河南省豫北重點中學2025年高三3月教學質量監測聯考數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．2．集合,則集合的真子集的個數是A．1個 B．3個 C．4個 D．7個3．在中，內角所對的邊分別為，若依次成等差數列，則（）A．依次成等差數列 B．依次成等差數列C．依次成等差數列 D．依次成等差數列4．已知，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．5．已知函數的最小正周期為，且滿足，則要得到函數的圖像，可將函數的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度6．一小商販準備用元錢在一批發市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件7．已知實數，則的大小關系是()A． B． C． D．8．等比數列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．9．已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實數的值為（）A． B． C．或 D．10．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．11．在中，角所對的邊分別為，已知，．當變化時，若存在最大值，則正數的取值范圍為A． B． C． D．12．已知命題：，，則為()A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數a的值為_______．14．在中，內角的對邊長分別為，已知，且，則_________．15．如圖所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四邊形BCC1B1為正方形，且AB＝BC＝2，則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____．16．已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（I）若討論的單調性；（Ⅱ）若，且對于函數的圖象上兩點，存在，使得函數的圖象在處的切線.求證：.18．（12分）已知點，且，滿足條件的點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點的直線，直線與曲線相交于兩點，直線與軸分別交于兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．19．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數學教師為了調查高三學生數學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數學平均成績不足120分的占，統計成績后得到如下列聯表：分數不少于120分分數不足120分合計線上學習時間不少于5小時419線上學習時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數不少于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）21．（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發生損壞時，需要送維修處維修．工廠規定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數，具體數據如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數．（Ⅰ）求X的分布列與數學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）22．（10分）設函數，（）.（1）若曲線在點處的切線方程為，求實數a、m的值；（2）若對任意恒成立，求實數a的取值范圍；（3）關于x的方程能否有三個不同的實根？證明你的結論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先根據向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.2、B【解析】

由題意，結合集合，求得集合，得到集合中元素的個數，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個數為個，故選B．【點睛】本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數個數的求解，其中作出集合的運算，得到集合，再由真子集個數的公式作出計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．3、C【解析】

由等差數列的性質、同角三角函數的關系以及兩角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，從而可得結果.【詳解】依次成等差數列，，正弦定理得，由余弦定理得，，即依次成等差數列，故選C.【點睛】本題主要考查等差數列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．4、A【解析】

根據指數函數與對數函數的單調性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因為，所以.因為，所以，因為，為增函數，所以所以，故選：A.【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數的單調性，利用單調性比較大小，屬于中檔題.5、C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據三角函數的平移規則計算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點睛】本題考查三角函數的性質以及三角函數的變換規則，屬于基礎題.6、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數，數形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數的線性規劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數，是否是非負數，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.7、B【解析】

根據，利用指數函數對數函數的單調性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點睛】本題考查了指數函數對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．8、B【解析】

根據等比中項性質代入可得解，由等比數列項的性質確定值即可.【詳解】由等比數列中等比中項性質可知，，所以，而由等比數列性質可知奇數項符號相同，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等比數列中等比中項的簡單應用，注意項的符號特征，屬于基礎題.9、D【解析】

根據向量垂直則數量積為零，結合以及夾角的余弦值，即可求得參數值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，，解得（舍去）.故選：D.【點睛】本題考查向量數量積的應用，涉及由向量垂直求參數值，屬基礎題.10、B【解析】

由題意畫出圖形，設球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設球的半徑為，，，由，得．如圖：設三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側面積、體積，基本不等式等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．11、C【解析】

因為，，所以根據正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因為存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正數的取值范圍為，故選C．12、C【解析】

根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質是存同去異，側重考查數學運算的核心素養.14、4【解析】∵∴根據正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為415、【解析】

將平移到和相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作，過作，畫出圖像如下圖所示，由于四邊形是平行四邊形，故，所以是所求線線角或其補角.在三角形中，，故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.16、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質的應用,考查分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數求導，分別討論，以及，即可得出結果；(2)根據題意，由導數幾何意義得到，將證明轉化為證明即可，再令，設，用導數方法判斷出的單調性，進而可得出結論成立.【詳解】（1）解：易得，函數的定義域為，，令，得或.①當時，時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增.此時，的減區間為，增區間為.②當時，時，，函數單調遞減；或時，，函數單調遞增.此時，的減區間為，增區間為，.③當時，時，，函數單調遞增；此時，的減區間為.綜上，當時，的減區間為，增區間為：當時，的減區間為，增區間為.；當時，增區間為.（2）證明：由題意及導數的幾何意義，得由（1）中得.易知，導函數在上為增函數，所以，要證，只要證，即，即證.因為，不妨令，則.所以，所以在上為增函數，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，利用導數的方法研究函數的單調性以及函數極值等即可，屬于常考題型.18、（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到兩定點的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當直線的斜率存在時，設直線點斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯解，利用根的判別式得到關于的一元二次方程求解.【詳解】解：設，由，，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設存在過點的直線l符合題意．當直線的斜率不存在，設方程為，可得為短軸的兩個端點，不成立；當直線的斜率存在時，設方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內，可得直線與橢圓相交，，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或．【點睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關系問題.（1）定義法求軌跡方程的思路:應用定義法求軌跡方程的關鍵在于由已知條件推出關于動點的等量關系式，由等量關系結合曲線定義判斷是何種曲線，再設出標準方程，用待定系數法求解；（2）解決是否存在直線的問題時，可依據條件尋找適合條件的直線方程，聯立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.19、（1）存在；詳見解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出長，寫出各點坐標，用向量法求二面角．【詳解】解：（1）當為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結.即易得所以面面，即面．（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角．線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉化、相互依存的．求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角．20、（1）填表見解析；有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”（2）①詳見解析②期望；方差【解析】

（1）完成列聯表，代入數據即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進而得到概率，列出分布列；根據分析知，計算出期望與方差.【詳解】（1）分數不少于120分分數不足120分合計線上學習時間不少于5小時15419線上學習時間不足5小時101626合計252045有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”.（2）①由分層抽樣知，需要從不足120分的學生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②從全校不少于120分的學生中隨機抽取1人，此人每周上線時間不少于5小時的概率為，設從全校不少于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數為，則，故，.【點睛】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差的計算問題，屬于基礎題.21、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，