根據(jù)已知條件可證明?ABD∽?ACE結(jié)論：?ABD∽?ACE，?ADE∽?ABC1．（2022·安徽合肥·三模）如圖，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC'沿C'B'A．1 B．2 C．3 D．22．（2023·湖南常德·中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一點(diǎn)，且AD=2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中BD

3．（2021·山西·模擬預(yù)測(cè)）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且DE∥(1)在圖1中，BDCE的值為(2)圖1中△ABC保持不動(dòng)，將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其它條件不變，連接BD，CE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；(3)拓展探究：在圖2中，延長(zhǎng)BD，分別交AC，CE于點(diǎn)F，P，連接AP，得到圖3，探究∠APE與∠ABC之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(4)若將△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖4的位置，連接BD，CE，延長(zhǎng)BD交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，BP交AC于點(diǎn)F，則（3）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出∠APE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系．4．（22-23九年級(jí)上·山西臨汾·期中）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△EBD，連接AE，連接CD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)猜想驗(yàn)證：(1)試猜想△CBD與△ABE是否相似？并證明你的猜想．探究證明：(2)如圖，連接BF交DE于點(diǎn)H，AB與CF相交于點(diǎn)G，DHBH拓展延伸：(3)若CD=EF，直接寫出BCAB5．（2021·山東日照·中考真題）問題背景：如圖1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，得到結(jié)論：①AEDF=_____；②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為（2）小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，則△ADE的面積為______．6．（2020·廣東深圳·中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放（點(diǎn)E，A，D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請(qǐng)給出證明．如若不能，請(qǐng)說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖2）試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，題型0412345模型模型簡(jiǎn)述：若兩個(gè)銳角α、β滿足tanα=12，tanβ=13【結(jié)論1】如圖所示，在正方形網(wǎng)格中已知tan∠1=13，tan∠2=12【結(jié)論2】如圖所示，已知tanα=12，∠EAF=45°，則tan∠DAF=正方形網(wǎng)格中構(gòu)建如圖所示矩形,假設(shè)正方形網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，則DF=1，AD=BC=3∴tan∠DAF=1【結(jié)論3】如圖所示，已知tan∠DAF=13，∠EAF=45°，則tanα=⑥上右圖，若兩個(gè)銳角α、β滿足tanα=2，tanβ=3，則α+β=135°【總結(jié)】1）需要強(qiáng)調(diào)α+β=45°是數(shù)量關(guān)系而非位置關(guān)系，如果這兩個(gè)角距離很遠(yuǎn)，沒有公共端點(diǎn)，但是滿足tanα=12，tanβ=13，就有α+β=45°.實(shí)際上，tanα=12，tanβ=13，α2）“12345”模型的結(jié)論可在選擇題、填空題中直接使用，但在解答題中不能直接使用.1．（2021·北京豐臺(tái)·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠BAC+∠CDE=（點(diǎn)A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．2．（2023·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，則AF的長(zhǎng)為．3．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=

A．25 B．3 C．5 D．4．（2020·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中點(diǎn)．將△ABG沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是（

）A．43 B．2 C．83 D5．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)G是線段AE上一點(diǎn)，連接GF，延長(zhǎng)FG交CD于點(diǎn)M，若AB=4，∠AGF=45°，則CM的長(zhǎng)為．6．（22-23九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+m分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C2，0，點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連結(jié)PA，PC類型六其它模型題型01三平行模型條件AB∥EF∥CD圖示結(jié)論11．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD=3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC=2，則MN的長(zhǎng)為．2．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，作OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，若AB=4，CD=6，則OM-EF值為（

）

A．75 B．125 C．353．（2023·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在相對(duì)的兩棟樓CD、EF中間有一堵院墻AB，甲、乙兩個(gè)人分別在這兩棟樓內(nèi)觀察這堵墻，根據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲從點(diǎn)C可以看到點(diǎn)G處，乙從點(diǎn)E可以看到點(diǎn)D處．點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)．墻AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀察點(diǎn)到地面的距離的差．（結(jié)果精確到0.1米）．

4．（2022下·黑龍江大慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，F(xiàn)為△BED的邊BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BA∥EF交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，過點(diǎn)D作DC∥EF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(1)求證：1AB(2)請(qǐng)找出SΔABD，SΔ5．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（1）【問題背景】如圖1，AB∥EF∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上．求證：1AB

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為EFAB（2）【類比探究】如圖2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE與BC相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在AB上，AE=AC．求證：1GH（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接AC，BD交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EC，F(xiàn)D交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作GH∥AB，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，若題型02三角形內(nèi)接矩形模型類型三角形內(nèi)接正方形三角形內(nèi)接矩形圖示解題大招在?ABC中，若水平底邊BC=x，對(duì)應(yīng)高AN=y在矩形GFED中，豎直邊長(zhǎng)為ma，水平邊長(zhǎng)為na，則在正方形GFED中，邊長(zhǎng)為a，則【提示】大招結(jié)論切勿死記硬背，解題時(shí)首先根據(jù)已知條件得到?AGF∽?ABC，從而得到，再將相關(guān)數(shù)值代入求解.1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形MNPQ內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)P、Q分別在AC和AB邊上，且BC邊上的高AD=6cm，BC=12cm，則正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2．（2024·河南·三模）閱讀與思考：下面是小華同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：怎樣作直角三角形的內(nèi)接正方形？如果一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在直角三角形的三條邊上，我們把這樣的正方形叫做該直角三角形的內(nèi)接正方形．那么怎樣作出一個(gè)直角三角形的內(nèi)接正方形呢？我們可以用如下方法：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作∠ACB的角平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；然后過點(diǎn)D，分別作AC，BC的垂線，垂足分別為F，E，則DF=DE．（依據(jù)1）容易證明四邊形DFCE用上面方法所作出的正方形，有一個(gè)頂點(diǎn)恰好是直角三角形的直角頂點(diǎn)．如圖2，如果Rt△ABC的內(nèi)接正方形的一邊恰好在斜邊AB第一步：過直角頂點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D；第二步，延長(zhǎng)AB到M，使得BM=AD，連接CM；第三步：作∠BDC的平分線，交MC于點(diǎn)E；第四步：過點(diǎn)E分別作DC，DB的垂線，垂足分別為P，K，EP交BC于點(diǎn)F，EP的延長(zhǎng)線交AC交于G；第五步：分別過點(diǎn)F，G作AB的垂線，垂足分別為N，H．則四邊形NFGH就是Rt△ABC的內(nèi)接正方形，并且NH理由如下：易證四邊形EPDK是正方形，EG∥∵EG∥AM，∴∠CGP=∠CAD，∠CPG=∠CDA，∴△CGP∽△CAD，同理可得：∴GPAD=學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)材料中畫橫線部分的依據(jù)分別是：依據(jù)1：__________；依據(jù)2：__________．(2)請(qǐng)完成圖2說理過程的剩余部分．(3)分析圖2的作圖過程，不難看出是將圖2轉(zhuǎn)化成圖1去完成的，即先作圖形EPDK，再將正方形EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH，轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是__________．（填出字母代號(hào)即可）．A．旋轉(zhuǎn)

B．平移

C．軸對(duì)稱

D．位似3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·二模）如圖，已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，內(nèi)接矩形EFGH的頂點(diǎn)E、F在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，則內(nèi)接矩形EFGH的最大面積為

4．（23-24九年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，當(dāng)DE∥BC時(shí)可以得到三組成比例線段：①ADAB=AEAC=DEBC；②ADBD理解運(yùn)用：三角形的內(nèi)接四邊形是指頂點(diǎn)在三角形各邊上的四邊形．（1）如圖2，已知矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形，將矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中頂點(diǎn)D、E、F、G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、B、Q、H，在圖2中畫出平移后的圖形；

（2）在（1）所得的圖形中，連接CH并延長(zhǎng)交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，連接AR．求證：AR∥BC；

（3）如圖3，某小區(qū)有一塊三角形空地，已知△ABC空地的邊AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；準(zhǔn)備在△ABC內(nèi)建一個(gè)內(nèi)接矩形廣場(chǎng)DEFG（點(diǎn)E、F在邊BC上，點(diǎn)D、G分別在邊AB和AC上），三角形其余部分進(jìn)行植被綠化，按要求欲使矩形DEFG的對(duì)角線EG最短，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出使對(duì)角線EG最短的矩形．并求出對(duì)角線EG的最短距離（不要求證明）．題型03角平分線分線段成比例模型條件：已知AD平分∠BAC圖示：結(jié)論：（即三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線分其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例）1．（2022·湖北黃岡·中考真題）問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證ABAC＝BDCD．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明ABAC(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明ABAC＝BD(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長(zhǎng)（用含m，α的式子表示）．2．（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·階段練習(xí)）聰明好學(xué)的晨晨看到一課外書上有個(gè)重要補(bǔ)充：角平分線定理：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，于是他就和其他同學(xué)研究一番，寫出了已知、求證如下：“已知：如圖①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，求證：BDCD可是他們依然找不到證明的方法，經(jīng)過老師的提示：過點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，于是得到△BDE∽△CDA，從而打開思路．【問