第十二章全等三角形（壓軸題專練）【題型一四邊形中構造全等三角形】例題：如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【變式訓練】1．在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關系并證明所歸納結論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？【題型二一線三等角模型】例題：【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、的外角．若，，求證：．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．【變式訓練】1．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，射線在的內部，點B、C分別在的邊、上，且，若，求證：；（2）類比探究：如圖2，，且．（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，在中，，．點E在邊上，，點D、F在線段上，．若的面積為，，求與的面積之比．

2．在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．【題型三三垂直模型】例題：問題1：在數(shù)學課本中我們研究過這樣一道題目：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥MN，AD⊥MN，垂足分別為E、D．圖中哪條線段與AD相等？并說明理由．問題2：試問在這種情況下線段DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出來，不需要說明理由．問題3：當直線CE繞點C旋轉到圖2中直線MN的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由．【變式訓練】1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【題型四倍長中線模型】例題：閱讀理解在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關系，請直接寫出你的結論．【變式訓練】1．為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小麗在組內做了如下嘗試：如圖1，在中，是邊上的中線，延長到M，使，連接．

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）圖1中與的數(shù)量關系是______，位置關系是______．【初步應用】（2）如圖2，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．【探究提升】（3）如圖3，是的中線，過點A分別向外作、，使得，延長交于點P，判斷線段與的數(shù)量關系和位置關系，請說明理由．【題型五旋轉模型】例題：【嘗試探究】如圖1，已知在正方形中（四邊相等，四個內角均為90°），點、分別在邊、上運動，當時，探究、和的數(shù)量關系，并加以說明；【模型建立】如圖2，若將直角三角形沿斜邊翻折得到，且，點、分別在邊、上運動，且，試猜想（2）中的結論還成立嗎？請加以說明；【拓展應用】如圖3，已知是邊長為8的等邊三角形（三邊相等，三個內角均為60°），，，，以為頂點作一個60°角，使其角的兩邊分別交邊、于點、，連接，直接寫出的周長．

【變式訓練】1．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，點D在邊AC上，且線段BD繞著點B按逆時針方向旋轉120°能與BE重合，點F是ED與AB的交點．（1）求證：AE＝CD；（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度數(shù)．2．在四邊形中，，，，、分別是，上的點，且，在探究圖1中線段，，之間的數(shù)量關系過程中．(1)你嘗試添加了怎樣的輔助線？成功了嗎？（真實大膽作答即可得分）(2)小亮同學認為：延長到點，使，連接，先證明，再證明，即可得出，，之間的數(shù)量關系是．(3)如圖3，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，上述結論是否仍然成立？并證明；(4)如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，且兩艦艇到指揮中