不等式、推理與證明第七章第5講直接證明與間接證明【考綱導學】1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點．2．了解反證法的思考過程和特點．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷1推理論證要證明的結論充分條件2．間接證明反證法：假設原命題________(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出______，因此說明假設錯誤，從而證明____________的證明方法．不成立矛盾原命題成立1．用反證法證明命題：“設a，b為實數，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是(

)A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實數C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根【答案】A【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A．【答案】D【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.故選D．【答案】B【解析】∵a<b<0，∴a－b<0.∴a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0.∴a2>ab>b2.故選B．4．(2016年煙臺一模)用反證法證明命題：“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設(

)A．三個內角都不大于60°B．三個內角都大于60°C．三個內角至多有一個大于60°D．三個內角至多有兩個大于60°【答案】B5．(教材習題改編)在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，則△ABC的形狀為________．【答案】等邊三角形1．用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立．2．利用反證法證明數學問題時，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√課堂考點突破2分析法【規律方法】分析法是逆向思維，當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中需要用到的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導時，常考慮用分析法．注意用分析法證題時，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵．【跟蹤訓練】1．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.【證明】要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0.從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.綜合法【考向分析】綜合法證明問題是歷年高考的熱點問題，也是必考問題之一．通常在解答題中出現．常見的命題角度有：(1)立體幾何證明題；(2)數列證明題；(3)與函數、方程、不等式結合的證明題．

如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【證明】(1)因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.立體幾何證明題

(2014年江蘇節選)設數列{an}的前n項和為Sn.若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，則稱{an}是“H數列”．(1)若數列{an}的前n項和Sn＝2n(n∈N*)，求證：{an}是“H數列”；(2)求證：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．【證明】(1)由已知，當n≥1時，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是對任意的正整數n，總存在正整數m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H數列”．數列證明題與函數、方程、不等式結合的證明題【規律方法】用綜合法證題是從已知條件出發，逐步推向結論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題，如證明函數的單調性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型．在使用綜合法證明時，易出現的錯誤是因果關系不明確，邏輯表達混亂．反證法【規律方法】(1)當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現時，可用反證法來證，反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等．(2)用反證法證明不等式要把握三點：①必須否定結論；②必須從否定結論進行推理；③推導出的矛盾必須是明顯的．課后感悟提升31種關系——綜合法與分析法的關系分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關系，找到解題思路，再運用綜合法證明或兩種方法交叉使用．2個注意點——利用分析法和反證法應注意的問題(1)用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等，分析到一個明顯成立的結論．(2)利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．3個關鍵點——反證法證明的關鍵點(1)準確反設．(2)從否定的結論正確推理．(3)得出矛盾．1．(2015年廣東)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中的元素個數，則card(E)＋card(F)＝(

)A．50

B．100

C．150

D．200【答案】D【解析】當s＝4時，p，q，r都是取0,1,2,3中的一個，有4×4×4＝64種；當s＝3時，p，q，r都是取0,1,2中的一個，有3×3×3＝27種；當s＝2時，p，q，r都是取0,1中的一個，有2×2×2＝8種；當s＝1時，p，q，r都取0，有1種．所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.當t＝0時，u取1,2,3,4中的一個，有4種；當t＝1時，u取2,3,4中的一個，有3種；當t＝2時，u取