第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年北京理工大學附中中考數學零模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，若∠AOC=34°，則∠DOE的度數是(

)A.34°

B.56°

C.66°

D.146°3.實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是(

)A.a>?1 B.b>1 C.?a<b D.?b>a4.已知關于x的方程x2?4x+n=0有兩個不相等的實數根，則n的取值范圍是(

)A.n<4 B.n≤4 C.n>4 D.n=45.一個不透明的口袋中有2個紅球和1個白球，這三個球除顏色外完全相同.搖勻后，隨機從中摸出一個小球不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出小球的顏色相同的概率是(

)A.34 B.13 C.146.黨的二十大報告中指出，我國全社會研發經費支出達二萬八千億元，居世界第二位.“二萬八千億”用科學記數法表示為(

)A.0.28×1013 B.2.8×1011 C.7.已知∠PAQ=36°，點B為射線AQ上一固定點，按以下步驟作圖：

①分別以A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，相交于兩點M，N；

②作直線MN交射線AP于點D，連接BD；

③以B為圓心，BA長為半徑畫弧，交射線AP于點C．

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是(

)A.∠CDB=72° B.△ADB∽△ABC

C.CD:AD=2:1 D.∠ABC=3∠ACB8.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P和點Q分別在邊CD和AD上運動(不與A、C、D重合)，滿足DP=AQ，連結AP、CQ交于點E，在運動過程中，則下列四個結論正確的是(

)

①AP=CQ；②∠AEC的度數不變；③∠APD+∠CQD=180°；④CP2=AP?A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.分解因式：x3?x=

10.方程12x+3+111.某中學開展“讀書伴我成長”活動，為了解八年級200名學生四月份的讀書冊數，對從中隨機抽取的20名學生的讀書冊數進行調查，結果如表：冊數/冊12345人數/人25742根據統計表中的數據估計八年級四月份讀書冊數不少于3本的人數約有______人.12.在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=kx的圖象經過點P(2,m)，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小，則點P在第______象限．13.如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點，弧BC=弧CD.若∠CBD=34°，則∠ABD的度數為______．14.如圖，在正方形網格中，A，B，C，D是網格線交點，AC與BD相交于點O，小正方形的邊長為1，則AO的長為______．

15.如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交AC于點D.若點D到BC的距離為1，則AC=______．16.某市為進一步加快文明城市的建設，園林局嘗試種植A、B兩種樹種.經過試種后發現，種植A種樹苗a棵，種下后成活了(12a+5)棵，種植B種樹苗b棵，種下后成活了(b?2)棵.第一階段兩種樹苗共種植了40棵，且兩種樹苗的成活棵樹相同，則種植A種樹苗______棵.第二階段，該園林局又種植A種樹苗m棵，B種樹苗n棵，若m=2n，在第一階段的基礎上進行統計，則這兩個階段種植A種樹苗成活棵數______種植B種樹苗成活棵數(填“>”“<”或“=”)三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題5分)

計算：(?1)?318.(本小題5分)

先化簡，再求值：a?33a2?6a÷(a+2?19.(本小題5分)

解不等式組：4(x?2)≤x?53x+12>x20.(本小題6分)

如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB=90°，AD//BC，點E在BC上，AB//DE，AE平分∠BAD．

(1)求證：四邊形ABED為菱形；

(2)連接BD，交AE于點O，若AE=6，sin∠DBE=35，求21.(本小題6分)

某校在商場購進A、B兩種品牌的籃球，購買A品牌籃球花費了2500元，購買B品牌籃球花費了2000元，且購買A品牌籃球的數量是購買B品牌籃球數量的2倍，已知購買一個B品牌籃球比購買一個A品牌籃球多花30元．

(1)問購買一個A品牌、一個B品牌的籃球各需多少元？

(2)該校決定再次購進A、B兩種品牌籃球共50個，恰逢商場對兩種品牌籃球的售價進行調整，A品牌籃球售價比第一次購買時提高了8%，B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費用不超過3060元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌籃球？22.(本小題5分)

4月24日是中國航天日，某校初中部舉辦了“航天知識”競賽，每個年級各隨機抽取10名學生.統計這部分學生的競賽成績，并對成績進行了收集、整理，分析.下面給出了部分信息．

a.初一、初二年級學生得分的折線圖

b.初三年級學生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10．

c.初一、初二、初三，三個年級學生得分的平均數和中位數如下：年級初一初二初三平均數88m中位數88.5n根據以上信息，回答下列問題：

(1)由折線圖可知，初一、初二兩個年級學生“航天知識”競賽，成績更穩定的是______(填“初一”或“初二”)；

(2)統計表中m=______，n=______；

(3)由于數據統計出現失誤，初三年級所調查的10名學生中有一名學生被記錄為6分，實際得分為9分，將數據修正后，初三年級所調查的10名學生中以下統計數據發生變化的：______(寫出符合題意的序號)．

①平均數；②中位數；③眾數；④方差．23.(本小題5分)

在平面直角坐標系xOy中，函數y=ax+b(a≠0)的圖象經過點(?1,4)，與函數y=2x的圖象交于點(1,m)．

(1)求m的值和函數y=ax+b(a≠0)的解析式；

(2)當x>1時，對于x的每一個值，函數y=kx?k+2(k≠0)的值大于函數y=ax+b的值，且小于函數y=2x的值，直接寫出k的取值范圍．24.(本小題6分)

如圖，AB為⊙O的直徑，BD=CD，過點A作⊙O的切線，交DO的延長線于點E．

(1)求證：AC//DE；

(2)若AC=2，tanE=1225.(本小題5分)

小明發現某乒乓球發球器有“直發式”與“間發式”兩種模式，在“直發式”模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線；在“間發式”模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線.如圖1和圖2分別建立平面直角坐標系xOy．

通過測量得到球距離臺面高度y(單位：dm)與球距離發球器出口的水平距離x(單位：dm)的相關數據，如表所示：

表1直發式x(dm)02468101620…y(dm)3.843.964m3.843.642.561.44…表2間發式x(dm)0246810121416…y(dm)3.362.521.68n02.003.203.603.20…根據以上信息，回答問題：

(1)表格中m=______，n=______；

(2)直接寫出“直發式”模式下，球第一次接觸臺面前的運動軌跡的解析式；

(3)若“直發式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d1，“間發式”模式下球第二次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d2，則d1______d2(填“>”=”或“26.(本小題6分)

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=?x2+2mx?m2+m?2(m是常數)．

(1)求該拋物線的頂點坐標(用含m代數式表示)；

(2)如果點A(a,y1)27.(本小題7分)

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是線段AB上一個動點(不與點A，B重合)，∠ACD=α(0<α<45°)，以D為中心，將線段DC順時針旋轉90°得到線段DE，連接EB．

(1)依題意補全圖形；

(2)求∠EDB的大小(用含α的代數式表示)；

(3)用等式表示線段BE，BC，AD之間的數量關系，并證明．28.(本小題7分)

對于線段MN和點P給出如下定義：點P在線段MN的垂直平分線上，若以點P為圓心，PM為半徑的優弧MmN上存在三個點A，B，C，使得△ABC是等邊三角形，則稱點P是線段MN的“關聯點”.例如，圖1中的點P是線段MN的一個“關聯點”.特別地，若這樣的等邊三角形有且只有一個，則稱點P是線段MN的“強關聯點”．

在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(2,0)．

(1)如圖2，在點C1(1,?3)，C2(1,0)，C3(1,33)，C4(2,1)中，是線段OA的“關聯點”的是______；

(2)點B在直線y=33x上.存在點P，是線段OA的“關聯點”，也是線段OB的“強關聯點”．

①直接寫出點B的坐標；

②動點D在第四象限且AD=2，記∠OAD=α.若存在點參考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.D

9.x(x+1)(x?1)

10.x=?1

11.130

12.一

13.22°

14.10315.1+16.22

>

17.解：原式=?1+2?1?4+218.解：由于a2+3a?1=0

∴a2+3a=1

原式=a?33a(a?2)÷a19.解：4(x?2)≤x?5①3x+12>x②，

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x>?1，

∴不等式組的解集是20.(1)證明：∵AD//BC，AB//DE，

∴AD//BE，∠DAE=∠AEB，

∴四邊形ABED為平行四邊形，

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BA=BE，

∴平行四邊形ABED為菱形；

(2)解：∵四邊形ABED為菱形，AE=6，

∴AO=OE=3，BO=DO，AE⊥BD，

在Rt△BOE中，sin∠DBE=OEBE=35，

∴BE=335=5，

∴BO=21.解：(1)設購買一個A品牌的籃球需x元，則購買一個B品牌的籃球需(x+30)元，

由題意得：2500x=2×2000x+30，

解得：x=50，

經檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意，

則x+30=80．

答：購買一個A品牌的籃球需50元，購買一個B品牌的籃球需80元．

(2)設該校此次可購買a個B品牌籃球，則購進A品牌籃球(50?a)個，

由題意得：50×(1+8%)(50?a)+80×0.9a≤3060，

解得：a≤20，

答：該校此次最多可購買2022.解：(1)由折線圖可知，初一學生得分的波動比初二的小，所以成績更穩定的是初一．

故答案為：初一；

(2)由題意得，m=110×(10×4+9+6+8+7×2+3)=8，

把初三年級學生得分從小到大排列，排在中間的兩個數分別是8、9，故中位數n=8+92=8.5，

故答案為：8，8.5；

(3)將其中的數據6改為9，則平均數、中位數和方差改變，眾數不變．

故答案為：①②④．

23.解：(1)把(1,m)代入數y=2x得：m=2，

把(?1,4)，(1,2)代入y=ax+b得：

?a+b=4a+b=2，

解得a=?1b=3，

∴y=?x+3；

(2)在y=kx?k+2中，令x=1時，y=2，

∴函數y=kx?k+2圖象過(1,2)，

如圖：

由圖可得，24.(1)證明：∵BD=CD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DO=DA，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴DE//AC；

(2)解：如圖，連接OC，過點O作OF⊥AC于點F，

∴∠OFA=90°，

由(1)知，DE/?/AC，

∴∠OFA+∠FOE=180°，

∴∠FOE=∠FOA+∠AOЕ=90°，

∵AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，切點為A，

∴AB⊥AE，

∴∠OAE=90°，

∵∠AOE+∠E+∠OAE=180°，

∴∠AOE+∠E=90°，

∴∠FOA=∠E，

在△FOA△AЕO中，

∠FOA=∠E，∠OFA=∠EAO=90°，

∴△FAO∽△AOE，

∴OFAE=AFOA，

∴AFOF=OAAE，

∵tanE=12，

∴OAAE=12，

∴AFOF=12，AE=2OA，

∵OA=OC，OF⊥AC，

25.解：(1)由拋物線的對稱性及已知表1中的數據可知：m=3.96；

在“間發式“模式下，球從發球器出口到第一次接觸臺面的運動軌跡近似為一條直線，

設這條直線的解析式為y=kx+b(k≠0)，把(0,3.36)、(8,0)代入，得b=3.368k+b=0，

解得：k=?0.42b=3.36，

∴這條直線的解析式為y=?0.42x+3.36，

當x=6時，y=?0.42×6+3.36=0.84，

表格2中，n=3.84；

故答案為：3.96，3.84；

(2)y=?0.01(x?4)2+4；理由如下：

由已知表1中的數據及拋物線的對稱性可知：“直發式“模式下，拋物線的頂點為(4,4)，

∴設此拋物線的解析式為y=a(x?4)2+4(a<0)，

把(0,3.84)代入，得3.84=a(0?4)2+4，

解得：α=?0.01，

∴“直發式“模式下，球第一次接觸臺面前的運動軌跡的解析式為y=?0.01(x?4)2+4；

(3)當y=0時，0=?0.01(x?4)2+4，

解得：x1=?16(舍去)，x2=24，

∴“直發式”模式下球第一次接觸臺面時距離出球點的水平距離為d1=24；“間發式“模式下，球第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運動軌跡近似為一條拋物線，由已知表2中的數據及拋物線的對稱性可知：“間發式“模式下，這條拋物線的頂點坐標為(16,3.20)，

∴設這條拋物線的解析式為y=m(x?16)2+3.2?(m<0)，

把(8,0)代入，得0=m(8?16)2+3.2，

解得：m=?0.05，

∴這條拋物線的解析式為y=?0.05(x?16)2+3.2，

當y=0時，0=?0.05(x?16)2+3.2，

解得：x1=8，x2=24，

∴d2=24dm，

∴d1=d2，

故答案為：=．

26.解：(1)∵y=?x2+2mx?m2+m?2=?(x?m)2+m?2，

∴拋物線頂點坐標為(m,m?2)．

(2)∵拋物線頂點(m,m?2)在第四象限，

∴27.解：(1)補全圖形如下：

(2)∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∴∠CDB=∠A+∠ACD=45°+α，

∵∠CDE=90°，

∴∠EDB=∠CDE?∠CDB=45°?α；

(3)BC=2AD+BE，證明如下：

如圖1，過點D作DM⊥AB，交AC于點F，交BC的延長線于點M，

則∠MDB=∠CDE=90°，

∴∠MDB?∠BDC=∠CDE?∠BDC，

即∠CDM=∠EDB，

∵∠MBD=45°，

∴∠M=∠MBD=45°，

∴DM=DB，

由旋轉的性質得：DC=DE，

∴△DCM≌△DEB(SAS)，

∴CM=BE，

∵∠M=45°，∠ACB=90°，

∴∠CFM=90°?45°=45°，

∴∠CFM=∠M，

∴CF=CM，

∴CF=BE，

在Rt△FAD中，∠A=45°，

∴cosA=ADAF=22，

∴AF=2AD