第五章四邊形重難點(diǎn)09幾何熱考題三四邊形熱考模型（5種類(lèi)型19種模型詳解+專(zhuān)題訓(xùn)練）【題型匯總】題型01中點(diǎn)四邊形模型【基礎(chǔ)模型】已知點(diǎn)E、F、G、H分別為任意四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③【名師總結(jié)】1）順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.2）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形.3）順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形.4）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形.速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2024·山西·中考真題）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD的對(duì)角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1CA．a(chǎn)b2n B．a(chǎn)b2n-1 C．3．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，則AD+BC的最小值是．

4．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)，且AB∥CD，AD∥(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周長(zhǎng)為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長(zhǎng)．5．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形EFGH被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線滿足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點(diǎn)P,Q，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，交HG于點(diǎn)N．∵H,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，∴HG∥AC,HG=12AC

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=12AC?DM=HG?DM任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時(shí)畫(huà)出四邊形ABCD的對(duì)角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)與對(duì)角線AC,BD長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

6．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實(shí)踐順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱(chēng)這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開(kāi)探究．【探究一】原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF、GH分別是△ABC和△ACD的中位線，∴EF=12AC，GH=12AC同理可得：EH=FG．∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC=BD菱形從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想Ⅰ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．【探究三】原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC⊥BD②________（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想Ⅱ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．【歸納總結(jié)】（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形．原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③________時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④________．

題型02垂美四邊形模型已知四邊形中AC⊥BD如圖，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點(diǎn)，連接AP、BP如圖，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AP、BP，CP，DP圖示結(jié)論S四邊形ABCD=12?AC7．（2020·四川雅安·中考真題）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD=2，BC=48．（2024·山東泰安·二模）小明學(xué)習(xí)了四邊形后，對(duì)有特殊性質(zhì)的四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類(lèi)特殊的四邊形：兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，對(duì)角線AC=4，BD=6，設(shè)S=AD+BC，則S的最小值等于．9．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+C（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE10．（2023·江蘇常州·二模）【知識(shí)感知】：我們把對(duì)角絲互相垂直的四邊形稱(chēng)為“垂美四邊形”如圖1所示．【概念理解】：①在下列四邊形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四邊形，是垂美四邊形的是；②三邊長(zhǎng)為2的垂美四邊形周長(zhǎng)為．【性質(zhì)探索】：若記垂美四邊形ABCD面積為S，試直接寫(xiě)出S與AC、BD之間的關(guān)系【性質(zhì)應(yīng)用】：嘗試用兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△BED）如圖2擺放，其中B、C、E在一條直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長(zhǎng)為x，y，z，即BC=ED=x11．（2024·浙江杭州·三模）（1）認(rèn)識(shí)研究對(duì)象：如圖，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形②菱形③矩形④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．（2）探索研究方法：如圖1．已知四邊形ABCD是垂美四邊形，求證：AB（3）嘗試問(wèn)題解決：已知AB=52，BC=42，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE①如圖2，當(dāng)∠ACB=90°，連接DE，求DE的長(zhǎng)；②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH=2612．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為題型03正方形熱考模型1）十字架模型【基礎(chǔ)模型-兩邊過(guò)頂點(diǎn)】使用場(chǎng)景：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，AE與BO相交于點(diǎn)O,互相推導(dǎo)①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF圖示：大招結(jié)論：相等則垂直，垂直則相等.【模型進(jìn)階-一邊過(guò)頂點(diǎn)】條件：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，AB，DC上的點(diǎn)，AE與FG相交于點(diǎn)O,圖示：結(jié)論：正方形十字模型中，構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.【模型進(jìn)階-兩邊均不過(guò)頂點(diǎn)】圖示：結(jié)論：正方形十字模型中，構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.【易錯(cuò)點(diǎn)】以上結(jié)論成立的條件是:四點(diǎn)必須位于四邊，否則不成立.類(lèi)型矩形的十字架模型（兩邊過(guò)頂點(diǎn)）矩形的十字架模型（兩邊不過(guò)頂點(diǎn)）條件在矩形ABCD中，E是AD上的點(diǎn),CE⊥BD交于點(diǎn)O在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，AB，CD上的點(diǎn),EF⊥GH交于點(diǎn)O,圖示結(jié)論△CDE∽△BCD△EMF∽△GNH①正方形兩邊過(guò)頂點(diǎn)13．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)G，若BE=CF=5，則BG的長(zhǎng)為．14．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且BM=CN，AN與DM相交于點(diǎn)P．

(1)求證：△ABN≌△DAM；(2)求∠APM的大?。?5．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．

【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH=DE，連接DH．求證：∠ADF=∠H．【類(lèi)比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的長(zhǎng)．②正方形一邊過(guò)頂點(diǎn)16．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC

17．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，垂足為O，點(diǎn)F在DC上，且MF∥(1)求證：△ABE≌△FMN；(2)若AB=8，AE=6，求ON的長(zhǎng)．18．（2024·河南·一模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，已知AE⊥BF，求證：AE=BF．

甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE．再由AB=DA，∠BAF=∠D=90°，證得△ABF≌△DAE（依據(jù)：________），從而得AE=BF．乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知AE=BF，同樣可證得AE⊥BF，證明思路如下：由AB=DA，BF=AE可證得Rt△ABF≌Rt△DAEHL，可得完成任務(wù)：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】同學(xué)們通過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)，已知AE⊥BF可證得AE=BF，已知AE=BF同樣可證得AE⊥BF，為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)M，N分別在AD,BC上，連接AE,MN交于點(diǎn)P．甲小組同學(xué)根據(jù)MN⊥AE畫(huà)出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=AE畫(huà)出圖形如圖3所示．甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN⊥AE仍能證明MN=AE，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN=AE無(wú)法證明MN⊥AE一定成立．①在圖2中，已知MN⊥AE，求證：MN=AE；②在圖3中，若∠DAE=α，則∠APM的度數(shù)為多少?【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)M在邊AD上，且AE=AM=1，點(diǎn)F，N分別在直線CD，BC上，若EF=MN，當(dāng)直線EF與直線MN所夾較小角的度數(shù)為30°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出19．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．用“平移法”解答幾何問(wèn)題解答幾何問(wèn)題常常需要添輔助線，其中平移圖形是重要的添輔助線的策略．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，AB，CD上的點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)Q．求證：AE=FG．

圖1小逸在分析解題思路時(shí)想到了兩種平移法：方法一：平移線段FG使點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，構(gòu)造全等三角形．如圖2，平移線段FG至BH交AE于點(diǎn)K，由平移的性質(zhì)得FG∥

圖2∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥∴四邊形BFGH是平行四邊形（依據(jù)1），∴BH=FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE=90°，∴∠KBE+∠BEK=90°，∵∠BEK+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBH，在△ABE和△BCH中，∠BAE=∠CBHAB=BC∠ABE=∠C，∴∴AE=BH（依據(jù)2），∴AE=FG．方法二：如圖3，平移線段BC至FH交AE于點(diǎn)P，則四邊形BCHF是矩形，

圖3∴BC∥FH，BC=FH，∠FHG=90°，∴∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=90°，∴AB=FH，∠ABE=∠FHG，∵FG⊥AE，…

圖4任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指___________________，依據(jù)2________________．(2)補(bǔ)全材料中方法二的剩余證明過(guò)程．(3)如圖4，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)），AB交CD于點(diǎn)O．則tan∠AOC=_____________③正方形兩邊均不過(guò)頂點(diǎn)20．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期中）閱讀與思考：下面是小姜同學(xué)寫(xiě)的一篇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：正方形中相等的線段如圖1，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，那么AE與對(duì)于上面的問(wèn)題，我是這樣思考的：（1）：______．反思1：對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在正方形ABCD一組對(duì)邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，那么這兩條線段是否仍然相等呢？對(duì)此可以做進(jìn)一步探究：如圖2，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、AD、AB、CD上，且EF⊥GH，垂足為（2）：______．反思2：對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在正方形ABCD一組對(duì)邊上的線段，若這樣的兩條線段相等，那么這兩條線段是否一定垂直呢？對(duì)此可以畫(huà)圖說(shuō)明：如圖3，在正方形ABCD中，如果點(diǎn)E、F、G、H分別在BC、AD、AB、CD上，且（3）：______．任務(wù)：(1)完成筆記中的“我是這樣思考的”；(2)回答筆記中反思1的問(wèn)題，并證明；(3)回答筆記中反思2的問(wèn)題，在圖3中畫(huà)圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明．④矩形兩邊均不過(guò)頂點(diǎn)（含一邊過(guò)頂點(diǎn)）21．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2時(shí)，S

22．（2023·河南·三模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)G，與邊CD交于點(diǎn)F．根據(jù)以上操作，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖1中BE與CF的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點(diǎn)E，連接AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)G，與邊CD交于點(diǎn)F，請(qǐng)求出BECF(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)A向終點(diǎn)D做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F由點(diǎn)D向終點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且速度相同，連接AF、BE，交于點(diǎn)G，連接GD，則線段GD長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出答案不必說(shuō)明理由）

23．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，求EGFH【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，AB=322BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，【拓展提高】（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作FG垂直CD交AB于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AF=2，BF=3，CD=7，求AE的長(zhǎng)．24．（2024·山東泰安·中考真題）綜合與實(shí)踐為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG，EF與BG相交于點(diǎn)H．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H都落在對(duì)角線BD上，折痕分別是BE和DF，將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點(diǎn)G恰好是對(duì)角線BD的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即BG25．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、BC上，DF⊥CE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，H分別在邊AD、BC上，GH⊥CE．(1)問(wèn)題解決：①寫(xiě)出DF與CE的數(shù)量關(guān)系：；②GHCE的值為(2)類(lèi)比探究，如圖②，在矩形ABCD中，ABBC=k（k為常數(shù)），將矩形ABCD沿GH折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形EFGH交AD于點(diǎn)P，連接CE交GH于點(diǎn)O．試探究GH與(3)拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=6，AD=CD=4，BF⊥CE，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，求CEBF2）半角模型【模型介紹】從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型.已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)O、P，則：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長(zhǎng)④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則點(diǎn)F為CD三等分點(diǎn)⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點(diǎn)共圓、AOFD四點(diǎn)共圓、OECFP五點(diǎn)共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過(guò)點(diǎn)E作EX⊥BD，垂足為點(diǎn)X)證明：①思路：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)M，使DM=BE，連接AM先根據(jù)已知條件?ABE≌?ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可證明?AEF≌?AMF(SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵?AEF≌?AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C?CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)G根據(jù)②證明過(guò)程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以證明:?ABE≌?AGE(AAS),?AGF≌?ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S?ABE=S?AGE，S?AGF=S?ADF則S?AEF=S?AGE+S?AGF=S?ABE+S?ADF⑥思路：繞點(diǎn)A將?APD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到?ANB,使AD，AB重合因?yàn)?APD≌?ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因?yàn)椤螦DB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因?yàn)椤螧AE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°則?ANO≌?APO(SAS)所以NO=OP在Rt?NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，則OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∠∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即點(diǎn)F⑧思路：假設(shè)∠AEF的度數(shù)為α，∠AFE的度數(shù)為β.在右圖中已知表示45°角，表示角的度數(shù)為α，表示角的度數(shù)為β所以?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四點(diǎn)共圓∵∠EBA=90°，∴AE為直徑，∴∠APE=90°則AP⊥PE∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45°∴?APE為等腰直角三角形2）同理AOFD四點(diǎn)共圓，∵∠ADF=90°，∴AF為直徑，∴∠AOF=90°則AO⊥OF∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45°∴?AOF為等腰直角三角形3)∵∠EOF=∠EPF=∠ECF=90°，∴OECFP五點(diǎn)共圓(11)思路：∵?APO∽?AEF∴AEAP=EFOP,假設(shè)AP長(zhǎng)為1，則AE=2,∴(12)思路：?APO∽?AEF相似比為22，則面積的比為12，S?AEF=2S(13)思路：∵?ABP∽?ODA∴ABOD=BPAD,∴AB×AD=BP×OD則AB2(14)思路：假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，BE長(zhǎng)為a，DF長(zhǎng)為b，則EF長(zhǎng)為a+b根據(jù)勾股定理可得EC2+FC2=EF2,則(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2化簡(jiǎn)得(m-a)(m-b)=2ab所以CE?CF=2BE?DF(15)思路：根據(jù)⑩證明過(guò)程可知?APE為等腰直角三角形，所以AP=PE再證明?ADP≌?CDP(SAS)，所以AP=PC，則PE=PC所以?EPC為等腰三角形(16)思路：過(guò)點(diǎn)E作EX⊥BD，垂足為點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)A作AY⊥BD，垂足為點(diǎn)Y，連接PE先證明?APY≌?PEX(AAS)(“一線三垂直模型”)，所以AY=PX∵AY=12BD,∴PX=12BD所以BX+DP=①半角模型26．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M、N是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)．若∠MAN=45°，則MN的最小值為．27．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），且∠EAF=45°．(1)當(dāng)BE=DF時(shí)，求證：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且GH=AE．若DF=a，CH=b，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點(diǎn)M，N，連接MN，可得△CMN．

【探究一】如圖②，把△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時(shí)得到點(diǎn)H在直線AB上．求證：∠CNM=∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．連接AC交BD于點(diǎn)O，求EFNM29．（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的長(zhǎng)．解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接

由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=又∵∠ECD∴在Rt△ECD'中，___∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=___【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對(duì)角線BD交于M、

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、

【問(wèn)題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D、E在邊AC上，且∠DBE=45°．設(shè)AD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

30．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動(dòng)點(diǎn)的幾何問(wèn)題．若四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且∠MAN=45°，我們稱(chēng)之為“半角模型”，在解決“半角模型(1)【初步嘗試】如圖1，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE，連接MN．用等式寫(xiě)出線段DM，(2)【類(lèi)比探究】小啟改變點(diǎn)的位置后，進(jìn)一步探究：如圖2，點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的邊CD，BC的延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，連接MN，用等式寫(xiě)出線段(3)【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，用等式寫(xiě)出線段31．（2024·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、(1)將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．從而可得：DM+BN=MN．請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN=6，CM=8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是(3)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=(4)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知32．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開(kāi)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【操作判斷】操作一：如圖①，對(duì)折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊AD上選一點(diǎn)E，沿BE折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BE；操作三：如圖③，在邊CD上選一點(diǎn)F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF把正方形紙片展平，得圖④，折痕BE、BF與AC的交點(diǎn)分別為G、根據(jù)以上操作，得∠EBF=________°．【探究證明】（1）如圖⑤，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接EF，過(guò)點(diǎn)G作CD的垂線，分別交AB、CD、EF于點(diǎn)P、Q、【深入研究】若AGAC=1k，請(qǐng)求出②與半角模型有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題33．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H在AD邊上（不與點(diǎn)A、D重合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接AC交BH于點(diǎn)M，連接BF交AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF=45°；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，則sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤34．（2021·湖北黃石·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則△CEF的周長(zhǎng)是．（2）下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點(diǎn)，則tan∠AEF=235．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接BE，BF，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠EBF=45°，連接EF，PF，PD．以下結(jié)論：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF，垂足為H，連接DH，則DH的最小值為22-2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是3)風(fēng)車(chē)模型使用場(chǎng)景：已知正方形ABCD，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，∠MON=90°圖示：大招結(jié)論：1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB3)△EOF為等腰直角三角形4)5)6)(當(dāng)OE⊥AB時(shí)OE取最小值)36．（2023·湖北襄陽(yáng)·中考真題）【問(wèn)題背景】人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形A九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P落在線段OC上，PAPC=k（

【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)M，N①填空：k=______；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM?△PBN；也可過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．）【類(lèi)比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說(shuō)明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，點(diǎn)N在邊BC上，∠BPN=45°，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E，若EN=kPN，求k的值．37．（2024·四川眉山·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出：在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形的中心O處，并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：（1）若正方形邊長(zhǎng)為4，當(dāng)一條直角邊與對(duì)角線重合時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_____；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_____．（2）若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中S1與S的關(guān)系為類(lèi)比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，小宇經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論BE+DF=2拓展延伸：如圖2，若正方形邊長(zhǎng)為4，將另一個(gè)直角三角板中60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三角板的直角邊交AB于點(diǎn)M，斜邊交BC于點(diǎn)N，且BM=BN時(shí)，請(qǐng)求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=6-2438．（2022·江西·中考真題）問(wèn)題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_________；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為_(kāi)_________(2)類(lèi)比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM=CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)CM=CN時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH=α），將∠GOH繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請(qǐng)直接寫(xiě)出S2的最小值與最大值（分別用含（參考數(shù)據(jù)：sin15°=4)一線三等角模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE圖示結(jié)論①一線三等角模型39．（2024·海南·中考真題）正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求證：△ABE≌(2)如圖2，EM⊥AF于點(diǎn)P，交AD于點(diǎn)M．①求證：點(diǎn)P在∠ABC的平分線上；②當(dāng)CHDH=m時(shí)，猜想AP與③作HN⊥AE于點(diǎn)N，連接MN、HE，當(dāng)MN∥HE時(shí)，若40.（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則41．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫(xiě)出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫(xiě)出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD的延長(zhǎng)線上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫(xiě)出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②構(gòu)造一線三等角模型42．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線y=-x2+4上，點(diǎn)D在y軸上．若A，CA．m+n=1 B．m-n=1 C．mn=1 D．m43．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，把AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則FGCE的值為（

A．2 B．3 C．322 D44．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AD=4AE，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE，交射線BC于點(diǎn)F，則EFPE=．若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

45．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)(-1,0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-2,4)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．

題型04特殊四邊形熱考模型1）最值模型①矩形對(duì)角相等求最值圖示解題策略結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知對(duì)角線相等，即EF=BD，則對(duì)角線EF的最小值為點(diǎn)B到斜邊AC的高BG46．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)P是邊AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D，E，連接DE，則DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．12547．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)C勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，則線段EF的值大小變化情況是（

A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少48．（2023下·天津河?xùn)|·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN

A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.849．（2022下·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是(

)A．12 B．65 C．125②利用菱形的對(duì)稱(chēng)性求最值圖示解題策略結(jié)論求DE+EF的最小值.連接BE，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知DE=BE，則DE+EF=BE+EF≥BF，根據(jù)“垂線段最短”確定當(dāng)BF⊥CD時(shí)BF取最小值，再通過(guò)等面積法或勾股定理求出EF的長(zhǎng)度.連接BF，當(dāng)BF⊥CD時(shí)BF取最小值50．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．251．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．1.5 D．552．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，∠ABC=120°，點(diǎn)A-3,0，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．③利用正方形的對(duì)稱(chēng)性求最值條件：如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在AC上正方形對(duì)角線，連接頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)現(xiàn)圖示：正方形對(duì)角線，連接頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)現(xiàn)解題大招：正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，具有4條對(duì)稱(chēng)軸，圍繞對(duì)稱(chēng)軸，有多組對(duì)稱(chēng)型全等.53．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為54．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=1，F(xiàn)為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為．

55．（2023·安徽合肥·三模）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（

）

A．23 B．26 C．3 D56．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE:PF=1:2時(shí)，則PC=（

）

A．3 B．2 C．5 D．557．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)（與點(diǎn)B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足．連接EF,AG，并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H．

(1)求證：∠DAG=∠EGH．(2)判斷AH與EF是否垂直，并說(shuō)明理由．④正方形與等邊三角形類(lèi)型以正方形的一邊向內(nèi)構(gòu)建等邊三角形以正方形的一邊向外構(gòu)建等邊三角形條件在正方形ABCD中，△BCE為等邊三角形四邊形ABCD為正方形，△DCE為等邊三角形圖示結(jié)論△ABE，△DCE，△AED為等腰三角形△ABE≌△DCE，∠EAD=∠EDA=15°，∠BAE=∠CDE=75°△BCE為等腰三角形△ABF≌△ADF≌△EDF，△BCF≌△DCF，∠BEC=∠CBE=15°，∠AFD=∠AFB=75°58．（2024·山東青島·一模）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，△ABP為等邊三角形，連接PC，PD，則∠PCD的正切值為（

）A．12 B．2-3 C．3259．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長(zhǎng)為（

）A．23+2 B．5-33 C．60．（2024·廣東珠?！ひ荒＃﹫D，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△BCE是等邊三角形，連接DE，AE，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE≌(2)求∠AFD的度數(shù)．61．（2023·安徽黃山·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、(1)連接MN，(2)求證：△AMB≌△ENB；(3)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最??；②如圖②，當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并說(shuō)明理由．62．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱(chēng)的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)FA，交射線BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若AB=3+6，求△BGF2）折疊模型解題方法：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問(wèn)題與軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)聯(lián)系緊密，解決這類(lèi)問(wèn)題有兩個(gè)“秘訣”:一是折疊前后的兩部分是全等的(對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等)；二是折疊前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被折痕垂直平分.63．（2023·四川達(dá)州·中考真題）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在BC上A'處，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點(diǎn)B落在DC的延長(zhǎng)線上B'處，若BC?CE=24,AB=6，求BE（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D,AD=10,AE=6，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，連接DF，且滿足∠DFE=2∠DAC，直接寫(xiě)出BD+64．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE以BE為對(duì)稱(chēng)軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長(zhǎng)，就可求出BE的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3，求BE的長(zhǎng)．問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展．問(wèn)題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長(zhǎng)．65．（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊CD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，PG交BC于點(diǎn)H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點(diǎn)，AB=2，AD=3時(shí)，求GH的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點(diǎn)時(shí)，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．66．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對(duì)角線BD折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線BD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為B'，折痕與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B'與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：【問(wèn)題解決】（2）如圖3，當(dāng)AB=4，AD=8，BF=3時(shí)，求證：點(diǎn)A'，B'，【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有A'B'與對(duì)角線（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點(diǎn)O，P，試探究三條線段AP，B'D，EF67．（2023·遼寧沈陽(yáng)·中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'、D'，射線C'E與射線

(1)求證：AF=EF；(2)如圖2，當(dāng)EF⊥AF時(shí)，DF的長(zhǎng)為_(kāi)_____；(3)如圖3，當(dāng)CE=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM交C'D'于點(diǎn)N，連接AN、EN3）對(duì)角互補(bǔ)模型模型1兩90°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類(lèi)型條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對(duì)稱(chēng)）和對(duì)角互補(bǔ)中的兩個(gè)，可推導(dǎo)出第三個(gè).2.模型引申條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等鄰邊對(duì)角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類(lèi)型條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.69．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，已知四邊形的面積為9，CD=2，則BC長(zhǎng)為（

）A．5 B．4 C．113 D．70．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為2的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是AB的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，CF交于點(diǎn)G，半徑BE，CD交于點(diǎn)H，則圖中陰影面積等于（

）A．π2-1 B．π2-2 C．71．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn)為D，∠B=90°，E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，交BC于點(diǎn)F．若CF=2AE，四邊形BEDF的面積是9，則BE的長(zhǎng)為72．（2020·湖南湘西·中考真題）問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然