2024-2025學(xué)年福建省寧德市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列1，，4，，的一個(gè)通項(xiàng)公式（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次分析各項(xiàng)，尋找規(guī)律，求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列1，，4，，中，，，，，，……，故選：.2.用0、1、2、3這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）個(gè).A.4 B.10 C.12 D.24【答案】B【解析】【分析】由排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解．【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí)，偶數(shù)共有個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，偶數(shù)共有個(gè)，所以偶數(shù)共有個(gè)．故選：B.3.已知直線(xiàn)：，：，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.0 B. C.0或 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，即可求解．【詳解】直線(xiàn)：，：，，則，解得或故選：C.4.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A42 B.56 C.60 D.64【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解．【詳解】等差數(shù)列中，，則故選：C.5.若，則（）A.10 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件得，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解．【詳解】由題意，，則.故選：A.6.過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】法一：由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)的參數(shù)方程求解即可．法二：由直線(xiàn)與橢圓相交，利用縱坐標(biāo)與傾斜角來(lái)計(jì)算長(zhǎng)度，也可得到線(xiàn)段之積與縱坐標(biāo)關(guān)系，然后利用韋達(dá)定理求解.【詳解】法一：設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為，其中t為參數(shù)，代入橢圓方程可得：，則，則故選：A.法二：設(shè)直線(xiàn)方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，整理得：，設(shè)交點(diǎn)則有則故選：A.7.加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家.他在研究圓錐曲線(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線(xiàn)的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”.若長(zhǎng)方形G的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的蒙日?qǐng)A方程為C.若G為正方形，則G的邊長(zhǎng)為 D.長(zhǎng)方形G的面積的最大值為14【答案】D【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合矩形的面積公式及基本不等式的應(yīng)用求解．【詳解】已知橢圓，則，，，結(jié)合題意得，該橢圓的“蒙日?qǐng)A”的半徑為，對(duì)于A，橢圓M的離心率為，正確；對(duì)于B，橢圓M的蒙日?qǐng)A方程為，正確；對(duì)于C，若G為正方形，設(shè)G的邊長(zhǎng)為m，則，即，正確；對(duì)于D，G的長(zhǎng)為m，寬為n，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即長(zhǎng)方形G的面積的最大值為28，錯(cuò)誤．故選：D二、多選題：本題共4小題，共23分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.8.已知直線(xiàn)l：，圓C：，則（）A.直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)B.圓上的點(diǎn)到l的距離最大值為C.當(dāng)l與圓C相切時(shí)，直線(xiàn)l方程為D.當(dāng)時(shí)，圓C上有三個(gè)點(diǎn)到l的距離為1【答案】BC【解析】【分析】將l的方程化為，可知l經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與的交點(diǎn)，從而判斷出A項(xiàng)的正誤；求出圓心C到直線(xiàn)l距離的最大值，進(jìn)而算出圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)l距離的最大值，由此判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，算出直線(xiàn)l與圓C相切時(shí)的斜率k值，進(jìn)而判斷出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)時(shí)，圓心C恰好在直線(xiàn)l上，結(jié)合圓的半徑，判斷出D項(xiàng)的正誤．【詳解】對(duì)于A，直線(xiàn)l：可化為，所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B，圓C：的圓心為，半徑根據(jù)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，可知點(diǎn)C到直線(xiàn)l的最大距離為因此，圓C上的點(diǎn)到l的距離最大值為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)l與圓C相切時(shí)，圓心C到直線(xiàn)l的距離，即，解得，可得直線(xiàn)l的方程為，即，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l方程為，此時(shí)圓心C恰好在直線(xiàn)l上，根據(jù)圓的半徑，可知圓C上僅有兩個(gè)點(diǎn)到l的距離等于1，故D項(xiàng)不正確．故選：BC.9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是（）A.如果甲，乙必須相鄰，則不同的排法有48種B.如果甲，乙都不排兩端，則不同的排法共有36種C.如果甲乙不相鄰，則不同排法共有36種D.如果甲乙丙按從左到右的順序可以不相鄰，則不同排法共有20種【答案】ABD【解析】【分析】利用捆綁法求出A選項(xiàng)中結(jié)果，利用特殊優(yōu)先求出B選項(xiàng)結(jié)果，利用插空法求出C選項(xiàng)結(jié)果，由排列組合求出D選項(xiàng)結(jié)果.【詳解】A，如果甲，乙必須相鄰，則不同的排法有種，故A正確；B.B，如果甲，乙都不排兩端，則不同排法共有種，故B正確；C，如果甲乙不相鄰，則不同排法共有種，故C錯(cuò)誤；D，如果甲乙丙按從左到右的順序可以不相鄰，則不同排法共有種，故D正確．故選：ABD10.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列判斷正確的是（）A.若，則數(shù)列是等差數(shù)列B.若，則取最大值時(shí)或C若，則D.若，，則數(shù)列是等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】由數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出數(shù)列的前3項(xiàng)，由等差數(shù)列的定義可判斷A，由數(shù)列的函數(shù)特性可判斷B，由累加法可判斷C，由等比數(shù)列的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，，，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，又n為正整數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，取最大值，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減，有，變形可得，當(dāng)時(shí)，有，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知A為雙曲線(xiàn)上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)F為雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)，則（）A.若，則 B.若，則的面積為2C. D.的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】由，可得四邊形為矩形，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A；結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義、勾股定理和三角形面積公式即可判斷選項(xiàng)B；在中，得到的表達(dá)式，結(jié)合漸近線(xiàn)方程即可判斷選項(xiàng)C；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為4，此時(shí)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形可知四邊形為平行四邊形，因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的方程為，所以，，，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋裕此倪呅螢榫匦危瑒t，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由雙曲線(xiàn)定義可知：，又，若，此時(shí)四邊形為矩形，則，所以，即，解得，所以，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：在中，，易知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以，此時(shí)，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為4，故選項(xiàng)D正確．故選：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量是直線(xiàn)l一個(gè)法向量，則直線(xiàn)l的傾斜角為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)法向量的定義，以及直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解．【詳解】因?yàn)橄蛄渴侵本€(xiàn)l的一個(gè)法向量，所以直線(xiàn)l的斜率，設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為，則，又，所以直線(xiàn)l的傾斜角.故答案為：.13.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.【答案】240【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和可得，結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，解得，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：240.14.已知圓O：，MN為圓O的動(dòng)弦，且滿(mǎn)足，C為弦MN的中點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P，Q在直線(xiàn)l：上，且，當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終為銳角，則線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，即可得點(diǎn)C的軌跡方程，設(shè)PQ的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，由恒為銳角，可得以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓與以E為圓心，1為半徑的圓外離，從而可得，解得a的范圍即可．【詳解】由題意，圓O：的圓心為，半徑，C為弦MN的中點(diǎn)，因?yàn)椋傻茫渣c(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，又由兩動(dòng)點(diǎn)P，Q在直線(xiàn)l：上，且，設(shè)PQ的中點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)M，N在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為銳角，所以以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓與以E為圓心，1為半徑的圓外離，則，解得或，所以線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得參數(shù)的值，即求出圓的方程，化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）由弦長(zhǎng)公式可得圓心C到直線(xiàn)的距離d，分直線(xiàn)的斜率不存在和存在兩種情況討論，設(shè)直線(xiàn)的方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得參數(shù)的值，即求出直線(xiàn)的方程．【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓C的方程為：，將代入圓的方程得，解得，，，所以圓的方程為：，即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得圓心，半徑，設(shè)圓心C到直線(xiàn)l的距離為d，由題意可得，可得，即，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，此時(shí)圓心C到直線(xiàn)的距離為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l的方程為，即，則圓心C到直線(xiàn)l的距離，解得，即直線(xiàn)l的方程為，即綜上所述，直線(xiàn)的方程為：或16.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】由，得，由此可判斷為等差數(shù)列，可求，進(jìn)而得到;求出，利用錯(cuò)位相減法可求．詳解】由，得，又，為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，，．，，，得，，．【點(diǎn)睛】該題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求和等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化能力，錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法，要熟練．?dāng)?shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等．17.已知點(diǎn)T分別與兩點(diǎn)，連線(xiàn)的斜率的乘積為，（1）求點(diǎn)T的軌跡的方程；（2）已知直線(xiàn)與交于A，B兩點(diǎn)，，求k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，代入斜率公式求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，將直線(xiàn)方程與軌跡方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，將，轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)PD與直線(xiàn)AB垂直，代入斜率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕桑茫淼茫瑒t點(diǎn)T的軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，，聯(lián)立，消去y并整理得，此時(shí)，由韋達(dá)定理得，所以，此時(shí)AB中點(diǎn)，因?yàn)椋灾本€(xiàn)PD與直線(xiàn)AB垂直，所以，即，解得，則

.18.已知是等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式：（2）記（i）求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；（ii）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程求得公差和公比，進(jìn)而得到所求；（2）（i）利用并項(xiàng)求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可；（ii）由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得所求．【小問(wèn)1詳解】由題意，是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q，，由，，，，可得，，解得，則，.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）可得，，則，則數(shù)列的前2n項(xiàng)和；（ii），則數(shù)列的前n項(xiàng)和19.已知拋物線(xiàn)C：，點(diǎn)在C上.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)、3、：過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與C交于點(diǎn)令為關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為（1）求弦長(zhǎng)；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求和；（3）記為的面積，求【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，，（3）【解析】【分析】（1）代入求得p和拋物線(xiàn)的方程，由直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，求得，得到，由兩點(diǎn)的距離公式，可得所求；（2）求得過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)方程，與