2024-2025學年人教新版九年級下冊數學《第28章銳角三角函數》單元測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，則cosB的值為（）A． B． C． D．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，下列結論：①；②；③，其中結論正確的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．33．的值等于（）A．1 B． C． D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B．下列結論錯誤的是（）A．sinA＞sinB B．cosA+cosB＞1 C．sin2A+cos2B＝1 D．tanB＜tanA5．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝20°，AC＝5，則AB的長度為（）A．5sin20° B．5tan20° C． D．6．如圖，已知鐘擺的擺長OA為m米，當鐘擺由OA位置擺動至OB位置時，鐘擺擺動的角度為40°，此時擺幅AB的長可以表示為（）米．A．m?sin20° B．m?sin40° C．2m?cos20° D．2m?sin20°7．如圖，在坡角為α的斜坡上要栽兩棵樹，它們之間的水平距離AC為15m，tanα＝，則這兩樹間的坡面AB的長為（）A．5m B．45m C． D．8．如圖，小明從平涼大明塔A出發，以15千米/時的速度向正北方向騎行，2小時后到達同學小剛家B處．小明家C在平涼大明塔A的北偏西36°方向上，在小剛家B的北偏西72°方向上．則小剛家B到小明家C的距離是（）A．15千米 B．20千米 C．30千米 D．35千米9．比較tan52°，cos21°，sin49°的大小關系是（）A．tan52°＜cos21°＜sin49° B．tan52°＜sin49°＜cos21° C．sin49°＜tan52°＜cos21° D．sin49°＜cos21°＜tan52°10．2025年1月7日凌晨，長征三號乙運載火箭在西昌衛星發射中心點火起飛，將實踐二十五號衛星成功送入預定軌道，為2025年中國航天宇航發射取得“開門紅”．當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為θ，則此時火箭距海平面的高度AL為（）A．asinθ千米 B．acosθ千米 C．千米 D．千米二．填空題（共10小題，滿分30分）11．已知＜cosA＜sin70°，則銳角A的取值范圍是．12．如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，則sinA的值為．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝0.618，則cosB的值為．14．一段攔水壩橫斷面如圖所示，斜面坡比i＝1：3，若BC＝3m，則坡面AB的長度為m．15．如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結果保留根號）．16．某校學生開展綜合實踐活動，測量建筑物高度，如圖，小華在甲樓AB的樓頂A，測得乙樓CD的樓頂C處俯角為45°，測得乙樓底D處俯角為60°，甲、乙兩樓垂直于地面BD，兩樓之間水平距離為150米，那么乙樓CD高為米．（保留根號）17．太陽能是清潔、安全和可靠的能源．如圖是一個太陽能面板及其側面示意圖，點C是AB的中點，AB＝80cm．當太陽光與地面的夾角為53°，已知太陽光與面板垂直時，太陽面板吸收光能的效率最高，則此時支架C端離地面的高度為cm．（結果精確到1cm；參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）18．已知△ABC中，AB＝10，，AC＝5，則BC＝．19．在△ABC中，∠C＝90°，若，則sinA＝．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，則sinB的值為．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0；（2）計算：sin60°+tan245°﹣sin30°tan60°．22．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）求證：sin2A+cos2A＝1；（2）若sinA+cosA＝，求sinA?cosA的值．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，求sinB的值．24．某校學習小組進一步計劃去郊外進行測繪實踐活動“測量山坡兩側點N與點M的高度差”，因山坡的遮擋，兩點無法用眼睛直接觀測到，于是他們先畫出如圖所示的測繪圖紙，在點M，N處分別豎直安置經緯儀PM和QN，且PM＝QN＝2米，用無人機輔助測得PG與水平線的夾角α1＝53°，QG與水平線的夾角α2＝27°，無人機距離水平地面的高度GH＝58米，無人機距離經緯儀頂端Q的距離QG＝90米．請你根據以上數據求：（1）無人機距離經緯儀頂端P的距離；（2）點N與點M的高度差．（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，sin27°≈0.5，cos27°≈0.9，tan27°≈0.5）25．佳佳新購買了一款手機支架，其結構平面示意圖如圖1所示，AB是手機托板，CD是支撐桿，DE是底座，量得AB＝10cm，BC＝4cm，DC＝15cm，DE＝10cm，她調整支架的角度，研究其運動特點，發現∠CDE的度數不變，AB可以繞點C在平面內旋轉，當AB與CD重合時停止旋轉．（1）如圖2，當點A，點B，點E剛好在一條直線上時，已知∠AED＝80°，∠DCB＝40°，求點A到DE的距離（結果精確到0.1cm）；（2）當直線AB與CD所成銳角為60°時，直接寫出點B到DE的距離（結果保留根號）．（參考數據：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.7，）26．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是中線，BC＝8，CD＝5．求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD．27．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O過A，B兩點，且與直線AC相切于點A，D為BC中點，連接AD交⊙O于點E．（1）求證：AE＝BE；（2）若AD＝4，cosC＝，求⊙O的半徑．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分）題號12345678910答案BBACCDCCDA一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．【解答】解：根據勾股定理可得，則cosB＝＝．故選：B．2．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2BC，由勾股定理，得AB＝＝BC，①sinA＝＝，故①錯誤；②cosA＝＝，故②錯誤；③tanA＝＝，故③正確；故選：B．3．【解答】解：∵，∴原式＝×﹣＝﹣＝1．故選：A．4．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，∴sinA＝，sinB＝，cosA＝，cosB＝，tanB＝，tanA＝，∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵a+b＞c，∴sinA＞sinB，cosA+cosB＝+＝＞1，sin2A+cos2B＝+≠1，tanB＜tanA，∴選項C符合題意．故選：C．5．【解答】解：如圖所示，sinB＝，∵∠B＝20°，AC＝5，∴AB＝，故選：C．6．【解答】解：過點O作OD⊥AB于點D．∵OA＝OB，∴，．在Rt△AOD中，，∴AD＝OA?sin∠AOD＝m?sin20°（米）．∴AB＝2AD＝2m?sin20°（米）．故選：D．7．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝15m，tanα＝＝，解得BC＝5，∴AB＝＝（m）．故選：C．8．【解答】解：如圖，由題意得，∠CAB＝36°，∠1＝72°，∴∠C＝∠1﹣∠CAB＝36°，∴∠CAB＝∠C，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30（千米），∴BC＝30千米，答：小剛家B到小明家C的距離是30千米，故選：C．9．【解答】解：∵cos21°＝sin69°＞sin49°，∴cos21°＞sin49°，∵tan52°＞tan45°，tan45°＝1，sin90°＝1∴tan52°＞1，sin69°＜1，∴sin49°＜cos21°＜tan52°，故選：D．10．【解答】解：由題意得：∠ALR＝90°，在Rt△ALR中，AR＝a千米，∠ARL＝θ，∴AL＝AR?sinθ＝asinθ（米），故選：A．二．填空題（共10小題，滿分30分）11．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°＝cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案為：20°＜∠A＜30°．12．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∴，故答案為：．13．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cosB＝sinA＝0.618，故答案為：0.618．14．【解答】解：∵斜面坡比i＝1：3，∴BC：AC＝1：3，∵BC＝3m，∴AC＝3×3＝9m，∴AB＝＝＝3（m），故答案為：3．15．【解答】解：由題意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里，在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝PA＝×30＝15（海里），∴PC＝AC＝×15＝15（海里），在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝15海里，∴BP＝PC＝×15＝15（海里），故答案為：．16．【解答】解：由題意得四邊形BDCE是矩形，如圖，過點C作CE⊥AB，∴BD＝150米，∠ACE＝45°，∠ADB＝60°，∴CE＝BD＝150米，CD＝BE，在Rt△ACE中，CE＝150米，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝150米，在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴（米），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（150﹣150）米，∴乙樓CD高為米．故答案為：．17．【解答】解：過點C作CE⊥BD，垂足為E，∴∠CEB＝90°，由題意得：∠ABD＝180°﹣53°﹣90°＝37°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝53°，∵點C是AB的中點，AB＝80cm，∴BC＝AB＝40（cm），在Rt△BCE中，CE＝BC?cos37°≈40×0.6＝24（cm），∴此時支架C端離地面的高度約為24cm，故答案為：24．18．【解答】解：如圖所示，作AD⊥BC，交BC于點D，∵AB＝10，，AC＝5，∴AD＝AB?sinB＝10×＝2，∴BD＝＝＝4，當點C在C1的位置時，C1D＝＝＝，∴BC1＝BD﹣C1D＝4﹣＝3；當點C在C2的位置時，C2D＝＝＝，∴BC2＝BD+C1D＝4+＝5；故答案為：3或5．19．【解答】解：由條件可知，設BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，∴，∴，故答案為：．20．【解答】解：Rt△ABC中，根據cosA＝sinB可得：∴，故答案為：．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）sin60°+tan245°﹣sin30°tan60°＝＝1．22．【解答】（1）證明：∵sinA＝，cosA＝，∴sin2A+cos2A＝，∵∠C＝90°，∴根據勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，∴sin2A+cos2A＝1．（2）解：∵sinA+cosA＝，∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA?cosA＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sinA?cosA＝，∴sinA?cosA＝．23．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，∴，即．∴AB＝6．∴．∴．24．【解答】解：（1）如圖，作QB⊥GH，PA⊥GH，∵PM＝2，∴AH＝2，∵GH＝58，∴GA＝GH﹣AH＝56，在Rt△GPA中，sinα1＝，∴sin53°＝，∴GP≈56÷0.8＝70（米），答：無人機距離經緯儀頂端P的距離是70米；（2）在Rt△GQB中，sinα2＝，GQ＝90，∴sin27°＝，∴GB≈0.5×90＝45，∵GA＝56，∴AB＝GA﹣GB＝56﹣45＝11，∵PM＝QN＝2，∴點N與點M的高度差為11米，答：點N與點M的高度差為11米．25．【解答】解：（1）過點C作CG⊥DE于點G，作CF∥DE，過點A作AH⊥CF于點H．如圖，由題意可得：∠EDC＝180°﹣∠CED﹣∠DCB＝180°﹣80°﹣40°＝60°．∴C＝10﹣4＝6（cm）．AH＝ACsin80°≈6×0.98＝5.88（cm）．∴在Rt△CDG中，．∴點A到DE的距離＝AH+CG＝5.88+12.99≈18.9（cm）；（2）當直線AB與CD所成銳角為60°時，情況一：如圖，當∠BCD＝60°時，過點B作BK⊥CG于點K．，由（1）知：，∴點B到DE的距離：；情況二：當∠ACD＝60°時，∠ACD＝∠CDE，∴AB∥DE，∴點B到DE的距離＝；綜上：答案為或．26．【解答】解：如圖所示：∵Rt△ABC