高等數學教學設計——導數?一、教學目標1.知識與技能目標理解導數的概念，掌握導數的定義式及其幾何意義。能夠運用導數的定義求一些簡單函數的導數。了解導數與切線斜率的關系，會求曲線在某點處的切線方程。2.過程與方法目標通過對實際問題的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，體會導數的思想。在導數概念的形成過程中，培養學生觀察、分析、歸納和概括的能力。通過利用導數求切線方程，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。3.情感態度與價值觀目標感受數學與生活的緊密聯系，體會數學在解決實際問題中的作用，激發學生學習數學的興趣。在探究導數概念的過程中，培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生學習數學的自信心。二、教學重難點1.教學重點導數的概念和幾何意義。用導數的定義求函數的導數。2.教學難點對導數概念中極限思想的理解。從平均變化率過渡到瞬時變化率，進而理解導數的概念。三、教學方法講授法、討論法、探究法相結合，通過實際問題引入，引導學生自主探究導數的概念，借助圖形直觀理解導數的幾何意義，再通過例題和練習鞏固所學知識。四、教學過程（一）導入新課1.展示問題問題1：氣球膨脹率。問題2：高臺跳水運動員的速度。引導學生思考如何描述這些變化的快慢程度。2.講解平均變化率以氣球半徑從$r_1$增加到$r_2$為例，計算氣球的平均膨脹率。給出平均變化率的定義：$\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_2)f(x_1)}{x_2x_1}$，并強調它反映了函數在某一區間上變化的快慢。讓學生計算高臺跳水運動員在不同時間段內的平均速度，進一步理解平均變化率。（二）新課講授1.瞬時變化率引導學生思考當$\Deltax$無限趨近于0時，平均變化率的極限情況。以高臺跳水運動員在$t=t_0$時刻的速度為例，通過分析運動員在$t_0$附近的平均速度，當$\Deltat$趨近于0時，平均速度趨近于一個確定的值，這個值就是運動員在$t=t_0$時刻的瞬時速度。給出瞬時變化率的定義：函數$y=f(x)$在$x=x_0$處的瞬時變化率是$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}$。2.導數的概念講解導數的定義：函數$y=f(x)$在$x=x_0$處的導數$f^\prime(x_0)$就是函數$y=f(x)$在$x=x_0$處的瞬時變化率，即$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}$。強調導數的符號$f^\prime(x)$表示函數$f(x)$在$x$處的導數，它是一個與$x$有關的函數。讓學生用導數的定義求函數$y=x^2$在$x=1$處的導數，通過計算加深對導數概念的理解。3.導數的幾何意義借助函數$y=f(x)$的圖象，講解曲線$y=f(x)$在點$P(x_0,f(x_0))$處的切線的概念。分析曲線在某點處的切線斜率與該點處導數的關系：曲線$y=f(x)$在點$P(x_0,f(x_0))$處的切線斜率就是函數$y=f(x)$在$x=x_0$處的導數$f^\prime(x_0)$。給出曲線在點$P(x_0,f(x_0))$處的切線方程的求法：已知切線斜率$k=f^\prime(x_0)$，且過點$P(x_0,f(x_0))$，根據點斜式可得切線方程為$yf(x_0)=f^\prime(x_0)(xx_0)$。以函數$y=x^2$為例，求曲線在點$(1,1)$處的切線方程，通過具體例子讓學生掌握切線方程的求法。（三）例題講解例1：已知函數$f(x)=x^3$，求$f^\prime(2)$。解：根據導數的定義，$f^\prime(2)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(2+\Deltax)f(2)}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(2+\Deltax)^32^3}{\Deltax}$$=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{8+12\Deltax+6(\Deltax)^2+(\Deltax)^38}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(12+6\Deltax+(\Deltax)^2)=12$。例2：求曲線$y=\frac{1}{x}$在點$(1,1)$處的切線方程。解：首先求函數$y=\frac{1}{x}$在$x=1$處的導數，$y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\frac{1}{1+\Deltax}1}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{1(1+\Deltax)}{(1+\Deltax)\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltax}{(1+\Deltax)\Deltax}=1$。所以曲線在點$(1,1)$處的切線斜率為$1$，根據點斜式可得切線方程為$y1=1\times(x1)$，即$x+y2=0$。（四）課堂練習1.已知函數$f(x)=x^2+2x$，求$f^\prime(1)$。2.求曲線$y=\sinx$在點$(\frac{\pi}{2},1)$處的切線方程。（五）課堂小結1.引導學生回顧導數的概念、定義式及其幾何意義。2.總結用導數定義求函數導數的步驟和方法。3.強調導數在研究函數變化率和曲線切線問題中的重要作用。（六）布置作業1.書面作業求函數$f(x)=3x^22x+1$的導數。求曲線$y=e^x$在點$(0,1)$處的切線方程。2.拓展作業查閱資料，了解導數在物理、經濟等領域的應用，并寫一篇簡短的報告。思考：若函數在某點處不可導，其圖象在該點處有什么特點？五、教學反思通過本節課的教學，學生對導數的概念和幾何意義有了初步的理解，能夠運用導數的定義求一些簡單函數的