2024-2025學年內蒙古鄂爾多斯市高二上學期期末考試數學檢測試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊第四章～第五章第2節．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數列1，，，，3，…，，…，則9是該數列的（）A.第42項 B.第41項 C.第9項 D.第8項【正確答案】B【分析】由遞推得到通項公式，然后計算即可.【詳解】由已知數列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數列的第項為，令，解得，所以9是該數列的第41項.故選：B.2.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，“高原版”復興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環境．“高原版”復興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達160千米，全列定額載客676人．假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則當時，“高原版”復興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過求導，利用導數求瞬時變化率求解．【詳解】因為，所以，故當時，，即時，“高原版”復興號動車的加速度為，故選：B3.已知直線，?，，則（）A.或 B. C.或 D.【正確答案】B【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.【詳解】已知直線，由，得，且，解得，由，得，故.故選：B.4.已知函數，則（）A.6 B.3 C. D.【正確答案】D【分析】先求出，通過賦值法求得代入，即可得.【詳解】因為，所以，令，得，∴，所以，故故選：D.5.已知等差數列的前項和為，若，則（）A.20 B.16 C.7 D.2【正確答案】C【分析】根據成等差數列，得到方程，求出答案.【詳解】由題意得成等差數列，故，即，解得.故選：C6.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點P是C上一點，且，，則C的漸近線方程為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據雙曲線的定義及已知得，再應用余弦定理得到雙曲線參數的齊次方程，進而求漸近線.【詳解】由雙曲線定義知，又，則，，在中，，，則，所以，可得，則，所以的漸近線方程為.故選：C.7.經過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點，則線段的長為（）A. B. C.2 D.【正確答案】B【分析】先求得直線故直線的方程，再與橢圓方程聯立，結合韋達定理，利用弦長公式求解.【詳解】解：中，，，所以，即，故左焦點為，而，故直線的方程為，聯立得，，設，，由韋達定理得，，則由弦長公式得．故選：B．8.已知數列的首項為1，且，設數列中不在數列中的項按從小到大的順序排列構成數列，則數列的前200項和為（）A.42602 B.42609 C.42770 D.42762【正確答案】D【分析】應用累加法得出，進而得出,再根據等差及等比數列求和公式計算即可.【詳解】因為數列的首項為1，且，所以，即得，所以，則數列的前200項和為數列的前208項的和減去數列的前8項的和，即數列的前200項和為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導結果正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據導數的運算法則直接計算即可.【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：AD10.在平面直角坐標系中，已知曲線，則下列說法正確的是()A.若曲線表示圓，則實數取值范圍是B.存在實數，使得點在曲線內C.若，直線與曲線相交于兩點，則線段的長度為D.若，則過點且與曲線相切的直線的方程為或【正確答案】ACD【分析】根據計算的取值范圍，判斷A；根據點在圓內，列出不等式，計算判斷B；首先計算圓心到直線的距離，再利用垂徑定理判斷C；根據切線的斜率是否存在，分別討論判斷D.【詳解】已知曲線，對于A選項，若曲線表示圓，，即，故，所以A正確；對于B選項，要使得點在曲線內，只需，即不成立，故B錯誤；對于C選項，當時，曲線為圓，即，設圓心到直線的距離為，則，又因為半徑，故弦長，故C正確；對于D選項，當時，即，圓心，半徑，當過點的直線斜率不存在時，直線方程為，此時直線和圓相切；當過點的直線斜率存在時，設直線方程為，即，由直線與圓相切可得圓心到直線的距離，解得，此時切線方程為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動點，且滿足，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，若，則C.當時，直線與直線所成角的大小為D.當時，三棱錐的體積的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用直棱柱的性質，以及空間向量的有關知識逐項計算可得結論.【詳解】對于A，當時，分別是線段和線段的中點，所以也是中點，所以，故A正確；對于B，當時，，所以，，，滿足，故B正確；對于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當時，，在中，則，所以，所以，故C錯誤；對于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當且僅當，即時取等號，故D正確；故選：ABD.關鍵點點睛：本題D選項解決的關鍵是，分析得是正三角形，從而得到所需各線段長，從而利用三棱錐的體積公式即可得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數列的前項和為，若，則_________．【正確答案】2【分析】根據等差數列的求和公式，以及等差數列下標之和的性質，可直接求出結果.【詳解】因為，所以.故2.13.在平面直角坐標系中，若圓和圓關于直線對稱，則直線的方程為________.【正確答案】【分析】直線為兩個圓心的中垂線，分別求圓心，利用點斜式求解即可.【詳解】若圓和圓關于直線對稱，則直線為兩個圓心的中垂線，的圓心為，的圓心為.，中點為可得直線為，整理得.故答案為.14.已知點是拋物線上的一點，點是的焦點，動點，在上，且，則的最小值為______.【正確答案】11【分析】由題意作圖，根據已知點求得拋物線方程，設出直線方程，聯立方程，寫出韋達定理，利用斜率表示所求代數式，可得答案.【詳解】因為點是拋物線上的一點，所以，解得，所以.顯然直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，由，得，所以，解得，所以，同理可得，所以，所以的最小值是11，此時，解得.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知函數.（1）求這個函數的導數；（2）求這個函數的圖像在點處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據導數的運算法則計算可得；（2）求出切線的斜率，再利用點斜式計算可得.【小問1詳解】因為，所以，即；【小問2詳解】因為點在切線上，且，所以切線方程為，即.16.已知公比為正數的等比數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設出公比后代入計算即可得；（2）借助錯位相減法求和.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由，得，即，所以，解得或（舍）．又，所以．【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，，兩式相減，得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是等邊三角形，且平面平面，，為的中點．（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）分別取的中點為，連接，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求點到面的距離；（2）利用空間向量法求兩平面夾角.【小問1詳解】分別取的中點為，連接，因為底面是正方形，分別為的中點，所以．因為側面是等邊三角形，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．如圖所示，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個法向量為，設點到平面的距離為，則．即點到平面的距離為．【小問2詳解】由（1），得平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則取，則，所以平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．18.已知粗圓的左、右焦點分別為，點是的上頂點，，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓相交于兩點（異于點），求證：直線的斜率之和為0．【正確答案】（1）（2）證明見詳解【分析】（1）根據的幾何意義，結合銳角三角函數，三角形的面積公式列方程，解得的值，即可得橢圓的方程；（2）聯立直線和橢圓的方程，消去后得關于的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出，再結合斜率公式表示出斜率之和，將代入上式，通過計算可得.【小問1詳解】由題意，得，，，其中，因為，的面積為，所以，且，解得，所以，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】設，由，得，所以，解得，由韋達定理得，；因為兩點異于點，所以，所以，又，所以，將，代入上式，得，因此，直線的斜率之和為0.19.在數列中，記，若為等差數列，則稱為二階等差數列.（1）若，判斷是否為二階等差數列？并說明理由；（2）已知二階等差數列滿足，，.①求數列的通項公式；②若，記的前項和為，證明.【正確答案】（1）是，理由見解析（2）①；②證明見解析【分析】（1）根據二階等差數列的概念計算，從而判斷；（2）①根據二階