第十一章三角形（知識歸納+八大題型突破）1.理解三角形的定義，三邊關系．2.會作三角形的高線、中線、角平分線．3.會證明三角形內角和的定理與外角和定理，并會求解多邊形內角和與外角和．一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．二、三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．三、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．五、三角形的穩定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．六、三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．要點詮釋：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數；③求一個三角形中各角之間的關系．七、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點詮釋：(1)外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點詮釋：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理論證明經常使用的理論依據．另外，在證角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．八、多邊形的概念1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凹多邊形要點詮釋：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．九、多邊形內角和n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；十、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數求多邊形邊數；②已知多邊形邊數求各相等外角的度數．題型一三角形的穩定性例題：（2023·山西運城·統考二模）學校、工廠、企業等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動，以此來控制門的大?。@種方法應用的數學知識是（

）

A．三角形的穩定形 B．四邊形的不穩定性C．勾股定理 D．黃金分割【答案】B【分析】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據四邊形的不穩定性．【詳解】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動，這是根據四邊形的不穩定性．故選：B【點睛】本題考查四邊形的不穩定性，抓住題意的關鍵詞從而解決問題．鞏固訓練1．（2023秋·云南楚雄·八年級統考期末）西雙版納大橋是云南省境內一座橋梁，位于西雙版納州府景洪市，跨越瀾滄江，是西雙版納十大標志性建筑之一，如圖，西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構成了一個三角形，這樣使其更穩固，其中運用的數學原理是________．【答案】三角形具有穩定性【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．【詳解】解：西雙版納大橋中的斜拉索、索塔和橋面構成了一個三角形，這樣使其更穩固，其中運用的數學原理是三角形具有穩定性，故答案為：三角形具有穩定性．【點睛】本題考查的是三角形的性質的應用，熟記三角形具有穩定性是解題的關鍵．2．（2023春·陜西西安·七年級陜西師大附中校考階段練習）近日，中亞峰會于5月18日至19日在西安舉行，暮色中的大唐芙蓉園流光溢彩，美輪美奐．工人師傅在樓閣上固定木制門框用來張貼歡迎條幅，為了防止變形常常像圖中所示，釘上兩條斜拉的木條，這樣做的原理是___．

【答案】三角形具有穩定性【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．【詳解】解：根據題意，為了防止變形常常像圖中所示，釘上兩條斜拉的木條，這樣做的原理是三角形具有穩定性，故答案為：三角形具有穩定性．【點睛】本題考查三角形的穩定性，能夠運用數學知識解釋生活中的現象是解答的關鍵．3．（2023春·九年級單元測試）如圖，學校門口設置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數學原理是利用了三角形的_____（選填“穩定性”或“不穩定性”）．【答案】穩定性【分析】根據三角形的穩定性進行解答即可．【詳解】解：學校門口設置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數學原理是利用了三角形的穩定性．故答案為：穩定性．【點睛】本題主要考查了三角形的特性，解題的關鍵是熟練掌握三角形的穩定性．題型二判斷三邊是否能構成三角形例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十九中學校?？计谥校┫铝忻拷M數分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（

）A．9，6，13 B．6，8，16 C．18，9，8 D．3，5，9【答案】A【分析】利用三角形的三邊關系逐一進行分析即可得到答案．【詳解】解：A、，能擺成三角形，符合題意，選項正確；B、，不能擺成三角形，不符合題意，選項錯誤；C、，不能擺成三角形，不符合題意，選項錯誤；D、，不能擺成三角形，不符合題意，選項錯誤，故選A．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，解題關鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．鞏固訓練1．（2023春·湖南長沙·七年級長沙市長郡梅溪湖中學?？茧A段練習）下列各組線段中，能構成三角形的是（

）A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．4，5，9【答案】C【分析】由于三角形三邊滿足兩短邊的和大于最長的邊，只要不滿足這個關系就不能構成三角形根據這個關系即可確定選擇項．【詳解】A、∵，∴不能構成三角形，排除；B、∵，∴不能構成三角形，排除；C、∵，∴能構成三角形，符合題意；D、，∴不能構成三角形，排除；故選：．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系定理，解題的關鍵是掌握兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．2．（2023·浙江·八年級假期作業）如果三條線段長度的比是：①，②，③，④，⑤，⑥．那么其中可構成三角形的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據三角形三邊關系進行求解判斷即可．【詳解】解：①中，設三邊為，由可得，三邊不能構成三角形，故不符合要求；②中，設三邊為，由可得，三邊不能構成三角形，故不符合要求；③中，設三邊為，由可得，三邊不能構成三角形，故不符合要求；④中，設三邊為，由可得，三邊不能構成三角形，故不符合要求；⑤中，設三邊為，由，可得，三邊能構成三角形，故符合要求；⑥設三邊為，由，，可得，三邊能構成三角形，故符合要求；∴共有2個能構成三角形，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系．熟練掌握三角形中三邊關系滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．3．（2023春·安徽合肥·七年級統考階段練習）長為9，6，5，3的四根木條，選其中三根組成三角形，共有（

）種選法．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】要把四條線段的所有組合列出來，再根據三角形的三邊關系判斷能組成三角形的組數．【詳解】解：四根木條的所有組合：9，6，5和9，6，3和9，5，3和6，5，3；根據三角形的三邊關系，得能組成三角形的有9，6，5和6，5，3．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，在判斷三個數是否能不能構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．題型三已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍例題：（2023春·黑龍江綏化·七年級校聯考期中）若一個三角形的兩邊長是4和9，且周長是偶數，則第三邊長為_______．【答案】7或9或11【分析】設第三邊為a，根據三角形的三邊關系可得：，然后再根據第三邊是偶數，確定a的值即可．【詳解】解：設第三邊為a，根據三角形的三邊關系可得：．即：，∵周長是偶數，∴第三邊的長為奇數，即：或或．∴第三邊長為7或9或11．故答案為：7或9或11．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．鞏固訓練1．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學?？茧A段練習）三角形的兩邊長分別是2、7，若第三邊長為奇數，則此三角形第三邊的長是______．【答案】7【分析】首先設第三邊長為x，根據三角形的三邊關系可得，然后再確定x的值即可．【詳解】解：設第三邊長為x，∵兩邊長分別是2和7，∴，即：，∵第三邊長為奇數，∴，故答案為：7．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．2．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是__________．（只填一個即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）【分析】根據三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3．（2023·河北·統考模擬預測）已知一個三角形的第一條邊長為，第二條邊長為(1)求第三條邊長的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長為整數，求這個三角形周長的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角形三邊關系定理即可得出結論；（1）根據絕對值和平方的非負性可確定，的值，從而得出的最大值，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵三角形的第一條邊長為，第二條邊長為，∴第三條邊長的取值范圍是，即，∴第三條邊長的取值范圍是；（2）∵，滿足，第三條邊長為整數，∴，∴，∴，即，則三角形的周長為：，∵為整數，∴可取最大值為，此時這個三角形周長的最大值為，∴這個三角形周長的最大值為．【點睛】本題考查三角形三邊關系定理，絕對值和平方的非負性，不等式組的整數解，三角形的周長．掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．題型四與平行線有關的三角形內角和問題例題：（2023·浙江·八年級假期作業）如圖，在中，，過點作．若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質可求得出的度數，然后在中利用三角形內角和定理即可求出的度數．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，，，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形內角和定理等知識點．牢記三角形內角和是是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·陜西西安·七年級西安市第二十六中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據在中，，，可以求得的度數，再根據，可以得到和的關系，從而可以求得的度數．【詳解】解：在中，，，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的性質、平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．2．（2023·湖南岳陽·統考三模）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則為（

）

A．45° B．60° C．90° D．105°【答案】D【分析】由直角三角形的性質得出，，由平行線的性質得出，再由三角形內角和定理即可求出∠CGD的度數．【詳解】解：∵，，∴，同理可得：，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，直角三角形的性質，三角形內角和定理是解決問題的關鍵．3．（2023春·陜西咸陽·七年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖，的頂點D，E在的邊BC上，，，若，則的度數為（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據兩直線平行，內錯角相等，可得，，再根據三角形內角和定理得，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質和相似三角形的性質，靈活運用所學知識是解題關鍵．題型五與角平分線有關的三角形內角和問題例題：（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別平分和，若，則的大小為______．

【答案】/110度【分析】由三角形的內角和定理可求得，再由角平分線的定義可求得，從而可求．【詳解】，，和分別平分和，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的內角和定理，三角形角平分線的定義，解答的關鍵是明確三角形的內角和為．鞏固訓練1．（2023·江蘇揚州·校考二模）已知，如圖，的的平分線和外角的平分線交于點，，，則_______°．【答案】74【分析】利用角平分線的定義求得，利用三角形的外角性質求得，再根據角平分線的定義求得，據此求解即可.【詳解】解：∵是的平分線，且，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，故答案為：74．【點睛】本題考查角平分線的定義和三角形外角的性質，熟練利用角平分線和三角形外角的性質來判斷題中角之間的關系是解答本題的關鍵．2．（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，，．求的度數．【答案】【分析】根據三角形內角和為，分別列出和的內角和等式，再根據已知條件，即可求解．【詳解】，，．，是角平分線，，在中，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義，掌握三角形內角和為是解題的關鍵．3．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）如圖，在中，是的角平分線，作交于點E，，，求的度數．

【答案】【分析】利用三角形內角和求出，根據角平分線的定義得到，根據平行線的性質求出，再利用三角形內角和定理即可解決問題．【詳解】解：∵，，，平分，，又，，，．【點睛】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．題型六三角形的外角的定義及性質例題：（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，已知直線，被直線，所截，且，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形外角的性質求出，再根據平行線的性質即可得到的度數【詳解】解：如圖，

∵，，，∴，∵，∴，故選：B【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是掌握平行線和三角形外角的性質．鞏固訓練1．（2023春·河南三門峽·七年級統考期中）為增強學生體質，感受中國的傳統文化，學校將國家級非物質文化遺產“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖是某同學“抖空竹”時的一個瞬間，王聰把它抽象成如圖的數學問題：已知，，，則的度數為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用平行線的性質得出，進而利用三角形的外角得出答案；【詳解】解：如圖所示：延長交于點F，

∵，，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質應用，三角形外角的性質，準確利用三角形外角性質是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇泰州·七年級泰州市海軍中學校考階段練習）如圖，若，，，則___________．【答案】/149度【分析】延長交于點，由三角形的外角性質可求得的度數，再次利用三角形的外角性質即可求的度數．【詳解】解：延長交于點，如圖，∵，，是的外角，，∵，是的外角，．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質，解題的關鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．3．（2023·上海浦東新·?？既＃┤鐖D，已知，點A在上，點B和D在上，點C在的延長線上，，，則的度數是_____．

【答案】/40度【分析】利用平行線的性質求出，再利用三角形外角的性質計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質、平行線的性質是解決本題的關鍵．題型七多邊形的內角和與外角和例題：（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮粋€多邊形的內角和等于它的外角和的2倍，則這個多邊形的邊數是．【答案】6/六【分析】設這個多邊形的邊數是，由題意得，，計算求解即可．【詳解】解：設這個多邊形的邊數是，由題意得，，解得，故答案為：6．【點睛】本題考查了多邊形的內角和、外角和，解一元一次方程．解題的關鍵在于根據題意正確的列方程．鞏固訓練1．（2023春·遼寧大連·七年級統考期中）如果一個多邊形的內角和為，那么這個多邊形是邊形．【答案】九【分析】設它的邊數為，根據多邊形的內角和公式列方程求解即可．【詳解】解：設它的邊數為，根據題意，得，解得，所以這是一個九邊形．故答案為：九．【點睛】本題考查多邊形內角和與外角，掌握多邊形的內角和公式是解決問題的關鍵．2．（2023春·江蘇泰州·七年級校考階段練習）已知一個多邊形的內角和與外角和之差為，則這個多邊形的邊數是．【答案】7【分析】先求出多邊形的內角和，再根據多邊形的內角和公式求出邊數即可．【詳解】解：一個多邊形的內角和與外角和之差為，多邊形的外角和是，這個多邊形的內角和為，設多邊形的邊數為，則，解得：，即多邊形的邊數為7，故答案為：7．【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角，能列出關于的方程是即此題的關鍵，注意：邊數為的多邊形的內角和，多邊形的外角和等于．3．（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級?？茧A段練習）（1）求出圖中x的值

（2）若多邊形的所有內角與它的一個外角的和為，求邊數和內角和．（3）如圖，，，若，，求，，的度數．

【答案】（1）①；②；③；（2）內角和為，邊數為5；（3），，【分析】（1）根據三角形的內角和定理與多邊形的內角和定理列方程解答即可；（2）根據多邊形的內角和是的整數倍，從而可得答案；（3）先求解，，證明，可得，再利用三角形的外角性質可求解．【詳解】解：（1）①由三角形的外角的性質可得：，解得：，②由四邊形的內角和定理