數(shù)學參考答案1.D【解析】本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).由正弦定理得解得2.C【解析】本題考查元素與集合的關(guān)系,考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因為A={2m十\3n|m∈Z,n∈N},所以\∈A,4∈A,—2十5\∈A,—1十2\呋A.3.A【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4.A【解析】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).因為—\5<0,所以要求f(兒)的單調(diào)遞增區(qū)間,只需求y=sin的單調(diào)遞減區(qū)間,令 十2kπ≤2兒十十2kπ,解得十kπ≤兒,所以f的單調(diào)遞增區(qū)間為5.C【解析】本題考查統(tǒng)計中的百分位數(shù),考查數(shù)據(jù)處理能力.因為60×75%=45,所以第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排列的第45項和第46項的平6.D【解析】本題考查正四棱臺中的平行直線、計數(shù)原理與古典概型,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)與空間想象能力.因為ADⅡBCⅡA1D1ⅡB1C1,ABⅡCDⅡA1B1ⅡC1D1,所以這2條棱互相平行的概率為7.B【解析】本題考查拋物線的標準方程與性質(zhì),考查數(shù)學建模與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).以該碗軸截面的對稱軸為y軸,拋物線的頂點為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖所示.設(shè)該拋物線的方程為兒2=2py(p>0)(兒,y的單位均為cm),點A的縱坐標為h(單位:cm),則A(5,h),B(13,h十10),所以解得故該拋物線的O2O28.C【解析】本題考查對數(shù)大小的比較與構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查邏輯推理與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).構(gòu)造函數(shù)f,則f/易證函數(shù)y=父ln父(父≥9)為增函數(shù),所以父ln父—(父十5)ln(父十5)<0(父≥9),所以f/(父)<0,所以f(9)>f(10)>f(11),即a>b>c.9.ACD【解析】本題考查函數(shù)的求值、定義域與性質(zhì),考查數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).f(\)=\×\=\,A正確.由父2—1≥0,得父∈(—∞,—1]U[1,十∞),D正確.因為f(—2)<0,所以f(父)的最小值不是0,B錯誤.因為f(—父)=—父\父2—1=—f(父),所以f(父)是奇函數(shù),C正確.10.BCD【解析】本題考查雙曲線與橢圓的定義,考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).由得或所以曲線C由雙曲線EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(父),4)2—=1與雙曲線=1組成,這兩條雙曲線的實軸長相等,虛軸長不相等,A錯誤.A(—3,0),B(3,0)是雙曲線的兩個焦點,所以存在無數(shù)個點P,使得|PA|—|PB|=2a=4,B正確.M(4,0),N(—4,0)是雙曲線的兩個焦點,所以AY-2-2-2-2存在無數(shù)個點P,使得|PM|—|PN|=—2a=—4,C正確.因為|PE|十|PF|=4\>|EF|,所以滿足|PE|十|PF|=4\的點P的軌跡是以E,F為焦點,4\為長軸長的橢圓,由圖可知,該橢圓與曲線C共有8個交點,故存在8個點P,使得|PE|十|PF|=4\,D正確.11.BC【解析】本題考查四面體的體積、二面角以及翻折問題,考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng).因為△PAB∞△PBC,PA丄AB,所以PB丄BC,又AB丄BC,AB∩PB=B,所以BC丄平面PAB.因為上APB=30。,AB=1,所以PA=\,PB=2,BC=2,所以四面體 PABC的體積為3×\×2×1×\=3,B正確.由 丄AB,AB∩BC=B,所以PA丄平面ABC,則PA丄AC,所以上BAC為二面角B-PA-C的平面角,因為丄BC,所以所以cos上錯誤.將側(cè)面PBC翻折至點C與平面PAB共面,如圖所示,過點A作AF1丄PC于點F1,過點C作CD1丄PA于點D1,則AE十EF的最小值為 AF1=APsin上APC=\sin60。=2,CE十DE的最小值為CD1 PC●sin上APC=4sin60。=2,A錯誤,C正確.\3PAABC12.3\【解析】本題考查圓的方程與兩點間的距離,考查直觀想象的核心素養(yǎng).圓C的圓心為C(3,—\),半徑為\,因為|OC|=\9十3=2\,所以|PO|的最大值為|OC|十\=3\.13.32【解析】本題考查平面向量的實際應(yīng)用,考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng)設(shè)作用在點O處的兩個向上的拉力分別為F1,F2,向下的拉力為F3,依題意得|F1|=|F2|=4,|F3|=7,且F1十F2十F3=0,則F1十F2=—F3,所以(F1十F2)2=(—F3)2,則42十2×42cos上AOB十42=72,解得cos上AOB=3214.4【解析】本題考查三角恒等變換,考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).整理得t4十4t3—6t2—4t十1=0,故a=4.15.解:(1)f/(父)=1十ln父—a,………………2分依題意可得分解得a=1.…………………5分(2)f(父)的定義域為(0,十∞).……………6分 即b≤ln父—1十對父∈(0,十∞)恒成立.………………8分令<0,得0<父在上單調(diào)遞減;令gI(父)>0,得父>,g(父)在,十∞)上單調(diào)遞增.………………11分 所以……………12分 則b≤—1,即b的取值范圍是(—∞,—1].………………13分16.(1)證明:因為AC為直徑,B是上底面圓周上異于A,C的一點,所以AB丄BC.……1分 因為BB1為該圓柱的母線,所以BB1丄平面ABC,所以BB1丄AB.…2分 又BB1∩BC=B,…………3分 所以AB丄平面BCC1B1.…………………4分因為AB∈平面ABB1,所以平面ABB1丄平面BCC1B1.………………5分—→—→—→(2)解:設(shè)點A在圓柱下底面的射影為A1,連接A1B1.以B1為坐標原點,B1A1,B1C1,B1B的方向分別為父,y,義軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示.—→—→—→因為AC=2,上ACB=30。,所以AB=1,BC=\,……7分,0),A(1,0,3),C(0,\,3),C1(0,\,0),………………9分…………10分→設(shè)平面AB1C的法向量為m=(父,y,義),則m.AC=m→BBACACciciy取義=—1,得m=(3,\,—1).…………12分 得AC1與平面AB1C所成角的正弦值為13.…………… 共有5個,則d3=5.………………………2分(2)證明:在區(qū)間(1,2n十1十3)內(nèi)的偶數(shù)為2,4,…,2n十1,2n十1十2,………3分則十1=2n十1.……………5分因為……………………6分所以{cn—1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.…………7分(3)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為分所以an=5十2(n—1)=2n十3,……………9分所以十1=n十1.…………10分由(2)知,sn=2×2十3×22十…十(n十1)×2n,則2sn=2×22十3×23十…十(n十1)×2n十1,……………11分所以—sn=4十(22十23十…十2n)—(n十1)×2n十1……12分 ×2n十1=—n×2n十1,……………14分故sn=n×2n十1.……………15分18.(1)解:設(shè)每次游戲A的得分為X,B的得分為Y,則X的分布列為X53P(1—兒)(1—y)………………2分所以E(X)=5兒y—7兒(1—y)—(1—兒)y十3(1—兒)(1—y)=16兒y—10兒—4y十3,…………………4分所以E(Y)=—E(X)=—16兒y十10兒十4y—3.…………6分解:當兒的分布列為Y71P 6 3 6 3………………7分當B第一次得7分時,第二次不管得幾分,B的總得分均為正數(shù);當B第一次得—5分或—3分時,第二次只能得7分;當B第一次得1分時,第二次只能得1分或7分.………9分故經(jīng)過兩次游戲后,B的總得分為正數(shù)的概率為十十…………………………11分(3)證明:記E(X)=f(兒)=(16y—10)兒—4y十3(0≤兒≤1且兒≠.當=—4y十分[0,時,16y—10<0,f(父)單調(diào)遞減,…………13分則A可取父=0,使得E=—4y十分時,16y—10>0,f(父)單調(diào)遞增,…………15分則A可取父=1,使得分 綜上,不論y取何值,A總能通過調(diào)整父的值,使得每次游戲A得分的期望不小于2 …………………………17分19.(1)解:因為=,所以=,可得a2=9b2.…………………1分又因為點在該橢圓上,所以十解得b2=1,所以a2=9,………3分故該橢圓的方程為十y2=1.……………4分(2)解:設(shè)A(父1,y1),B(父2,y2),則AB的中點因為△ABE的重心是坐標原點O,所以可得父1十父2=1十的中點………6分EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1) EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1) EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)9十(y1十y2)(y1—y2)=0,EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up3(2),2)即十可得分所以直線AB的方程為即2父十9=0……………9分(3)證明:設(shè)C(m,n).當直線AB的斜率不存在時,易得C(3,0),直線AB的方程為父或C(—3,0),直線AB的方程為父=.將父=±代入橢圓的方程,可得所以△ABC的面積…………11分當直線AB的斜率存在時,設(shè)A(父1,