選擇題（共1小題，滿分3分，每小題3分）

1.（3分）（2015?重慶校級模擬）如圖所示，已知:產出（x>0）圖象上一點P,PA±x軸

x

于點A(a,0),點B坐標為0,b)(b>0).

動點M在y軸上，且在B點上方，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線

AP于點D,交直線MN于點Q,連接AQ,取AQ的中點為C.若四邊形BQNC是菱形,

面積為2如,此時P點的坐標為

A.(3,2)B.3后cd

3⑷f￥事

填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）_

2.（3分）（2015?海安縣校級模擬）如圖，aAOB為等腰三角形，頂點A的坐標（2,旗）,

底邊OB在x軸上.將AAOB繞點B按順時針方向旋轉一定角度后得AA'O'B',點A

的對應點A'在x軸上，則點0,的坐標為.

3.（3分）（2011?浦口區二模）如圖所示，在圓。。內有折線OABC,其中OA=8,AB=12,

ZA=ZB=60°,貝ijBC的長為.

4.（3分）（2015?游仙區模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為3,延長CB至點M,使SBM=--

AA2

過點B作BNLAM,垂足為N,O是對角線AC,BD的交點，連接ON,則ON的長

為.

5.（3分）（2014?重慶）如圖，在邊長為6a的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是

AD延長線上一點，BE=DG,連接EG,CF_LEG交EG于點H,交AD于點F,連接CE,

BH.若BH=8,貝ljFG=.

6.（3分）（2015?重慶）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2,BC=2?,點E,F分

別是線段AB,AD上的點，連接CE,CF.當/BCE=NACF,且CE=CF時，

AE+AF=.

7.（3分）（2015?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB=4捉，AD=10.連接BD,NDBC的

角平分線BE交DC于點E,現把ABCE繞點B逆時針旋轉，記旋轉后的ABCE為

△BC'E'.當射線BE'和射線BC'都與線段AD相交時，設交點分別為F,G.若△BFD

為等腰三角形，則線段DG長為.

BC

8.（3分）（2014?重慶）如圖，正方形ABCD的邊長為6,點。是對角線AC、BD的交點,

點E在CD上，且DE=2CE,過點C作CF_LBE,垂足為F,連接OF,則OF的長為.

9.（3分）（2013?重慶）如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P（1,1）,C為y

軸上一點，連接PC,線段PC繞點P順時針旋轉90。至線段PD,過點D作直線ABLx軸，

垂足為B,直線AB與直線y=x交于點A,且BD=2AD,連接CD,直線CD與直線y=x交

于點Q,則點Q的坐標為.

10.（3分）（2012?重慶）甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數量的紙牌中取牌.規定每人最

多兩種取法，甲每次取4張或（4-k）張，乙每次取6張或（6-k）張（k是常數，0<k<

4）.經統計，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取

牌的總張數恰好相等，那么紙牌最少有張.

三.解答題（共20小題，滿分189分）

11.（9分）（2012?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊

形ABCO為矩形，AB=16,點D與點A關于y軸對稱，tan/ACB=1.點E、F分別是線段

AD、AC上的動點（點E不與A、D點重合），且/CEF=NACB.

（1）求AC的長與點D的坐標.

（2）說明4AEF與4DCE相似.

（3）當AEFC為等腰三角形時，求點E的坐標.

12.（9分）（2016?重慶校級模擬）如圖1,ZkABC是等腰直角三角形，AC=BC,ZACB=90°,

直線1經過點C,AFL1于點F,AEL于點E,點D是AB的中點，連接ED.

（1）求證：△ACF0Z\CBE；

（2）求證：AF=BE-H/2DE；

（3）如圖2,將直線1旋轉到AABC的外部，其他條件不變，（2）中的結論是否仍然成立,

如果成立請說明理由，如果不成立AF、BE、DE又滿足怎樣的關系？并說明理由.

S1圖2

13.(10分)(2015?重慶校級模擬)如圖，在矩形ABCD中，DB=6,AD=3,在RtZXEFG

中，ZGEF=90°,EF=3,GF=6,Z\EFG(點F和點A重合)的邊EF和矩形的邊AB在同

一直線上.現RtZ^EFG將從A以每秒1個單位的速度向射線AB方向勻速平移，當點F與

點B重合時停止運動，設運動時間為t秒，解答下列問題：

(1)當4EFG運動到秒時，GF經過點D；

(2)在整個運動過程中，設4EFG與4ABD重疊部分面積為S,請直接寫出S與t的函數

關系式和相應t的取值范圍；

(3)當點F到達點B時，將4EFG繞點F順時針旋轉a(0<a<180°),旋轉過程中EG所

在直線交CD所在直線于M,交直線DB所在直線于點N,是否存在這樣的a,使△DNM

為等腰三角形？若存在，求DM的長，并直接寫出答案；若不存在，請說明理由.

14.(10分)(2007?河南)如圖，對稱軸為直線x=I的拋物線經過點A(6,0)和B(0,4).

2

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；

(2)設點E(x,y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角

線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x

的取值范圍；

①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點E,使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，

請說明理由.

15.(11分)(2014?蘭州)如圖，拋物線y=-L?+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交

于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使4PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在,

直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運

動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的

坐標.

16.(10分)(20H?威海)如圖，拋物線y=a?+bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(l,0),

交y軸于點E(0,-3).點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線1

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于

點G,求線段HG長度的最大值；

(3)在直線1上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行

四邊形，求點N的坐標.

17.（9分）（2015?重慶）在aABC中,AB=AC,ZA=60",點D是線段BC的中點，/EDF=120。，

DE與線段AB相交于點E.DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F.

（1）如圖1,若DF_LAC,垂足為F,AB=4,求BE的長；

（2）如圖2,將（1）中的/EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于

點F.求證：BE+CF=1AB；

2

（3）如圖3,將（2）中的NEDF繼續繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的

延長線相交于點F,作DNLAC于點N,若DNJ_AC于點N,若DN=FN,求證：BE+CF=

（BE-CF）.

18.（10分）（2015?重慶）如圖，拋物線y=-x?+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B

的左邊），與y軸交于點C,點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點

（1）求直線AD的解析式；

（2）如圖1,直線AD上方的拋物線上有一點F,過點F作FGXAD于點G,作FH平行于

x軸交直線AD于點H,求△FGH周長的最大值；

（3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內一點，以A,M,P,

Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形.若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的

坐標.

19.(9分)(2015?重慶)如圖1,在AABC中，ZACB=90",ZBAC=60°,點E是/BAC

角平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D,連接DB,

點F是BD的中點，DHLAC,垂足為H,連接EF,HF.

(1)如圖1,若點H是AC的中點，AC=2jj,求AB,BD的長；

(2)如圖1,求證：HF=EF；

(3)如圖2,連接CF,CE.猜想：4CEF是否是等邊三角形？若是,請證明；若不是，

說明理由.

20.(10分)(2015?重慶)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-步X2+J5X+3J5交x

4

軸于A,B兩點(點A在點B的左側)，交y軸于點W,頂點為C,拋物線的對稱軸與x軸

的交點為D.

(1)求直線BC的解析式；

(2)點E(m,0),F(m+2,0)為x軸上兩點，其中2<m<4,EE',FFZ分別垂直于

x軸，交拋物線于點口,P,交BC于點M,N,當ME，+NF，的值最大時，在y軸上

找一點R,使IRF'-RE'I的值最大，請求出R點的坐標及IRF'-RE'I的最大值；

(3)如圖2,已知x軸上一點P(20),現以P為頂點，2正為邊長在x軸上方作等邊三

2

角形QPG,使GP，x軸，現將△QPG沿PA方向以每秒1個單位長度的速度平移，當點P

到達點A時停止，記平移后的△QPG為AQ'P'G'.設AQ'P'G'與AADC的重疊部

分面積為s.當Q'到x軸的距離與點Q'到直線AW的距離相等時，求s的值.

21.(9分)(2014?重慶)已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5,AD=",AEXBD,垂

(1)求AE和BE的長；

(2)若將AABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m(平移距離指點B沿BD方向

所經過的線段長度).當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值.

(3)如圖②，將4ABF繞點B順時針旋轉一個角a(00<a<180°),記旋轉中的4ABF為

△A，BF',在旋轉過程中，設A'F'所在的直線與直線AD交于點P,與直線BD交于

點Q.是否存在這樣的P、Q兩點，使ADPa為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長;

若不存在，請說明理由.

22.(10分)(2014?重慶)如圖1,在ABCD中，AH±DC,垂足為H,AB=4、R,AD=7,

AH=V21.現有兩個動點E,F同時從點A出發，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位

長度的速度沿射線AC方向勻速運動，在點E,F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG,

使4EFG與AABC在射線AC的同側，當點E運動到點C時，E,F兩點同時停止運動，設

運動時間為t秒.

(1)求線段AC的長；

(2)在整個運動過程中，設等邊4EFG與AABC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t

之間的函數關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍；

(3)當等邊4EFG的頂點E到達點C時，如圖2,將4EFG繞著點C旋轉一個角度a(0。

<a<360°),在旋轉過程中，點E與點C重合，F的對應點為F',G的對應點為G',設

直線F'G'與射線DC、射線AC分別相交于M,N兩點.試問：是否存在點M,N,使得

△CMN是以/MCN為底角的等腰三角形？若存在，請求出CM的長度；若不存在，請說

明理由.

23.（9分）（2013?重慶）已知，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點，AEJ_DE,AB=12,

BE=16,F為線段BE上一點,EF=7,連接AF.如圖1,現有一張硬質紙片△GMN,ZNGM=90",

NG=6,MG=8,斜邊MN與邊BC在同一直線上，點N與點E重合，點G在線段DE上.如

圖2,AGMN從圖1的位置出發，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動，同時點P

從A點出發，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE

的交點，連接PQ.當點N到達終點B時，△GMN和點P同時停止運動.設運動時間為t

秒，解答下列問題：

（1）在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值；

（2）在整個運動過程中，是否存在點P,使AAPQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；

若不存在，說明理由；

（3）在整個運動過程中，設△GMN與4AEF重疊部分的面積為S.請直接寫出S與t之間

的函數關系式以及自變量t的取值范圍.

24.（9分）（2012?重慶）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=2,

BC=6,AB=3.E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD

在BC的同側.

（1）當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；

（2）將（1）問中的正方形BEFG沿BC向右平移,記平移中的正方形BEFC為正方形B'EFG,

當點E與點C重合時停止平移.設平移的距離為t,正方形B'EFG的邊EF與AC交于點

M,連接B'D,B'M,DM,是否存在這樣的t,DM是直角三角形？若存在，求

出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）問的平移過程中，設正方形B'EFG與AADC重疊部分的面積為S,請直接

寫出S與t之間的函數關系式以及自變量t的取值范圍.

25.(9分)(2011?重慶)如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=2?,點。是AB的中點，點

P在AB的延長線上，且BP=3.一動點E從O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿OA

勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點發發，以每秒1個

單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發，當兩點相遇時停止運動，在點E、

F的運動過程中,以EF為邊作等邊△EFG,使4EFG和矩形ABCD在射線PA的同側.設

運動的時間為t秒(t>0).

(1)當等邊4EFG的邊FG恰好經過點C時，求運動時間t的值；

(2)在整個運動過程中，設等邊4EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S,請直接寫出S

與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；

(3)設EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H,是否存在這樣的t,使△AOH是等腰

三角形？若存大，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

27.(10分)(2014?鹽城)如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直

角頂點A在y軸上,坐標為(0,-1),另一頂點B坐標為(-2,0),已知二次函數y=-|x2+bx+c

的圖象經過B、C兩點.現將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A'D'〃y軸且

經過點B,直尺沿x軸正方向平移，當A'D'與y軸重合時運動停止.

(1)求點C的坐標及二次函數的關系式；

(2)若運動過程中直尺的邊A'D'交邊BC于點M,交拋物線于點N,求線段MN長度

的最大值；

(3)如圖②，設點P為直尺的邊A'D'上的任一點，連接PA、PB、PC,Q為BC的中點，

試探究：在直尺平移的過程中，當PQ=2叵時，線段PA、PB、PC之間的數量關系.請直

2

接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系.

(說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋

物線上，點D'在拋物線外.)

圖①國②備用圖

28.（9分）（2013?鹽城）閱讀材料

如圖①，ZiABC與4DEF都是等腰直角三角形，ZACB=ZEDF=90°,且點D在AB邊上,

AB、EF的中點均為O,連結BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明

△BOF也△COD,貝ijBF=CD.

解決問題

（1）將圖①中的RtADEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并

證明你的結論；

（2）如圖③，若AABC與4DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O,上述（1）中

的結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；

（3）如圖④，若AABC與4DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0,且頂角

ZACB=ZEDF=a,請直接寫出竺的值（用含a的式子表示出來）

CD

\BB

29.(9分)(2013?鹽城)如圖①，若二次函數y1^x~+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0),

B(3,0)兩點，點A關于正比例函數y=\/際x的圖象的對稱點為C.

(1)求b、c的值；

(2)證明：點C在所求的二次函數的圖象上；_

(3)如圖②，過點B作DBLx軸交正比例函數y=Vjx的圖象于點D,連結AC,交正比

例函數y=v13x的圖象于點E,連結AD、CD.如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2

個單位的速度向點D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點

C運動.當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，連結PQ、QE、PE.設運動時

間為t秒，是否存在某一時刻，使PE平分NAPQ,同時QE平分NPQC?若存在，求出t

的值；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

2016年05月01日陌陌沫沫默默的初中數學組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1小題，滿分3分，每小題3分）

1.（3分）（2015?重慶校級模擬）如圖所示，已知：尸圖（x>0）圖象上一點P,PALx軸

x

于點A（a,0）,點B坐標為0,b）（b>0）.

動點M在y軸上，且在B點上方，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線

AP于點D,交直線MN于點Q,連接AQ,取AQ的中點為C.若四邊形BQNC是菱形，

面積為2M,此時P點的坐標為（）

y小，J小

AA

圖1圖::

A.（3,2）B.（當!23后C.（4,2）D.（見1,巨星

3252

【考點】反比例函數綜合題.

【分析】首先求出/BQC=60。，ZBAQ=30°,然后證明AABQ會AANQ,進而求出

NBAO=30°,由S四邊形BQNC二2?,求出OA=3,于是求出P點坐標.

【解答】解：連接BN,NC,

四邊形BQNC是菱形，

；.BQ=BC=NQ,ZBQC=ZNQC,

VAB±BQ,C是AQ的中點，

;.BC=CQ=4AQ,

AZBQC=60°,ZBAQ=30°,

在AABQ和AANQ中，

'BQ二NQ

"NBQA=NNQA，

QA二QA

.,.△ABQ^AANQ(SAS),

???ZBAQ=ZNAQ=30°,

???ZBAO=30°,

*?*S菱形BQNC=2，J3=1xCQxBN，

令CQ=2t=BQ,貝！］BN=2x（2tx也）=2如3

2

t=1

BQ=2,

在RtAAQB中，ZBAQ=30°,

AB=v&Q=2b，

,?ZBAO=30°

：.OA=^AB=3,

2

又P點在反比例函數y=@的圖象上，

；.P點坐標為（3,2）.

故選A.

【點評】本題主要考查反比例函數綜合題的知識，此題涉及的知識有全等三角形的判定與性

質、含30。角的直角三角形的性質以及菱形等知識.注意能證得/BAQ=30。是關鍵.

填空題（共9小題，滿分27分，每小題3分）_

2.（3分）（2015?海安縣校級模擬）如圖，AAOB為等腰三角形，頂點A的坐標（2,巡）,

底邊OB在x軸上.將^AOB繞點B按順時針方向旋轉一定角度后得AA'O'B',點A

的對應點A'在x軸上，則點O'的坐標為（理，&兀）?

33

【考點】坐標與圖形變化-旋轉；等腰三角形的性質.

【分析】過點A作ACJLOB于C,過點O'作O'D，A'B于D,根據點A的坐標求出

OC、AC,再利用勾股定理列式計算求出OA,根據等腰三角形三線合一的性質求出OB,

根據旋轉的性質可得BO,=OB,乙A'BOZ=/ABO,然后解直角三角形求出O'D、BD,

再求出OD,然后寫出點O'的坐標即可.

【解答】解：如圖，

過點A作AC_LOB于C,過點O'作O'D_LA'B于D,

VA（2,遙），

.\OC=2,AC=Vg,

由勾股定理得，OA={0C2+AC2=,22+（韭）2=3,

???△AOB為等腰三角形，OB是底邊，

.\OB=2OC=2x2=4,

由旋轉的性質得，BO'=OB=4,ZA/BO'=ZABO,

：.O'D=4x立

33

BD=4X-2=8,

33

OD=OB+BD=4+3="，

33

..?點o'的坐標為（理，2匹），

33

故答案為：（理，延）.

33

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性質，解

直角三角形，熟記性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.

3.（3分）（2011?浦口區二模）如圖所示，在圓。。內有折線OABC,其中OA=8,AB=12,

ZA=ZB=60°,則BC的長為20.

【考點】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質.

【專題】計算題；壓軸題.

【分析】延長AO交BC于D,根據/A、/B的度數易證得AABD是等邊三角形，由此可

求出OD、BD的長;過。作BC的垂線，設垂足為E；在RtAODE中，根據OD的長及/ODE

的度數易求得DE的長，進而可求出BE的長；由垂徑定理知BC=2BE,由此得解.

【解答】解：延長AO交BC于D,作OELBC于E；

VZA=ZB=60°,.,.ZADB=60°；

.,.△ADB為等邊三角形；

；.BD=AD=AB=12；

；.OD=4,又?.?/ADB=60。,

.-.DE=AOD=2；

2

；.BE=10；

；.BC=2BE=20；

故答案為20.

C

【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質以及垂徑定理的應用.

4.（3分）（2015?游仙區模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為3,延長CB至點M,使SBM=--

AA2

過點B作BNLAM,垂足為N,O是對角線AC,BD的交點，連接ON,則ON的長為旦后.

—5—

【考點】相似三角形的判定與性質；正方形的性質.

【分析】先根據三角形的面積公式求出BM的長，由條件可證得△ABNsABNMs^ABM,

且可求得AM=JT5,利用對應線段的比相等可求得AN和MN,進一步可得到想出，且

AMAC

ZCAM=ZNAO,可證得△AONs^AMC,利用相似三角形的性質可求得ON

【解答】解：：正方形ABCD的邊長為3,SAABM國，

2

VAB=3,BM=1,

/.AM=V10，

VZABM=90°,BN1AM,

△ABNsZ\BNMs△AMB,

AB=ANxAM,BM=MNxAM,

1010

VAB=3,CD=3,

；.AC=3&,

.-.AO=^Z2,

2_

..AQ_3V5搦_避

?AM10；AC-iy

...旭出，且/CAM=/NAO

AMAC

.,.△AON^AAMC,

.ON_AO_3V5

',MCAM10'

.-.ON=^Z^.

5_

故答案為：殳后.

5

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此

題的關鍵.

5.（3分）（2014?重慶）如圖，在邊長為6圾的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是

AD延長線上一點，BE=DG,連接EG,CF_LEG交EG于點H,交AD于點F,連接CE,

BH.若BH=8,則FG=5?.

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質；相似三角形的判定與

性質.

【專題】幾何圖形問題；壓軸題.

【分析】如解答圖，連接CG,首先證明△CGDgACEB,得到4GCE是等腰直角三角形；

過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N,進而證明△HEMg△HCN,得到四邊形

MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度;最后利用相似三角形RdHCNsRt^GFH,

求出FG的長度.

【解答】解：如圖所示，連接CG.

在4CGD與4CEB中

'BE=DG

-NEBC=NGDC=90°

、BC=DC

.,.△CGD^ACEB（SAS）,

；.CG=CE,ZGCD=ZECB,

AZGCE=90°,即AGCE是等腰直角三角形.

又,.,CH_LGE,

.*.CH=EH=GH.

過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N,則NMHN=90。,

又：/EHC=90。，

.*.Z1=Z2,

.\ZHEM=ZHCN.

在△HEM與△HCN中，

fZl=Z2

<EH=CH

LZHEM=ZHCN

AAHEM^AHCN(ASA).

；.HM=HN,

四邊形MBNH為正方形.

VBH=8,

；.BN=HN=4%，

；.CN=BC-BN=6我-4A/^=2我.

在Rt^HCN中，由勾股定理得：CH=2V10.

.*.GH=CH=2A/10.

；HM〃AG,

.*.Z1=Z3,

.\Z2=Z3.

又,:ZHNC=ZGHF=90",

RtAHCN^RtAGFH.

.CHHNBn2V10472

FGGHFG2V10

；.FG=5&.

故答案為：5圾.

【點評】本題是幾何綜合題，考查了全等二角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、

勾股定理等重要知識點，難度較大.作出輔助線構造全等三角形與相似三角形，是解決本題

的關鍵.

6.（3分）（2015?重慶）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，AB=2,BC=2丘，點E,F分

別是線段AB,AD上的點，連接CE,CF.當NBCE=/ACF,且CE=CF時,AE+AF=蟲學.

—3—

E

B

【考點】全等三角形的判定與性質；矩形的性質；解直角三角形.

【專題】壓軸題._

【分析】過點F作FGXAC于點G,證明ABCE之AGCF,得至UCG=CB=2?,根據勾股

定理得AC=4,所以AG=4-2，&易證△AGFS/\CBA,求出AF、FG,再求出AE,得出

AE+AF的值.

【解答】解：過點F作FGLAC于點G,如圖所示，

在ABCE和4GCF中，

，ZFGC=ZEBC=90°

-ZACF=ZBCE，

CE=CF

.,.△BCE^AGCF(AAS),

；.CG=BC=2V5，

AC=VAB2+BC2=4'

；.AG=4-273,

VAAGF^ACBA

CB-CA-AB

12-4夷|距

333

故答案為：±Z1.

3

E

B

【點評】本題主要考查了三角形全等的判定和性質以及三角形相似的判定與性質，有一定的

綜合性，難易適中.

7.（3分）（2015?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB=4遙，AD=10.連接BD,/DBC的

角平分線BE交DC于點E,現把4BCE繞點B逆時針旋轉，記旋轉后的4BCE為

△BC7E'.當射線BE'和射線BO都與線段AD相交時，設交點分別為F,G.若4BFD

為等腰三角形，則線段DG長為例.

~1T~

【考點】旋轉的性質.

【專題】壓軸題.

【分析】根據角平分線的性質，可得CE的長，根據旋轉的性質，可得BO=BC,E，C'=EC；

根據等腰三角形，可得FD、FB的關系，根據勾股定理，可得BF的長，根據正切函數，可

得tan/ABF,tan/FBG的值，根據三角函數的和差，可得AG的長，根據有理數的減法，

可得答案.

【解答】解：過E作EOLBD于O,

在RtZXABD中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=V（4^6）2+10^14,

在Rt^ABF中，由勾股定理，得：

2+（10-BF）2,

解得BF=坐，

5

過G作GH〃BF,交BD于H,

ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

AZFBD=ZFDB,

ZFDB=ZGHD,

.\GH=GD,

??ZFBG=ZEBC=1ZDBC=AZADB=1ZFBD,

222

又；NFBG=/BGH,ZFBG=ZGBH,

；.BH=GH,

設DG=GH=BH=x,貝FG=FD-GD-"'-x,HD=14-x,

：GH〃FB,

49

?FDBD

,,而而

解得xM.

17

故答案為：98.

17

【點評】本題考查了旋轉的性質，利用了勾股定理，旋轉的性質，正切函數的定義，利用三

角函數的和差得出AG的長是解題關鍵.

8.（3分）（2014?重慶）如圖，正方形ABCD的邊長為6,點。是對角線AC、BD的交點,

點E在CD上，且DE=2CE,過點C作CFXBE,垂足為F,連接OF,則OF的長為匹

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；正方形的性質.

【專題】計算題；幾何圖形問題.

【分析】在BE上截取BG=CF,連接OG,證明△OBGgAOCF,則OG=OF,ZBOG=ZCOF,

得出等腰直角三角形GOF,在RT4BCE中，根據射影定理求得GF的長，即可求得OF的

長.

【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF,連接OG,

VRTABCECF1BE,

ZEBC=ZECF,

VZOBC=ZOCD=45°,

.,.ZOBG=ZOCF,

在AOBG與△OCF中

'OB=OC

<Z0BG=Z0CF

tBG=CF

.,.△OBG^AOCF（SAS）

.*.OG=OF,ZBOG=ZCOF,

/.OG±OF,

在RSBCE中，BC=DC=6,DE=2EC,

：.EC=2,

BE=VBC2+CE2=V62+22=25^'

VBC2=BF?BE,

貝ij62=BF，2VI5，解得：

5

；.EF=BE-BF=2^!,

5

VC^BF^EF,

ACF_3V10,

5

.\GF=BF-BG=BF-CF=-^^,

5

在等腰直角△OGF中

OF2=AGF2,

2

.\OF=.-^.

5_

故答案為：￡近.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理

的應用.

9.（3分）（2013?重慶）如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點P（1,1）,C為y

軸上一點，連接PC,線段PC繞點P順時針旋轉90。至線段PD,過點D作直線ABLx軸，

垂足為B,直線AB與直線y=x交于點A,且BD=2AD,連接CD,直線CD與直線y=x交

于點Q,則點Q的坐標為弓，,）.

【考點】一次函數綜合題.

【專題】壓軸題.

【分析】過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交AB于N,過D作DH_Ly軸，交y軸于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,求出/MCP=/DPN,證AMCP四△NPD,推出DN=PM,

PN=CM,設AD=a,求出DN=2a-1,得出2a-1=1,求出a=l,得出D的坐標，在RtADNP

中，由勾股定理求出PC=PD=石，在RCMCP中，由勾股定理求出CM=2,得出C的坐標,

設直線CD的解析式是y=kx+3,把D(3,2)代入求出直線CD的解析式，解由兩函數解

析式組成的方程組，求出方程組的解即可.

【解答】解：

過P作MN_Ly軸，交y軸于M,交AB于N,過D作DH_Ly軸，交y軸于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,

ZMCP+ZCPM=90°,ZMPC+ZDPN=90",

ZMCP=ZDPN,

VP(1,1),

.\OM=BN=1,PM=1,

在aMCP和4NPD中

fZCMP=ZDNP

<ZMCP=ZDPN

kPC=PD

/.△MCP^ANPD(AAS),

；.DN=PM,PN=CM,

VBD=2AD,

.?.設AD=a,BD=2a,

VP(1,1),

；.DN=2a-1,

則2a-1=1,

a=l,即BD=2.

?直線y=x,

；.AB=0B=3,

在RtADNP中，由勾股定理得：PC=PD=^(3-1)2+(2-1)

在Rt^MCP中，由勾股定理得：CM=J(函)2-]2=2,

則C的坐標是(0,3),

設直線CD的解析式是y=kx+3,

把D（3,2）代入得：k=-A,

3

即直線CD的解析式是y=-°x+3,

3

即方程組|廠3日得：，

9

產x

即Q的坐標是（22），

44

故答案為：（29）.

44

【點評】本題考查了用待定系數法求出一次函數的解析式，全等三角形的性質和判定，解方

程組，勾股定理，旋轉的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算

的能力，題目比較好，但是有一定的難度.

10.（3分）（2012?重慶）甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數量的紙牌中取牌.規定每人最

多兩種取法，甲每次取4張或（4-k）張，乙每次取6張或（6-k）張（k是常數，0<k<

4）.經統計，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取

牌的總張數恰好相等，那么紙牌最少有108張.

【考點】應用類問題.

【專題】應用題；壓軸題.

【分析】設甲a次取（4-k）張，乙b次取（6-k）張，則甲（15-a）次取4張，乙（17

-b）次取6張，從而根據兩人所取牌的總張數恰好相等，得出a、b之間的關系，再有取牌

總數的表達式，討論即可得出答案.

【解答】解：設甲a次取（4-k）張，乙b次取（6-k）張，則甲（15-a）次取4張，乙

（17-b）次取6張，

則甲取牌（60-ka）張，乙取牌（102-kb）張

則總共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162,

從而要使牌最少，則可使N最小，因為k為正數，函數為減函數，則可使（a+b）盡可能的

大，

由題意得，a<15,b<16,

又最終兩人所取牌的總張數恰好相等，

故k（b-a）=42,而0<k<4,b-a為整數，

則由整除的知識，可得k可為1,2,3,

①當k=l時，b-a=42,因為a415,b<16,所以這種情況舍去；

②當k=2時,b-a=21,因為a415,b<16,所以這種情況舍去；

③當k=3時，b-a=14,此時可以符合題意，

綜上可得：要保證a415,b<16,b-a=14,（a+b）值最大，

則可使b=16,a=2；b=15,a=l；b=14,a=0；

當b=16,a=2時，a+b最大，a+b=18,

繼而可確定k=3,（a+b）=18,

所以N=-3x18+162=108張.

故答案為：108.

【點評】此題屬于應用類問題，設計了數的整除、一次函數的增減性及最值的求法，綜合性

較強，解答本題要求我們熟練每部分知識在實際問題的應用，一定要多思考.

三.解答題（共20小題，滿分189分）

11.（9分）（2012?巴中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊

形ABCO為矩形，AB=16,點D與點A關于y軸對稱，tan/ACB《.點E、F分別是線段

AD、AC上的動點（點E不與A、D點重合），且/CEF=/ACB.

（1）求AC的長與點D的坐標.

（2）說明4AEF與4DCE相似.

（3）當AEFC為等腰三角形時，求點E的坐標.

【考點】相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；等腰三角形的性質；矩形的性質；解

直角三角形.

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題.

【分析】（1）利用矩形的性質，在Rt^ABC中，利用三角函數求出AC、BC的長度，從而

得到A點坐標；由點D與點A關于y軸對稱，進而得到D點的坐標；

（2）欲證4AEF與4DCE相似，只需要證明兩個對應角相等即可.如圖①，在4AEF與

△DCE中，易知/CDE=/CAO,ZAEF=ZDCE,從而問題解決；

（3）當AEFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：

①當CE=EF時，此時4AEF與4DCE相似比為1,則有AE=CD；

②當EF=FC時，此時4AEF與4DCE相似比為則有AE=^CD；

56

③當CE=CF時，F點與A點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.

【解答】解：（1）由題意tan/ACB，,

3

cosZACB=—.

5

:四邊形ABCO為矩形，AB=16,

/.BC=——注——二12,AC=————=20,

tan/ACB