6/20浙江省寧波市2024年高一《數學》上冊一月月考試題與參考答案一、單選題1.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】依題意，解得且，所以的定義域為.故選：B2.已知集合，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【分析】解方程化簡集合，然后利用元素和集合、集合和集合的關系逐項判斷即可.【詳解】集合，所以，，，.故選：AC.3.下列各組函數表示同一函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】判斷函數的定義域是否相同，再在定義域基礎上，化解解析式是否一致即可.【詳解】對于A，，定義域和對應法則不一樣，故不為同一函數；對于B，，定義域不同，故不為同一函數；對于C，，定義域和對應法則均相同，故為同一函數：對于D，，定義域不同，故不為同一函數．故選：C．4.已知，，則“且”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】D【分析】根據充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，，由，取，此時，所以“且”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.已知無理數，若，，，則它們的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據指數函數、冪函數的單調性即可比較大小.【詳解】因為函數為增函數，所以，又函數在上單調遞增，所以，所以，又，所以.故選：A6.函數的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據函數是偶函數可判斷錯誤，根據，可排除.【詳解】依題可知：函數的定義域為，定義域關于原點對稱，又，故函數為偶函數，故錯誤；又當時，，故錯誤，故選：.7.已知實數為常數，且，函數，甲同學：的解集為：乙同學：的解集為；丙同學：存在最小值.在這三個同學中，只有一個同學的論述是錯誤的，則a的范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用二次函數的性質分別分析甲乙丙三位同學的論述，從而得解.【詳解】若甲正確，則且，即，則；若乙正確，則且，即，則；若丙正確，則二次函數開口向上即；因為只有一個同學的論述為假命題，所以只能乙的論述錯誤，故.故選：C8.已知函數定義域為，且對任意正實數x，y都成立，則下列結論一定成立的是（）A B.C. D.【答案】B【分析】對于ACD：舉反例分析判斷；對于B：利用反證法，假設存在，使得，令，結合題意分析證明.【詳解】對于選項A：例如函數符合題意，則，故A錯誤；對于選項CD：例如符合題意，則，故C錯誤；令，則，可知，故D錯誤；對于選項B：反證：假設存在，使得，令，則，可得，這與假設相矛盾，故假設不成立，所以對任意，，故B正確；故選：B.二、多選題9.集合，集合則集合可表示為（）A. B. C. D.【答案】ABC【分析】化簡集合，結合集合的運算判斷各選項的對錯.【詳解】不等式的解集為或，所以或，因為，所以或，B正確，，則或，A正確，，又或，C正確，，，故D錯誤.故選：ABC10.下列函數中，屬于偶函數并且值域為的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根據偶函數的定義即函數的值域，逐項判斷即可.【詳解】對于函數，定義域為，且值域，故錯誤；對于函數，定義域為,且，故為偶函數，且值域為，故正確；對于函數，定義域為，且，故函數為偶函數，又，當且僅當時，等號成立，故函數的值域為，故正確；對于函數，令得，或者或者，故函數的定義域或或，關于原點對稱，，故函數為偶函數，且函數的值域為，故正確，故選：11.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數關系（，k，b為常數）．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（）A.且B.在10℃的保鮮時間是60小時C.要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時間將超過150小時【答案】AB【分析】本題首先可根據題意得出是減函數，且，可判斷出正確；根據及，可得，則可求得的值，判斷出正確；解不等式得，則錯誤；當時，可求得，則錯誤.【詳解】因為該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，易得是減函數，結合復合函數的單調性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結合，不等式化為，即，又，所以，故錯誤；當時，，故錯誤；故選：12.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若的圖象與直線有三個交點，則實數B.若有三個不同實數根，則C.不等式的解集是D.若對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是【答案】ABD【分析】對于AB，作出函數的圖象即可判斷；對于C，先根據圖象求出的范圍，再分情況討論即可；對于D，根據圖象結合圖象平移分析運算即可判斷.【詳解】對于A，如圖，作出函數的圖象，由圖可知，若的圖象與直線有三個交點，則實數，故A正確；對于B，如圖，作出函數的圖象，由題意得兩函數交點得橫坐標為，不妨設，則關于對稱，故，由圖可知，所以，故B正確；

對于C，由函數的圖象可知，當時，，則由，可得，則或，解得或，所以不等式的解集是，故C錯誤；對于D，當時，顯然不成立，故舍去，當時，可以通過向左平移個單位得到，如圖2，顯然不成立，舍去，當時，可以通過向右平移個單位得到，如圖3，以射線與相切為臨界，即，則，所以，解得，所以，綜上所述，實數a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.三、選擇題13.實數且，則函數的圖象恒過定點______．【答案】【分析】令，結合指數函數的性質即可得解.【詳解】令，則，所以函數的圖象恒過定點.故答案為：.14.化簡求值：______．【答案】3【分析】根據指數冪運算公式計算.【詳解】原式=.故答案為：3.15.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數，則______．①定義域為，值域為②在定義域內是偶函數③的圖象與x軸有三個公共點【答案】（答案不唯一）【分析】由題意結合二次函數的性質可取，再證明即可.【詳解】根據題意可取，函數的定義域為，值域為，故①符合，因為，所以函數為偶函數，故②符合，令，解得或，所以的圖象與x軸有三個公共點，故③符合，所以函數符合題意.故答案為：.16.若正數a，b滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】引入待定系數，結合基本不等式求出答案.【詳解】正數a，b滿足，引入待定系數，得到，令，解得，解得，負值舍去，則，故，當且僅當時，等號成立，故答案為：四、解答題17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．請從條件①，條件②，這兩個條件中選一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．【答案】（1）;（2）答案見解析.【分析】（1）根據集合的并運算，直接求解即可；（2）選擇不同的條件，根據集合之間的關系，分別討論參數的范圍即可.【小問1詳解】∵當時，集合，∴．【小問2詳解】選擇①若，∴，∴當時，，解得；當時，，解得，滿足題意；綜上所述：實數的取值范圍是．選擇②若，∵或，∴時，，解得；當時，，解得滿足題意；綜上所述：實數的取值范圍是．18.已知命題p：“，”是真命題，（1）求實數a的取值所構成的集合A；（2）在（1）的條件下，設不等式的解集為B，若是的必要條件，求實數b的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意方程無解，利用判別式法求解即可；（2）先求出集合B，由題意，分類討論，列不等式組求解即可【小問1詳解】因為命題p：“，”是真命題，所以方程無解，所以，解得，所以實數a的取值所構成的集合.【小問2詳解】因為，所以，解得，所以，又是的必要條件，所以，當時，即，滿足題意；當時，，解得；綜上，.19.已知冪函數（為常數）的圖象經過點.（1）求的解析式；（2）設，（i）判斷在區間上的單調性，并用單調性定義證明你的結論；（ii）若在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】19.20.（i）在區間上單調遞增，證明見解析；（ii）【分析】（1）根據冪函數的圖象所過點，列出方程求解即可.（2）（i）判斷函數的單調性并用單調性的定義證明即可；（ii）利用在上單調性可得，即可得解.【小問1詳解】因為冪函數（為常數）的圖象經過點，則，所以，故；【小問2詳解】，（i）在區間上單調遞增，證明如下：設，所以，因為，所以，所以，所以，可得函數在區間上單調遞增；（ii）因在上恒成立，所以，又函數在區間上單調遞增，所以，所以.20.已知是定義在上的奇函數，且時，.（1）求；（2）當時，求函數的解析式；（3）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據奇函數的性質，再令，即可得解；（2）設求出，再根據奇函數的性質計算可得；（3）判斷函數的單調性，再根據奇偶性及單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.小問1詳解】解：因為是定義在上的奇函數，所以，令，則，所以；【小問2詳解】解：因為是定義在上的奇函數，且時，，設，則，則，又，所以，即當時，；【小問3詳解】解：由（1）（2）可得，所以函數圖象如下所示：即在，上單調遞增，則不等式等價于，所以或或，解得或或，所以實數的取值范圍為.21.某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和銷售策略調整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.【答案】（1）40元（2）10.2萬件，30元【分析】（1）設每件定價為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；（2）列出不等關系，分離參數得，從而利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】依題意，設每件定價為元，得，整理得，解得.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.【小問2詳解】依題意知當時，不等式有解，等價于時，有解，由于，當且僅當，即時等號成立，所以，當該商品改革后銷售量至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.22.已知函數．（1）若，求函數的定義域，并指出其單調區間（不需要證明）：