黑龍江省哈爾濱市六中2025屆高考考前演練數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，中，點D在BC上，，將沿AD旋轉得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得2．設，是方程的兩個不等實數根，記（）.下列兩個命題（）①數列的任意一項都是正整數；②數列存在某一項是5的倍數.A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯誤3．等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，，，現將沿BD折起，則當直線AD與平面BCD所成角為時，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．5．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．6．命題：的否定為A． B．C． D．7．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．8．是虛數單位，復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A．2 B．3 C．3.5 D．410．根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為（）A． B． C． D．11．一個超級斐波那契數列是一列具有以下性質的正整數:從第三項起，每一項都等于前面所有項之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項為2，某一項為2020的超級斐波那契數列的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．612．是的（）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的各項均為正數，滿足，．，若是等比數列，數列的通項公式_______．14．已知向量，，若，則實數______.15．設P為有公共焦點的橢圓與雙曲線的一個交點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.16．隨著國力的發展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學生的體質與健康現狀，合理制定學校體育衛生工作發展規劃，某市進行了一次全市高中男生身高統計調查，數據顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數大約為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）函數，且恒成立.（1）求實數的集合；（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.（參考數據：）18．（12分）設，函數，其中為自然對數的底數.（1）設函數.①若，試判斷函數與的圖像在區間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設函數，試判斷函數是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數．（1）當時，求的單調區間．（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．20．（12分）已知函數．（1）若曲線在處的切線為，試求實數，的值；（2）當時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數m的取值范圍．21．（12分）已知是等差數列，滿足，，數列滿足，，且是等比數列.（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和.22．（10分）已知函數．（1）討論的單調性并指出相應單調區間；（2）若，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點作交于點，過作的垂線，垂足為，則易得，．設，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關系，考查三角函數的圖象和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．2．A【解析】

利用韋達定理可得,,結合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數列中的各項,以此判斷②的正誤.【詳解】因為,是方程的兩個不等實數根,所以,,因為,所以,即當時,數列中的任一項都等于其前兩項之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數列的任意一項都是正整數,故①正確;若數列存在某一項是5的倍數,則此項個位數字應當為0或5,由,,依次計算可知,數列中各項的個位數字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數列中不存在個位數字為0或5的項,故②錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數列遞推公式的推導,考查數列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.3．A【解析】

設E為BD中點，連接AE、CE，過A作于點O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據題中條件求得相應的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進而求得其正弦值，得到結果.【詳解】設E為BD中點，連接AE、CE，由題可知，，所以平面，過A作于點O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點O與點C重合，此時有平面，過C作與點F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，，故選：A.【點睛】該題考查的是有關平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.4．C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.5．C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.6．C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結論否定，可知命題的否定為，故選C．7．A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.8．D【解析】

求出復數在復平面內對應的點的坐標，即可得出結論.【詳解】復數在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.9．C【解析】

根據表中數據，即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知，種子發芽天數的中位數為，故選：C.【點睛】本題考查中位數的計算，屬基礎題.10．A【解析】

每個縣區至少派一位專家，基本事件總數，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家基本事件總數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.11．A【解析】

根據定義，表示出數列的通項并等于2020.結合的正整數性質即可確定解的個數.【詳解】由題意可知首項為2，設第二項為，則第三項為，第四項為，第五項為第n項為且，則，因為，當的值可以為；即有3個這種超級斐波那契數列，故選：A.【點睛】本題考查了數列新定義的應用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準確，屬于中檔題.12．B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系，即可得出。【詳解】設對應的集合是，由解得且對應的集合是，所以，故是的必要不充分條件，故選B。【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關系法。設，如果，則是的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用遞推關系，等比數列的通項公式即可求得結果.【詳解】因為，所以，因為是等比數列，所以數列的公比為1．又，所以當時，有．這說明在已知條件下，可以得到唯一的等比數列，所以，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有根據遞推公式求數列的通項公式，屬于簡單題目.14．-2【解析】

根據向量坐標運算可求得，根據平行關系可構造方程求得結果.【詳解】由題意得：，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查向量的坐標運算，關鍵是能夠利用平行關系構造出方程.15．【解析】設根據橢圓的幾何性質可得,根據雙曲線的幾何性質可得，,即故答案為16．3000【解析】

根據正態曲線的對稱性求出，進而可求出身高高于的高中男生人數.【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數大約為.故答案為：.【點睛】本題考查正態曲線的對稱性的應用，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）2個，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點個數轉化為方程實數解的個數問題，然后構造函數，再利用導數討論此函數零點的個數.【詳解】（1）的定義域為，因為，1°當時，在上單調遞減，時，使得，與條件矛盾；2°當時，由，得；由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時，，要使恒成立，故.（2）原問題轉化為方程實根個數問題，當時，圖象與圖象有且僅有2個交點，理由如下：由，即，令，因為，所以是的一根；，1°當時，，所以在上單調遞減，，即在上無實根；2°當時，，則在上單調遞遞增，又，所以在上有唯一實根，且滿足，①當時，在上單調遞減，此時在上無實根；②當時，在上單調遞增，，故在上有唯一實根.3°當時，由（1）知，在上單調遞增，所以，故，所以在上無實根.綜合1°，2°，3°，故有兩個實根，即圖象與圖象有且僅有2個交點.【點睛】此題考查不等式恒成立問題、函數與方程的轉化思想，考查導數的運用，屬于較難題.18．（1）①函數與的圖象在區間上有交點；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結合函數零點的判定定理判斷即可；②設切點橫坐標為，求出切線方程，得到，根據函數的單調性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當時，函數，令，，則，，故，又函數在區間上的圖象是不間斷曲線，故函數在區間上有零點，故函數與的圖象在區間上有交點；②證明：假設存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數在和上單調遞增，又函數在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當時，遞減，故當時，，遞增，當時，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時，則在遞減，在，遞增，①當時，，故在遞減，可得當時，，當時，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時，，故在，內存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時，，遞增，不合題意；③當時，，當，時，，遞減，當時，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實數的范圍是且．【點睛】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題．19．（1）單調遞增區間為，；單調遞減區間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調區間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結合的范圍可證得結論.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，當時，，，當和時，；當時，，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.（2），所以（當且僅當，即時取等號），切線的斜率存在最小值，，解得：，，即切點為，從而切線方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到利用導數求解函數的單調區間、導數幾何意義的應用、利用導數證明不等式等知識；本題中證明不等式的關鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉變為一元二次方程根的分布問題.20．（1）；（2）．【解析】

（1）根據題意，求得的值，根據切點在切線上以及斜率等于，構造方程組求得的值；（2）函數有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導數，判斷單調性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯立可得．（2）當時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數，，故．【點睛】該題考查的是有關導數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義