2.1.1合情推理(1)2.1合情推理與演繹推理推理是根據(jù)一種或幾個已知的判斷來擬定一種新的判斷的思維過程。推理普通由兩部分構(gòu)成：前提和結(jié)論情景創(chuàng)設(shè)1：世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一四色猜想問題：四色問題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使含有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數(shù)學(xué)語言表達，即“將平面任意地細分為不相重疊的區(qū)域，每一種區(qū)域總能夠用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相似的數(shù)字。””情景創(chuàng)設(shè)1：世界近代三大數(shù)學(xué)難題之二費馬大定理：當(dāng)整數(shù)n>2時，有關(guān)x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n.無正整數(shù)解。出名猜想哥德巴赫，德國數(shù)學(xué)家。1742年6月7日，他在寫給出名數(shù)學(xué)家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：一、任何不不大于6的偶數(shù)，都是兩個奇質(zhì)數(shù)之和：二、任何不不大于9的奇數(shù)，都是3個奇質(zhì)數(shù)之和。這就是數(shù)學(xué)史上出名的“哥德巴赫猜想”。據(jù)說歌德巴赫無意中觀察到:3+7=10,3+17=20,13+17=30他故意把上面的式子改成:10=3+7,20=3+17,20=13+17其中反映出這樣一種規(guī)律:偶數(shù)=奇質(zhì)數(shù)+奇質(zhì)數(shù)12=5+714=7+716=5+11……1000=29+9711002=139+863……歌德巴赫大膽的猜想:任何一種不不大于6的偶數(shù)都等于奇質(zhì)數(shù)的和這種由某類事物的部分對象含有某些特性,推出該類事物的全部對象都含有這些特性的推理,或者由個別事實概括出普通結(jié)論的推理,稱為歸納推理.歸納推理是由…...到…..,由…...到…....例如:由銅\鐵\金等金屬能導(dǎo)電,歸納出:一切金屬都能導(dǎo)電.由直角三角形\等腰三角形\等邊三角形的內(nèi)角和為180度,歸納出:三角形的內(nèi)角和為180度.你還能舉某些歸納推理的例子嗎?一.歸納推理部分整體個別普通應(yīng)用歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論。（但要注意，結(jié)論可能為真，也可能為假。）例題1:觀察下列的等式,你有什么猜想嗎?1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52……由此猜想:前n個持續(xù)的奇數(shù)的和等于n的平方,即:1+3+5+…+(2n-1)=n2

例2:已知數(shù)列{an}的第1項a1=1，且（n=1,2,…),試歸納出這個數(shù)列的通項公式.分別把n=2,3,4代入得:觀察可得：數(shù)列的前4項都等于對應(yīng)項數(shù)的倒數(shù)。可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想是對的的.由此猜想（歸納）這個數(shù)列的通項公式為：小結(jié)：歸納推理的普通環(huán)節(jié):(1)通過觀察特例發(fā)現(xiàn)特例的某些共性;(2)把這種共性推廣為一種明確體現(xiàn)的普通性命題(猜想).（理科）練習(xí)P7712概括、推廣猜測一般性結(jié)論實驗、觀察（文科）練習(xí)P30121.從一種傳說說起：春秋時代魯國的魯班，一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁晦氣事卻使他發(fā)明了鋸子.他的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也能夠是齒形的.這個推理過程是歸納推理嗎？情景創(chuàng)設(shè)2：火星地球相似點:繞太陽運轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)、有大氣層、有季節(jié)變換、大部分時間的溫度適合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命上述推理是如何的一種過程呢？猜想3.仿照魚類的外型和它們在水中沉浮的原理,發(fā)明了潛水艇.2.定義：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相似，推表演它們在其它方面也相似或相似,像這樣的推理普通稱為類比推理.(簡稱：類比)二.類比推理發(fā)明行星三大運動定律的開普勒曾說類比推理是「自然奧妙的參加者」和自己「最佳的老師」數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一種偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．（2）從運算的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即解：（1）兩個實數(shù)通過加法運算或乘法運算后，所得的成果仍然是一種實數(shù)。a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)例3:類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)（3）從逆運算的角度考慮，加法和乘法都有逆運算，加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法。方程a＋x=0ax=1(a≠0）解a=－x（4）在加法中，任意實數(shù)與0相加都不變化大小；任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即a+0=a我們要根據(jù)實際狀況選擇適宜的類比對象．如：平面空間正方形正方體圓球三角形三棱錐例4：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì).等式不等式(1)a=ba+c=b+ca>ba+c>b+c(2)a=bac=bca>bac>bca>ba2>b2(3)a=ba2=b2等等解：等式與不等式有不少相似的屬性，例如：問：這樣猜想出的結(jié)論與否一定對的？猜想猜想猜想數(shù)學(xué)應(yīng)用：觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論類比推理的普通環(huán)節(jié):⑴找出兩類對象之間能夠確切表述的相似特性；⑵用一類對象的已知特性去推測另一類對象的特性，從而得出一種猜想；即歸納推理：歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的普通現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范疇，是從特殊到普通得命題的猜想，與否對的是需要證明的。類比推理：類比就是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相似或相似點之后，推測在其它方面也能夠存在相似或相似之處的一種推理模式，類比推理與否對的是需要證明的。實驗、觀察概括、推廣猜想普通性結(jié)論觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新的結(jié)論對比概括、推廣聯(lián)想、類推合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，通過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中，得到一種新結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能協(xié)助我們猜想和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。證明一種數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能為我們提供證明的思路和方向由平面內(nèi)的圓，我們聯(lián)想到空間里的球，讓他們來類比．你能找到他們有哪些類似的特性？例5:試將平面上的圓與空間的球進行類比.解：圓與球在它們的的生成、形狀、定義等方面都含有相似的屬性.據(jù)此，圓與球的有關(guān)元素之間可建立以下的對應(yīng)關(guān)系：圓弦直徑周長面積球截面圓大圓表面積體積等等，于是根據(jù)圓的性質(zhì)，能夠猜想球的性質(zhì)以下表：圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過