黑龍江省雞西市一中2025年高三3月質量檢測試題試數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知復數（為虛數單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復數在復平面內對應的點位于第三象限C．的共軛復數 D．4．設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．5．已知集合,，則A． B．C． D．6．設，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．設為定義在上的奇函數，當時，(為常數)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．平行四邊形中，已知，，點、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．9．某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A．各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B．全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C．全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D．從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢10．函數（其中，，）的圖象如圖，則此函數表達式為（）A． B．C． D．11．已知角的終邊經過點,則A． B．C． D．12．在滿足，的實數對中，使得成立的正整數的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國著名的數學家秦九韶在《數書九章》提出了“三斜求積術”．他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜．三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個數，相減后余數被4除，所得的數作為“實”，1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”、“隅”指的是在方程中，p為“隅”，q為“實”．即若的大斜、中斜、小斜分別為a，b，c，則.已知點D是邊AB上一點，，，，，則的面積為________．14．已知函數恰好有3個不同的零點，則實數的取值范圍為____15．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．16．設是定義在上的函數，且，對任意，若經過點的一次函數與軸的交點為，且互不相等，則稱為關于函數的平均數，記為.當_________時，為的幾何平均數.（只需寫出一個符合要求的函數即可）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”為假命題，求的取值范圍.18．（12分）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．（1）求的值；（2）動點在拋物線的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．19．（12分）已知函數（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數，并說明理由.20．（12分）已知函數的定義域為，且滿足，當時，有，且.（1）求不等式的解集；（2）對任意，恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在本題中，我們把具體如下性質的函數叫做區間上的閉函數：①的定義域和值域都是；②在上是增函數或者減函數.（1）若在區間上是閉函數，求常數的值；（2）找出所有形如的函數（都是常數），使其在區間上是閉函數.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用復數模的計算、復數的除法化簡復數，再根據復數的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數模的計算、復數的除法、復數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.2．D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.3．D【解析】

利用的周期性先將復數化簡為即可得到答案.【詳解】因為，，，所以的周期為4，故，故的虛部為2，A錯誤；在復平面內對應的點為，在第二象限，B錯誤；的共軛復數為，C錯誤；，D正確.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，涉及到復數的虛部、共軛復數、復數的幾何意義、復數的模等知識，是一道基礎題.4．A【解析】

由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率．【詳解】由題意∵，∴由雙曲線定義得，從而得，，在中，由余弦定理得，化簡得．故選：A．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式．5．D【解析】

因為,,所以,,故選D．6．C【解析】

設過點作圓的切線的切點為，根據切線的性質可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質、雙曲線定義、圓的切線性質，意在考查直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，屬于中檔題.7．D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數結合增函數+增函數=增函數，可知在上單調遞增，注意到，再利用函數單調性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數.所以，解得，所以當時，，且時，單調遞增，所以在上單調遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性、單調性解不等式，考查學生對函數性質的靈活運用能力，是一道中檔題.8．C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將用向量和表示是關鍵，是基礎題.9．D【解析】

根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知：在A中，各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關，故A正確；在B中，全年中，2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大，故B正確；在C中，全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5個，故C正確；在D中，從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值，先上升后下降，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力.10．B【解析】

由圖象的頂點坐標求出，由周期求出，通過圖象經過點，求出，從而得出函數解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點應對應正弦曲線中的點，所以，解得，故函數表達式為．故選：B.【點睛】本題主要考查三角函數圖象及性質，三角函數的解析式等基礎知識；考查考生的化歸與轉化思想，數形結合思想，屬于基礎題.11．D【解析】因為角的終邊經過點,所以,則,即.故選D．12．A【解析】

由題可知：，且可得，構造函數求導，通過導函數求出的單調性，結合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因為，則，即整理得，令，設，則，令,則，令，則，故在上單調遞增，在上單調遞減，則，因為，，由題可知：時，則，所以，所以，當無限接近時，滿足條件，所以，所以要使得故當時，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點睛】本題主要考查利用導數求函數單調性、極值和最值，以及運用構造函數法和放縮法，同時考查轉化思想和解題能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術”公式即可求得答案.【詳解】，所以，由余弦定理可知，得.根據“三斜求積術”可得，所以.【點睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數的基本關系式,余弦定理的應用,考查學生分析問題的能力和計算整理能力,難度較易.14．【解析】

恰好有3個不同的零點恰有三個根，然后轉化成求函數值域即可.【詳解】解：恰好有3個不同的零點恰有三個根，令，，在遞增；，遞減，遞增，時，在有一個零點，在有2個零點；故答案為：.【點睛】已知函數的零點個數求參數的取值范圍是重點也是難點，這類題一般用分離參數的方法，中檔題.15．【解析】由已知，即，取雙曲線頂點及漸近線，則頂點到該漸近線的距離為，由題可知，所以，則所求雙曲線方程為.16．【解析】

由定義可知三點共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據題意，由定義可知：三點共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點睛】本題考查了兩點的斜率公式，考查了推理能力，考查了運算能力.本題關鍵是分析出三點共線.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1））當時，將函數寫成分段函數，即可求得不等式的解集.（2）根據原命題是假命題，這命題的否定為真命題，即“，”為真命題，只需滿足即可.【詳解】解：（1）當時，由，得.故不等式的解集為.（2）因為“，”為假命題，所以“，”為真命題，所以.因為，所以，則，所以，即，解得，即的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，以及絕對值三角不等式，屬于基礎題.18．（1）；（2）點在定直線上．【解析】

（1）設出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；（2）設出，運用導數求得切線的斜率，求得為切點的切線方程，再由向量的坐標表示，可得在定直線上；【詳解】解：（1）依題意設直線的方程為，由已知得：圓的圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以；（2）依題意設，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設，則以為切點的切線的斜率為，所以切線的方程為．令，，即交軸于點坐標為，所以，，，．設點坐標為，則，所以點在定直線上．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質，直線與圓的位置關系的判斷，考查直線方程和圓方程的運用，以及切線方程的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于綜合題．19．（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關系，求函數導數，要求函數有兩個極值點，只需在內有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據函數圖象和極值的大小判斷零點的個數.試題解析：（Ⅰ）根據題意：令，可得，所以，經驗證，可得當時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當時，，即，所以在上單調遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，所以最多只有三個不同的零點．又因為，所以在上遞增，即時，恒成立．根據（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個不同的零點：，1，．綜上所述，恰有三個不同的零點．【點睛】利用賦值法求出關系，利用函數導數，研究函數的單調性，要求函數有兩個極值點，只需在內有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數的導數研究函數的單調性、極值，再根據函數圖象和極值的大小判斷零點的個數是近年高考壓軸題的熱點.20．（1）；（2）.【解析】

（1）利用定義法求出函數在上單調遞增，由和，求出，求出，運用單調性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上單調遞增，恒成立，設，利用三角恒等變換化簡，結合恒成立的條件，構造新函數，利用單調性和最值，求出實數的取值范圍.【詳解】（1）設，，所以函數在上單調遞增，又因為和，則，所以得解得，即，故的取值范圍為；（2）由于恒成立，恒成立，設，則，令，則，所以在區間上單調遞增，所以，根據條件，只要，所以.【點睛】本題考查利用定義法求函數的單調性和利用單調性求不等式的解集，考查不等式恒成立問題，還運用降冪公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式，考查轉化思想和解題能力.21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）過點作交于，連接，設，連接，由角平分線的性質，正