2025屆全國二卷遼吉黑高三數學高考預測卷（二）考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三一、選擇題（共10題，每題5分）要求：本部分主要考查函數、導數、數列等基礎知識，要求學生熟練掌握相關概念和計算方法。1.若函數f(x)=(x-1)^2在x=2處取得極值，則該極值為（）A.0B.1C.4D.-1例：f'(x)=2(x-1)，令f'(x)=0，得x=1，故f(x)在x=1處取得極值，f(1)=0。2.設數列{an}滿足an=(1+1/n)^n，則數列{an}的極限為（）A.eB.e^2C.e^3D.e^4例：根據數列的極限定義，當n趨向于無窮大時，an趨向于e。3.已知函數f(x)=x^3-3x在區間[-1,1]上的最大值為（）A.0B.1C.-1D.-2例：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，故f(x)在x=±1處取得極值，f(1)=0，f(-1)=-2。二、填空題（共10題，每題5分）要求：本部分主要考查三角函數、不等式、復數等基礎知識，要求學生熟練掌握相關概念和計算方法。4.已知sinα=1/2，cosα=√3/2，則tanα=______。5.若不等式x^2-4x+3>0，則x的取值范圍為______。6.復數z=2+3i的模為______。7.已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=2，則第10項a10=______。8.若sinα+cosα=√2/2，則sin2α+cos2α=______。三、解答題（共4題，每題15分）要求：本部分主要考查函數、數列、解析幾何等綜合應用，要求學生具備較強的分析問題和解決問題的能力。9.已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-2，求f(x)的導數f'(x)，并求f'(x)的零點。10.在平面直角坐標系中，已知A(2,3)，B(-3,5)，C(1,-2)，求直線AB和BC的方程。四、證明題（共1題，10分）要求：本部分主要考查數學歸納法，要求學生熟練掌握數學歸納法的證明方法。11.證明：對于任意正整數n，有1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2。五、應用題（共1題，15分）要求：本部分主要考查概率統計知識，要求學生具備較強的實際問題分析能力。12.從一副52張的撲克牌中，隨機抽取4張牌，求抽取的4張牌都是紅桃的概率。六、綜合題（共1題，15分）要求：本部分主要考查數學知識的綜合運用，要求學生具備較強的數學思維能力和創新意識。13.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1，求f(x)的圖像在x軸上的交點個數，并求出這些交點的坐標。本次試卷答案如下：一、選擇題答案：1.A2.A3.A4.B5.B6.B7.A8.A二、填空題答案：4.√35.x<1或x>36.√137.218.1三、解答題答案：9.f'(x)=3x^2-6x+4，f'(x)的零點為x=1或x=4/3。10.直線AB的方程為3x+4y-15=0，直線BC的方程為4x-3y-1=0。四、證明題答案：11.基礎步驟：當n=1時，1^3=(1(1+1)/2)^2，等式成立。歸納假設：假設當n=k時，等式1^3+2^3+3^3+...+k^3=(k(k+1)/2)^2成立。歸納步驟：證明當n=k+1時，等式也成立。由歸納假設得：1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3化簡得：(k+1)^3+(k+1)^3=(k+1)(k+2)^2即：(k+1)^3+(k+1)^3=(k+1)^2(k+2)由于(k+1)^2>0，(k+1)>0，(k+2)>0，所以等式成立。五、應用題答案：12.抽取的4張牌都是紅桃的概率為：C(13,4)/C(52,4)=1/4165。六、綜合題答案：13.函數f(x)=x^3-6x^2+9x-1的圖像在x軸上的交點個數可以通過求導數f'(x)=3x^2-12x+9的零點來確定。令f'(x)=0，解得x=1或x=3。然后，我們需要檢查這兩個點是否是f(x)的極值點，并確定這些極值點的正負性。計算f(1)=-3，f(3)=1，因此f(x)在x=1處取得局部最小值，在x=3處取得局部最大值。由于f(x)是一個三次函數，且在x=1和x=3處有極值，因此它有三個交點