2025屆大灣區普通高中畢業年級聯合模擬考試（一）數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號和準考證號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解對數不等式求出集合，再根據交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：D2.復數滿足，其中虛數單位，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，再計算其模即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：D3.已知平面向量的夾角為，且，，則（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據向量模長的關系，利用平方法轉化為向量數量積公式，解一元二次方程即可得出答案.【詳解】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故選：B.4.若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】根據線面平行的性質定理，若，，則或與異面，A錯誤；平行與同一平面的兩條直線位置關系不確定，可能平行、相交或異面，B錯誤；如圖，，過點作的平行線，設所在平面為，且，則，根據已知，所以，則，由，可得，且，所以，C正確；若，，則或，D錯誤.故選：D5.下列四組數據中，方差最小的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分別求平均數，再分別求出方差，最后比較方差的大小即可.【詳解】對于A，，；對于B，，；對于C，，；對于D，，；因為，所以四組數據中，方差最小的為，故選：C.6.早在兩千年前，古人就通過觀測發現地面是球面，并會運用巧妙的方法對地球半徑進行估算.如圖所示，把太陽光視為平行光線，O為地球球心，A，B為北半球上同一經度的兩點，且A，B之間的經線長度為L，于同一時刻在A，B兩點分別豎立一根長桿和，通過測量得到兩根長桿與太陽光的夾角和（和的單位為弧度），由此可計算地球的半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點B作太陽光的平行線，與的延長線交于點C，可求出，利用弧長公式即可求得地球的半徑.【詳解】如圖所示，過點B作太陽光的平行線，與的延長線交于點C，則，，所以,設地球半徑為R,則根據弧長公式得，所以,故選：A.7.設函數，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意判斷是偶函數，判斷函數的單調區間，再利用單調性和奇偶性解不等式即可.【詳解】，，又，所以函數是偶函數，當時，，易得單調遞增，不等式，即，等價于，，可得，解得，所以不等式的解集為.故選：B.8.已知拋物線的弦的中點橫坐標為5，則的最大值為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】根據拋物線定義，可得，數形結合可得，得解.【詳解】設拋物線的焦點為，，的橫坐標分別為，，則，拋物線的準線為，則，，，（當且僅當，，共線時取等號）如圖所示，即的最大值為12.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線和圓，則（）A.直線l恒過定點（2，0）B.存在k使得直線l與直線垂直C.直線l與圓O相交D.若，直線l被圓O截得的弦長為【答案】BCD【解析】【分析】A選項，化為點斜式可以看出直線恒過的點，B選項兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為-1，從而存在滿足題意，C選項直線過的定點在圓的內部，故可以判斷C選項；當時，先求圓心到直線的距離，再根據垂徑定理求弦長【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；當時，直線與直線垂直，故B正確：∵定點（-2，0）在圓O：x2+y2=9內部，∴直線l與圓O相交，故C正確：當時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BCD.10.已知函數，則（）A.是奇函數B.的最小正周期為C.在上單調遞增D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】根據奇函數的定義可得選項A正確；根據可得選項B錯誤；根據可得選項C錯誤；根據二倍角公式結合可得選項D正確.【詳解】由題意得，.A.∵函數的定義域為，，∴是奇函數，選項A正確.B.∵，∴不是函數的周期，選項B錯誤.C.∵，∴在上不是單調遞增函數，選項C錯誤.D.∵，，∴，∵，∴的最小值為，選項D正確.故選：AD.11.設曲線，拋物線，記拋物線的焦點為，，為分別為曲線，上的動點，為曲線的切線，則（）A.若與無公共點，則B.若過點，則被截得的弦長為C.當時，D當時，【答案】AD【解析】【分析】選項A將與無公共點轉化為無零點，由導數求最小值大于0即得；選項B先求切線方程為，聯立，利用韋達定理和弦長公式即可求得；選項C利用導數求得的最小值小于，進而可得；選項D根據的切線方程和拋物線的切線方程為，進而可得.詳解】選項A：聯立得，設，由題意可知無零點，，故當時，f′x<0，當時，f故，由題意，得，故A正確；選項B：由題意，由得，設與曲線的切點為，則切線方程為，因過點，故，解得，所以的方程為，即，與聯立得，設與的交點坐標為Ax1,則，故，故B錯誤；選項C：當時，，因在曲線上，可設為，則，設，，設，則，故?x在上單調遞增，又，，故，使得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值為，又，故，故C錯誤；選項D：當時，在處的切線方程為，將代入得，而曲線在處的切線方程為，要使得兩曲線上得點M，Q之間距離最小，當時，，，則，兩直線的距離為，顯然兩切點為得連線與切線不垂直，故，故D正確.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：本題選項A，C關鍵是把幾何問題解析化，然后利用導數求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線右支上，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據雙曲線的定義求得，再利用余弦定理求解.【詳解】因為點在雙曲線右支上，且，則，又，在中，由余弦定理可得，，所以.故答案為：.13.在中，已知，，則______.【答案】【解析】【分析】由兩角和的正切公式結合條件切化弦可得，將條件切化弦運算得解.【詳解】，，，即，解得，即，即，所以，又，得，又由，可得，.故答案：.14.有三個袋子，每個袋子都裝有個球，球上分別標有數字.現從每個袋子里任摸一個球，用分別表示從第一，第二，第三個袋子中摸出的球上所標記的數，則事件“”的概率為______.【答案】【解析】【分析】歸納求出滿足的情況種數，根據古典概型的概率公式求解.【詳解】由題意，從三個袋子中摸出的球上所標記的數的總的情況為種，滿足，則，當時，對應的情況有，1種；當時，對應的情況有，2種；當時，對應的情況有，3種；當時，對應的情況有，種；所以滿足的情況有種，故所求事件的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數列滿足，是關于的方程的兩個根.（1）求；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據韋達定理可得，利用等差數列通項公式列式計算；（2）由（1）求得通項，代入運算可得，利用裂項求和得解.【小問1詳解】根據題意，由韋達定理可得，因為數列是等差數列，設公差為，所以，即，則，解得，.【小問2詳解】由（1），則，，，.16.在中，角的對邊分別為，為邊上的中線.（1）證明：；（2）若，，求的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：對兩邊平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在和中，由余弦定理可得答案；（2）在中，由余弦定理得，結合（1）再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】方法一：為邊上中線，，，在中，由余弦定理得：，，，.方法二：為邊上中線，在中，，在和中，由余弦定理得：，即，，即；【小問2詳解】，，由余弦定理可得，故，即，當且僅當時，即時等號成立，所以，所以取得最小值為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）證明：；（2）若四棱錐的外接球的表面積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質證明線線平行，先證平面即可.（2）先確定四棱錐的外接球的球心，即可得的長，過作于，所以為二面角的平面角，求解即可.【小問1詳解】取AB的中點，連接，則由題意知為正三角形，所以，由等腰梯形知，設，則，，故，即得，所以，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】由于，又，為等邊三角形，，即為四邊形外接圓的圓心，且半徑，過作平面的垂線，則，在平面內作的垂直平分線交與點，則，即為四棱錐的外接球的球心，且半徑，則，，則，過作于，平面，所以平面，又平面，則，所以為二面角的平面角，，所以二面角的平面角的余弦值為.18.數列是特殊的函數，可以利用函數工具研究數列性質.比如，為了研究數列的性質，對通項公式取對數得，，則可通過研究函數的性質，得到數列的性質，進而得到的性質.請根據以上材料，解決如下問題：（1）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍，并證明：；（2）是否存在常數，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（注：e為自然對數的底數）【答案】（1）；證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）當x=0時，恒成立，；當x>0時，可化為，令，x>0，利用導數方法判斷其單調性，結合洛必達法則即可求出的范圍；得出以，將代入整理，即可證明不等式成立；（2）先由題意得到a>0；由推出，結合（1）的結果，可求出；對于，當或時，于顯然恒成立；當時，推出以，同（1）構造函數，求出；從而可求出結果.【小問1詳解】當x=0時，顯然恒成立，；當x>0時，可化為，令，x>0，則，令，x>0，則在上恒成立，因此在上單調遞減，所以，即在上恒成立，所以在上單調遞減，又由洛必達法則可得：，所以恒成立，因此，為使對任意x>0恒成立，只需；綜上，；所以，因為，所以，則，所以得證；【小問2詳解】存，使得：有，,證明如下：由題意，為使恒成立，必有a>0；(i)由得，所以，則，因為，由（1）知對任意x>0恒成立，為使都成立，只需，解得；(ii)對于，當或時，于顯然恒成立；當時，，由得，所以，令，則，，所以，同（1）令，，則，令，，則在上恒成立，因此在上單調遞增，所以，因此在上恒成立，所以在上單調遞減，又，所以當，；因此，為使恒成立，只需，解得；由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，.【點睛】思路點睛：利用導數的方法求解不等式中的參數時，一般可利用分離參數的方法，先分離出所求參數，再構造函數，利用導數的方法求函數的最值即可.19.線段的長為3，端點分別在軸和軸上運動，點滿足，記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）曲線與軸的左右兩個交點分別為為上異于的動點.過點分別作直線，直線，其中與曲線交于兩點，交直線于點，點滿足.①求點的軌跡方程；②的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）①，②存在最小值，最小值為3.【解析】【分析】（1）設點Ex,y，，，根據及計算即可；（2）①由題意，可設，則，利用點差法得①，②，由①②得，運算得解