第二章軸向拉壓應力與材料的力學性能

2-1試畫圖示各桿的軸力圖.

(a)(b)

3kN2kN

2kN3kN

題2-1圖

解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。

：+)

圖2-1

2-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿

桿軸均勻分布，集度為外

(b)

題2—2圖

(a)解：由圖2—2a⑴可知，

F^(x)=2qa-qx

軸力圖如圖2—2a(2)所示,

尸i=2加

圖2-2a

(b)解:由圖2—2b(2)可知，

FR=qa

產N(F)="=W

FN(x2)=FR-q(x2-a)=2qa-qx2

軸力圖如圖2-2b(2)所示，

Fi=qa

圖2-2b

2—3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mnR教荷/=50kN。試求圖示斜

截面m-m上的正應力與切應力，以及桿內的最大正應力與最大切應力。

m

m

題2-3圖

解：該拉桿橫截面上的正應力為

斜截面〃廠機的方位角。=一50,故有

22

(y(/=acosa=100MPacos(-50)=41.3MPa

r?=^sin2?=50MPasin(-100°)=-49.2MPa

桿內的最大正應力與最大切應力分別為

(Tniax=(7=100MPa

工max=^=50MPa

2-5某材料的應力一應變曲線如圖所示，圖中還同時畫出了低應變區的詳圖。試確定

材料的彈性模量E、比例極限?！?、屈服極限q、強度極限外與伸長率%并判斷該材料屬于

何種類型(塑性或脆性材料)。

題2-5

解：由題圖可以近似確定所求各量。

E=—?220xO'Pa=220x109Pa=220GPa

Ac0.001

a?220MPa,。a240MPa

r，

<7b?440MPa,<5?29.7%

該材料屬于塑性材料。

2—7一圓截面桿，材料的應力-應變曲線如題2—6圖所示。若桿徑d=IOmm,桿

長/=200mm,桿端承受軸向拉力r=20kN作用，試計算拉力作用時與卸去后桿的軸向

變形。

400

3

與

一00

工2

、00

O00

1

00?0406OR101.7

E/%

題2—6圖

38

解：(7=F=4X20X10N=2.55x10Pa=255MPa

A兀x0.01()2nr

查上述曲線，知此時的軸向應變為

￡=0.0039=0.39%

軸向變形為

A/=!*=(0.200m)x0.0039=7.8x10-m=0.78nim

拉力卸去后，有

q=0.00364,cp=0.00026

故殘留軸向變形為

5

△1=fep=(0.200m)x0.00026=5.2xl0~m=0.052mm

2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷廠作用。已知載荷〃=32kN,板寬〃=100mm,

板厚3=15mm，孔徑d=20mm。試求板件橫截面上的最大拉應力(考慮應力集中)。

題2—9圖

解：根據

d/b=0.020nV(0.100m)=0.2

查應力集中因數曲線，得

KH2.42

根據

(b-d)d'%

得

3

oKF2.42X32X10N,At-in7D。VD

CT=K(r=------------=------------------------------------=6.45xlOPa=64.5MPa

maxn(b—d)3(0.100-0.020)x0.015m2

2—10圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷尸二36kN,板寬。尸90mm,

〃2=60mm,板厚3=IOmm,孔徑d=10mm,圓角半徑R=12mm。試求板件橫截面上的最大拉

應力（考慮應力集中）.

仇,-

題2-10圖

解：1。在圓孔處

根據

且=%如=。W1

&0.090m

查圓孔應力集中因數曲幺戔，得

K產2.6

故有

KF2.6x36x10N——=1.17xlO8Pa=117MPa

°max=K。、

(b「d)3(0.090-0.010)xO.OlOm

2.在圓角處

根據

DJ=0.09()m=]$

db20.060m

區=區=四型=0.2

db20.060m

查圓角應力集中因數曲線，得

仁1.74

故有

"=—=懸湍｝S*E04MPa

3。結論

%wc=117MPa（在圓孔邊緣處）

2-14圖示桁架,承受鉛垂載荷尸作用。設各桿的橫截面面積均為A,許用應力均為［b］,

試確定載荷尸的許用值［/口。

題2—14圖

解：先后以節點。與B為研究對象，求得各桿的軸力分別為

FN\=&F

產N2=取3=尸

根據強度條件，要求

生㈤

A

由此得

此二甯

2—15圖示桁架，承受載荷產作用，已知桿的許用應力為5,若在節點8和。的

位置保持不變的條件卜，試確定使結構重量最輕的。值（即確定節點A的最佳位置）。

題2-15圖

解：1。求各桿軸力

設桿A3和BC的軸力分別為FNI和".2,由節點B的平衡條件求得

2三'鳳2=尸抵地

2o求重量最輕的以值

由強度條件得

FF

A,=-------,4=——clana

團sina-[rr]

結構的總體積為

V=/4,/|+AJ^-———-----------+—ctana--(―^—Fctana)

'~[cr]sinacosa[o][a]sin2a

由

叱=。

da

得

3cos2a-l=0

由此得使結構體積最小或重量最輕的a值為

?=54。44'

2-16圖示桁架，承受載荷產作用，已知桿的許川應力為若節點A和C間的指

定距離為/,為使結構重量最輕，試確定。的最佳值。

題2—16圖

解：1.求各桿軸力

由于結構及受載左右對稱,故有

入1國2?./j

2sin^

2.求。的最佳值

由強度條件可得

A,=A->=------......

-2[tr]sin^

結構總體積為

V“=20A4//.=-----F-----------I----=------F-l-----

[6r]sin^2cos。Msin26

由

叱=0

dO

得

cos27=0

由此得夕的最佳值為

%=45。

2—17圖示桿件，承受軸向載荷產作用。已知許用應力［司=12()MPa,許用切應

力［4=90MPa,許用擠壓應力［/J=240MPa,試從強度方面考慮，建立桿徑d、墩頭直徑。

及其高度〃間的合理比值。

題2—17圖

解：根據桿件拉伸、擠壓與剪切強度，得載荷廠的許用值分別為

［口=苧㈤3)

此小兀⑺丁)口」

(b)

[F]s=ndh[r]

理想的情況下,

[n=[F]b=[F]s

在上述條件下，由式(a)與(c)以及式(a)與(b),分別得

3〃

于是得

D\h.d=L翳

由此得

D:/z:r/=1.225:0.333:l

218圖示搖臂，承受載荷人與入作用。已知我荷為二50kN,F2=35O4k、，許

題2-18圖

解：1.求軸銷處的支反力

由平衡方程Za=o與EG=O,分別得

q"-Bcos45°=25k\

^v=/ssin45=25kN

由此得軸銷處的總支反力為

22

FB=V25+25kN=35.4kN

2o確定軸銷的直徑

由軸銷的剪切強度條件(這里是雙面剪)

"區=/《⑺

And2

得

2K35.4x1O'八八iv

---------------nm=0.015m

^-xlOOxlO6

由軸銷的擠壓強度條件

%ddcl3

得

354x1()3

m=0.01475m

0.010x240xlO6

結論：取軸銷直徑〃2O.()15m=15mm0

2-19圖示木樣接頭，承受軸向載荷/=50kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應力。

100100

題2-19圖

解:剪應力與擠壓應力分別為

50x103

=5MPa

(0.1(X)m)(0.1(X)m)

_50X103N

=12.5MPa

(0.040m)(0.100m)

2-20圖示鉀接接頭，鉀釘與板件的材料相同，聲用應力=160MPa,許用切應力

［r］=120MPa,許用擠壓應力［5」=340MPa,載荷產=230kN。試校核接頭的強度。

題2—20圖

解：最大拉應力為

230XI()3N_______

=153.3MPa

max(0.170-0.020)(0.010)(m2)

最大擠壓與剪切應力則分別為

230X103N

230MPa

5(0.020m)(0.010m)

r=4x230xl0-N=1464Mpa

5x7i(0.020m)"

2—21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起,承受軸向載荷F=45kN作

用。已知木桿的截面寬度b=250mm,沿木紋方向的許用拉應力［。］=6MPa,許用擠壓應力

匕《『lOMPa,許用切應力［r］=IMPa。試確定鋼板的尺寸b與/以及木桿的高度〃.

題221圖

解：由拉伸強度條件

“一勛-25)

得

45xlQ3

h-23>m=0.030m(a)

b\(y\0.250x6x1()6

由擠壓強度條件

_F.

外一板一氣

得

45xl()3

32m=0.009m=9imn<：b)

24小12x0.250xl0xl06

由剪切強度條件

F

~2hl

得

F_45xlQ3

I之m=0.090m=90mm

2Z?[r]-2x0.250x1xlO6

取3=0.009m代入式(a),得

h>(0.030+2x0.009)m=0.048m=48min

結論：取

^>9mm,Z>90mni,//>48nini<)

2-22圖示接頭，承受軸向載荷廠作用V已知鉀釘直徑d=20mm,許用應力

=l60MPa,許用切應力"］=l20MPa,許用擠壓應力［0林］=340乂「2。板件與鉀釘的材料相同。

試計算接頭的許用載荷。

題2—22圖

解：1?？紤]板件的拉伸強度

由圖2—22所示之軸力圖可知，

%=凡鳳2=3//4

_^*N1_P<ri

5-—A—-7；f\c一〔°]

A(b-a)d

F^(b-d)d[aI=(0.200-0.020)x0.015x160xl06N=4.32xlO5N=432kN

尺23F

<kJ

44s-2d”

65

F<1(Z?-2J)<5[a]=1(0.200-0.040)x0.0I5xl60xl0N=5.12xl0N=512kN

圖2-22

2.考慮抑釘的剪切強度

區=至

A

F<2^/2[r]=2x7ixO.O2O2xl2OxlO6N=3.O2xlO5N=3O2kN

3.考慮鉀釘的擠壓強度

=F

F

%=A

6d4Sd

65

F<4^/kbs]=4x0.015x0.020x340xl0N=4.08xl0N=408kN

結論：比較以上四個產值，得

[F]=302kN

2-23圖a所示鋼帶A/3,用三個直徑與材料均用同的鉀釘與接頭相連接，鋼帶承受

釉向載荷產作用.已知載荷尸=6kN,帶寬〃=40mm,帶厚6=2mm,抑釘直徑d=8mm,孔的邊

距a=20mm,鋼帶材料的許用切應力[口=100MPa,許用擠壓應力=300MPa,許用拉應

力[內=l60MPa。試校核鋼帶的強度。

題2—23圖

解：1.鋼帶受力分析

分析表明，當各伽釘的材料與直徑均相同,且外力作用線在抑釘群剪切面上的投影，通過

該面的形心時，通常即認為各鉀釘剪切面的剪力相同。

抑釘孔所受擠壓力&等于獅釘剪切面上的剪力，因比，各鉀釘孔邊所受的擠壓力&相同,

鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為

FX3

6I0N3

7亍=2.0X10N

孔表面的最大擠壓應力為

3

2.0X10Ns

=1.25x10Pa=125MPa<[<rbs]

(O.(X)2m)(O.(X)8m)

在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b）,切應力為

3

2.0X1QN=2.5xl07Pa=25MPa<|r|

2曲2(0.002m)(0.020m)

鋼帶的軸力圖如圖c所示.由圖b與c可以看出，截面1-1削弱最嚴重,而截面2-2的軸力

最大，因此，應對此二截面進行拉伸強度校核。

截面1-1與2—2的正應力分別為

2(6xIO?N)

=83.3MPa<b]

0=

A3(/?-2d)33(0.040m-2xO.OO8m)(O.OO2m)

__________6xlQ3N

=93.8MPa<[cr]

(b-d)6(0.040m-0.008m)(0.002m)

第三章軸向拉壓變形

3-2—外徑。=60mm、內徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長/=400mm,兩端承受軸

向拉力尸=2（）0kN作用.若彈性模量E=80GPa,泊松比〃=0.30。試計算該桿外徑的改變量AO

及體積改變量

解：1。計算AO

由于

F,AD"

€=——，6=---=-UE=---

EADEA

故有

AC小/Q4//FD4X0.30X200X103X0.060

D=——=-----——T-=------------7：--------------；---------

EAEn（D2-d2）80x109x^x（0.0602-0.0202）

=一1.79x1（尸m=-0.0179inin

2o計算AV

變形后該桿的體積為

H=/W=（/+n）4（o+￡g）2-3+/"）2]=4（i+￡）（]+￡,）2av（]+￡+2E）

4

故有

\八F/z.r、200xl03x0.4003.八公、

AAlV/=V-Vv=v（￡+2f：）=—（1-2//）=--------------m（Z1-2ox0.3）

E80>d09

=4.00xl0-7m3=400mm3

3-4圖示螺栓，擰緊時產生A/：。。1Omm的軸向變形。已知：d\=8.0mm,4=6.8mm,

=7?0mm；/i=6.0mm,/2=29mm,/3=8mm；E=210GPa,[b]=500MPa.i式求預緊力凡并校

核螺栓的強度.

解：1。求預緊力尸

各段軸力數值上均等于尸，因此,

&=￡（乙+4+4

EAA24

由此得

nx210x109x0.10xl03

F_itEklN=lB65xl04N=18.65kN

二端+/+割().(X)6?().(X)8

0.00820.0068f0.0072,

2。校核螺栓的強度

F4F4xl8.65xlQ3N

==5.14xlOxPa=514MPa

Anin叫"0.00682n?

此值雖然超過［o］，但超過的百分數僅為2.6%,在5%以內，故仍符合強度要求。

3-5圖示桁架，在節點A處承受載荷尸作用。從試驗中測得桿1與桿2的縱向正應

變分別為￡i=4.0XI。-，與與二2。0X10'。已知桿1與桿2的橫截面面積A尸A2=200mnF,彈

性模量Ei=E2=20()GPa.試確定載荷廠及其方位角。之值.

解：1。求各桿軸力

9-4_<4

FNI=Flrl7\1=200xl0x4.0xl0x200xl0N=1.6xl0N=16kN

9463

f；2=E2^A2=200xl0x2.0xl0-x200xl0-N=8xl0N=8kN

2。確定產及夕之值

由節點A的平衡方程￡%=0和Z5，=。得

J

7^2sin3O+Rin〃一4]Sin3(T=0

FNICOS30+%2cos30-Feos夕=0

化簡后，成為

%-屎2=2fsin。(a)

及

ib)

V3(FNI+/^2)=2FCOS^

聯立求解方程(a)與(b),得

嬴:;Q=芯678；力=?！拱?/p>

由此得

8=10.89,b10.9"

公虢料二曝町N=2」2XON臼.2kN

3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷廠作用.已知板的厚度為反長度為/,左、右端的

寬度分別為仇與岳，彈性模量為反試計算板的軸向變形。

題3—6圖

解:對?于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為

△/=F<Lv=F<Lv

由圖可知，若自左向右取坐標工，則該截面的寬度為

伙加4+婦&

代入式(a),于是得

?或電一*)仄

3-7圖示桿件，長為/,橫截面面積為A,材料密度為小，彈性模量為￡試求自重

下桿端截面8的位移.

題3-7圖

解：自截面6向上取坐標），，），處的軸力為

入=刖\'

該處微段d.y的軸向變形為

于是得截面8的位移為

%二哥'y二霎由

3—8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷凡并由作用于地樁的摩擦力

所支持。設沿地樁單位長度的摩擦力為衣且/二心七式中人為常數。已知地樁的橫截面面積為

A,彈性模量為其埋入土中的長度為試求地樁的縮短量b.

題3—8圖

解：1.軸力分析

摩擦力的合力為

耳=/網二/論=與

根據地樁的軸向平衡,

—=F

3

由此得

截面），處的軸力為

3

2.地樁縮短量計算

截面），處微段心，的縮短量為

"dy

d3=

EA

積分得

將式（a）代入上式,于是得

Fl

6=

TEA

3—9圖示剛性橫梁AB,由鋼絲繩并經無摩擦滑輪所支持.設鋼絲繩的軸向剛度（即

產生單位軸向變形所需之力）為試求當載荷*/作用時端點B的鉛垂位移。

題3-9圖

解?：載荷/作用后，剛性梁AA傾斜如圖（見圖3—9"設鋼絲繩中的軸力為《，其總伸

長為A/。

圖3—9

以剛性梁為研究對象，由平衡方程工時八二。得

F^a+鳳(a+b)=F(2a+b)

由此得

鳳=尸

由圖3?9可以看出,

Av=O(2a+b)

A/=4、+4、=Oci+0(a+b)=6(2a+b)

可見，

4=△/(b)

根據Z的定義，有

產N=kM=kA

于是得

k

3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA,試計算節點A的水平與鉛垂

位移.

(a)

題3—10圖

（a）解:

利用截面法，求得各行的軸力分別為

入1=入2=尸（拉力）

FN4=V2F(壓力)

尸N3=°

于是得各桿的變形分別為

A/=A/,=—（伸玲

t-EA

M=”產卷（伸長）

EAEA

A/3=0

如圖3—10（1）所示，根據變形M與確定節點B的新位置=，然后，過該點作長為

13的垂線，并過其下端點作水平直線,與過4點的鉛垂線相交于/V,此即結構變形后節點A

的新位置.

于是可以看出，節點4的水平與鉛垂位移分別為

%=。

=A/l+6*4+似2=急+6魯+急=2(1+收嚕

(b)解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為

%i=F（拉力）

尺2=°

于是由圖3—10(2)可以看出，節點八的水平與鉛垂位移分別為

AIFI

44u=AA=—

EA

A】Fl

%A=你=說

3-11圖示桁架ABC,在節點B承受集中載荷/作用。桿1與桿2的彈性模量均為

￡橫截面面積分別為4=320mm2與AZ=2580mm2。試問在節點8和。的位置保持不變的條件

下，為使節點B的鉛垂位移最小,0應取何值(即確定節點A的最佳位置)。

解：1。求各桿軸力

由圖3/la得

PF

/\2=Fctar/7

A

圖3—11

2。求變形和位移

由圖3—11b得

A/^2FlF/F/ctan^

1=2△/N222

3￡4倒1292E4,隊

MMFl,2,ctan%

ARX=--+-=-=—=(----------------+---------)

sin。tan。EAsin2/in。A2

3.求。的最佳值

由山坊/此=0,得

-2(2cos2/ine+cos/in2()_2ctanO?csc%_0

A}sin匕&畝均A2

由此得

24cos%(l-3cos%)=0

將A與4的已知數據代入并化簡，得

COS3/9+12.()9375COS2<9-4.()3125=0

解此三次方程，舍去增根，得

co的=0564967

由此得。的最佳值為

“556

3-12圖示桁架，承受載荷尸作用。設各桿的長度為/,橫截面面積均為A,材料

的應力應變關系為"=〃￡,其中〃與B為由試驗測定的已知常數。試求節點C的鉛垂位移。

題3—12圖

解：兩桿的軸力均為

心二丁仁

zcosa

軸向變形則均為

A/=d=—/=I------------------

Bk2Acosor7B

于是得節點C的鉛垂位移為

A彳=--△--/--=--------F--"-l-----——

r'cosa2"A“6cos”+%

3—13圖示結構，梁4。為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。

在梁的中點C承受集中載荷尸作用。已知載荷廣=20kN,各桿的橫截面面積均為A=100mn?,

彈性模量E=200GPa,梁長/=1000mm。試計算該點的水平與鉛垂位移。

題3—13圖

解：1.求各桿軸力

由工工.=0,得

FN2=°

由ZFV=。，得

%=%<=10kN

2.求各桿變形

A/2=0

F"10xl03xl.000-4c—

AAZL=—=--------------------------in=5.0x1in0ni=0.50mm=AAZ/,

EA200X109X100X10-6

3.求中點C的位移

由圖3—13易知，

Ax=A7]=0.50mm(—>),Jv=A/)=0.50mm(J)

3—14圖a所示桁架，承受載荷尸作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為￡4,試求

節點B與C間的相對位移4取>

GG

(a)(b)

題3—14圖

解：[。內力與變形分析

利用截面法，求得各衿的軸力分別為

五用=%2=/3=/4=%(拉力)

（壓力）

FN5=F

于是得各桿得變形分別為

A/j=△/,=垃3=M="（伸長）

72EA

F-41141Fl/分而

MA/=—=-^-（縮短）

EAEA

2.位移分析

如圖b所示，過"與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節點C的鉛垂線相交于e

與從然后，在加與g〃延長線取線段與A/2,并在其端點機與〃分別作垂線，得交點C'，

即為節點C的新位置.

可以看出,

5=2?+/C）=2（與+后用卜2（碧（2+衣）日

+

EA

3-15如圖所示桁架，設各桿各截面的拉壓剛度均為EA,試用能量法求載荷作用點

沿載荷作用方向的位移。

題3-15圖

（a）解?:各桿編號示如圖3-15a,各桿軸力依次為

rV2rrrV2rG1

^N1&2=^F,鳳3=5

該桁架的應變能為

匕?努=加產爭⑶產人署吟n

J

最后得

.且■（邁±1）=（2.+1）R（f

F2EA44EA

（b）解：各桿編號示如圖b

列表計算如下：

i小L扁

1F1F2l

2010

3F1F2l

4F/F-l

5-V2F揚2V2F2/

z(3+2A/2)F2Z

6,4(3+2后)尸/

2EA~2EA

依據能量守恒定律，

國=17

2￡

可得

-=（3+2后）同

EA

3-16圖示桁架，承受載荷廠作用。設各桿各截面的拉壓剛