PAGE7-思想方法6特別值法與極限法[方法概述]在中學物理問題中，有一類問題具有這樣的特點，假如從題中給出的條件動身，需經過較困難的計算才能得到結果的一般形式，并且條件好像不足，使得結果難以確定，這時我們可以嘗試采納極限思維的方法，將其改變過程引向極端的狀況，就能把比較隱藏的條件或臨界現象暴露出來，從而有助于結論的快速取得。對于某些具有困難運算的題目，還可以通過特別值驗證的方法解除錯誤選項，提高效率。[典型例題]典例1圖示為一個內、外半徑分別為R1和R2的圓環狀勻稱帶電平面，其單位面積帶電量為σ。取環面中心O為原點，以垂直于環面的軸線為x軸。設軸上隨意點P到O點的距離為x，P點電場強度的大小為E。下面給出E的四個表達式(式中k為靜電力常量)，其中只有一個是合理的。你可能不會求解此處的場強E，但是你可以通過肯定的物理分析，對下列表達式的合理性做出推斷。依據你的推斷，E的合理表達式應為()A．E＝2πkσ(eq\a\vs4\al(\f(R1,\r(x2＋R\o\al(2,1))))－eq\f(R2,\r(x2＋R\o\al(2,2))))xB．E＝2πkσ(eq\f(1,\r(x2＋R\o\al(2,1)))－eq\f(1,\r(x2＋R\o\al(2,2))))xC．E＝2πkσ(eq\a\vs4\al(\f(R1,\r(x2＋R\o\al(2,1))))＋eq\f(R2,\r(x2＋R\o\al(2,2))))xD．E＝2πkσ(eq\f(1,\r(x2＋R\o\al(2,1)))＋eq\f(1,\r(x2＋R\o\al(2,2))))x解析當R1＝0時，帶電圓環演化為帶電圓面，則中心軸線上隨意一點的電場強度的大小E不行能小于0，而A項中，E<0，故A錯誤；當x→∞時E→0，而C項中E＝2πkσ·(eq\r(\f(R\o\al(2,1)x2,x2＋R\o\al(2,1)))＋eq\r(\f(R\o\al(2,2)x2,x2＋R\o\al(2,2))))＝2πkσ·(eq\r(\f(1,\f(1,x2)＋\f(1,R\o\al(2,1))))＋eq\r(\f(1,\f(1,x2)＋\f(1,R\o\al(2,2)))))，x→∞時，E→2πkσ(R1＋R2)，同理可知D項中x→∞時，E→4πkσ，故C、D錯誤；所以正確選項只能為B。答案B名師點評若題目提示不能用常規方法做，須要另辟蹊徑：特別值法驗證，單位制檢驗，依據表達式的形式推斷，定性分析。(1)P點電場強度應當是完整的圓產生的電場強度與中間圓產生的電場強度之差，表達式在形式上應當是兩式相減，解除C、D。(2)A、C的單位是相同的，B、D的單位也相同的，依據單位制，A、C的單位不符合要求，只能選B。[變式1]物理學中有些問題的結論不肯定必需通過計算才能驗證，有時只須要通過肯定的分析就可以推斷結論是否正確。如圖所示為兩個彼此平行且共軸的半徑分別為R1和R2的圓環，兩圓環上的電荷量均為q(q>0)，而且電荷勻稱分布。兩圓環的圓心O1和O2相距為2a，連線的中點為O，軸線上的A點在O點右側與O點相距為r(r<a)。試分析推斷下列關于A點處電場強度大小E的表達式(式中k為靜電力常量)正確的是()答案D解析當r＝a時，A點位于圓心O2處，帶電圓環R2由于對稱性在A點的電場強度為0，依據微元法可以求得此時的總場強為E＝E1＝∑eq\f(kΔq,R\o\al(2,1)＋4a2)cosθ＝∑eq\f(kΔq,R\o\al(2,1)＋4a2)·eq\f(2a,\r(R\o\al(2,1)＋4a2))＝，將r＝a代入各選項可知A、B、C錯誤，D正確。典例2如圖所示，滑輪質量不計，三個物體質量m1＝m2＋m3，這時彈簧秤的讀數為T，若把m2從右邊移到左邊的m1上面，彈簧秤的讀數T將()A．增大B．減小C．不變D．無法推斷解析將滑輪和三個物體看成一個系統。原來滑輪兩側處于平衡狀態，彈簧秤的讀數T等于下面所掛三個物體的重力之和，即：T＝(m1＋m2＋m3)g，這是彈簧秤讀數的最大值?，F在，把m2從右邊移到左邊的m1上面，左邊物體的總重力大于右邊物體的重力，即(m1＋m2)g>m3g，左邊物體m1和m2將向下做加速運動，具有向下的加速度，處于失重狀態；而右邊的物體m3將向上做加速運動，具有向上的加速度，處于超重狀態。由于(m1＋m2)>m3，且兩邊物體的加速度大小相等，則在系統中失重部分物體的質量大于超重部分物體的質量。所以，在總體上，系統處于失重狀態，彈簧秤受到向下的拉力將減小，極端狀況下，若將右側的物體全部放到左側，三個物體做自由落體運動，系統完全失重，彈簧秤的示數為0，因此，正確答案為B。答案B名師點評對系統應用牛頓其次定律列方程，設右側物體的質量為m，左側物體的質量為M，線上的拉力為F，則彈簧秤的讀數T＝2F，依據牛頓其次定律有：Mg－F＝Ma，F－mg＝ma，聯立各式可以求得彈簧秤的讀數為T＝eq\f(4Mmg,M＋m)，M＋m為定值，M與m相等時，M與m的乘積最大，此時T＝2Mg，當式中的m減為0時，M與m的乘積最小，T＝0。[變式2]如圖所示，在光滑的水平面上有一質量為M、傾角為θ的光滑斜面體，它的斜面上有一質量為m的物塊沿斜面下滑。關于物塊下滑過程中對斜面壓力大小的解答，有如下四個表達式。要推斷這四個表達式是否合理，你可以不必進行困難的計算，而依據所學的物理學問和物理方法進行分析，從而推斷解的合理性或正確性。依據你的推斷，下述表達式中可能正確的是()A.eq\f(Mmgsinθ,M－msin2θ) B.eq\f(Mmgsinθ,M＋msin2θ)C.eq\f(Mmgcosθ,M－msin2θ) D.eq\f(Mmgcosθ,M＋msin2θ)答案D解析用特別值推斷，當θ＝0時，物塊下滑過程中對斜面壓力大小應為mg，代入推斷知選項C、D符合要求；當θ為肯定值時，C項的分母可能為零，明顯不符合實際狀況，所以只有選項D可能正確。配套作業1．有一些問題你可能不會求解，但是你仍有可能對這些問題的解是否合理進行分析和推斷。例如從解的物理量的單位，解隨某些已知量改變的趨勢，解在肯定特別條件下的結果等方面進行分析，并與預期結果、試驗結論等進行比較，從而推斷解的合理性或正確性。舉例如下：如圖所示，質量為M、傾角為θ的斜面體A放于水平地面上。把質量為m的滑塊B放在A的斜面上。忽視一切摩擦，有人求得B相對地面的加速度a＝eq\f(M＋m,M＋msin2θ)gsinθ，式中g為重力加速度。對于上述解，某同學首先分析了等號右側量的單位，沒發覺問題。他進一步利用特別條件對該解做了如下四項分析和推斷，所得結論都是“解可能是對的”。但是，其中有一項是錯誤的。請你指出該項()A．當θ＝0時，該解給出a＝0，這符合常識，說明該解可能是對的B．當θ＝90°時，該解給出a＝g，這符合試驗結論，說明該解可能是對的C．當M?m時，該解給出a＝gsinθ，這符合預期的結果，說明該解可能是對的D．當m?M時，該解給出a＝eq\f(g,sinθ)，這符合預期的結果，說明該解可能是對的答案D解析當m?M時，該解給出a＝eq\f(g,sinθ)>g，這與實際不符，說明該解肯定是錯誤的，故選D。2．如圖所示，沿豎直桿以速度v勻速下滑的物體A通過輕質細繩拉光滑水平面上的物體B，細繩與豎直桿間的夾角為θ，則以下說法正確的是()A．物體B向右勻速運動B．物體B向右勻加速運動C．細繩對A的拉力漸漸變小D．細繩對B的拉力漸漸變大答案C解析取極端狀況，起先時θ＝90°，物體A的速度v垂直于繩，故vB＝0，當θ→0時，vB→v，幾乎不變，加速度趨于零，而起先時vB＝0，故B向右做加速度減小的加速運動，A、B錯誤；由牛頓第三定律知細繩對A的拉力大小FA等于對B的拉力大小FB，而FB＝mBaB，aB減小，則FA、FB漸漸減小，C正確，D錯誤。定量分析如下：物體A沿繩的分速度與物體B運動的速度大小相等，有vB＝vcosθ，隨物體A下滑，θ角減小，vB增加，但不是勻稱增加，θ越小，cosθ增加越慢，vB增加越慢，即B的加速度越來越小，由T＝mBaB可知，細繩的拉力漸漸變小，故只有C正確。3．(2024·吉林省長春市二模)如圖所示，光滑地面上靜置一質量為M的半圓形凹槽，凹槽半徑為R，表面光滑。將一質量為m的小滑塊(可視為質點)，從凹槽邊緣處由靜止釋放，當小滑塊運動到凹槽的最低點時，對凹槽的壓力為FN，FN的求解比較困難，但是我們可以依據學過的物理學問和方法推斷出可能正確的是(重力加速度為g)()A.eq\f(3M＋2mmg,M) B.eq\f(3m＋2Mmg,M)C.eq\f(3M＋2mg,M) D.eq\f(3m＋2mg,M)答案A解析滑塊和凹槽組成的系統水平方向上動量守恒，機械能守恒，當滑塊運動到最低點時有：mv＝Mv′，mgR＝eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)Mv′2，由極限的思想，當M趨于無窮大時，v′趨近于0，凹槽靜止不動，滑塊速度為v＝eq\r(2gR)，且小滑塊在最低點時由牛頓其次定律得FN－mg＝meq\f(v2,R)，解得FN＝3mg，四個選項中當M趨于無窮大時，只有A、C選項符合上述結論，而C、D選項從量綱的角度分析是錯誤的，故A正確，B、C、D錯誤。4．如圖所示，細線的一端系一質量為m的小球，另一端固定在傾角為θ的光滑斜面體頂端，細線與斜面平行。在斜面體以加速度a水平向右做勻加速直線運動的過程中，小球始終靜止在斜面上，小球受到細線的拉力T和斜面的支持力FN分別為(重力加速度為g)()A．T＝m(gsinθ＋acosθ)，FN＝m(gcosθ－asinθ)B．T＝m(gcosθ＋asinθ)，FN＝m(gsinθ－acosθ)C．T＝m(acosθ－gsinθ)，FN＝m(gcosθ＋asinθ)D．T＝m(asinθ－gcosθ)，FN＝m(gsinθ＋acosθ)答案A解析嚴格的求解須要分解力或加速度，然后應用牛頓其次定律列式求解，不過運用特別值代入法可以定性分析推斷，快速得到可能正確的選項。當加速度a＝0時，T＝mgsinθ，FN＝mgcosθ，故A正確，B、C、D錯誤。5．(多選)如圖所示電路