專題17最值模型之將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學生感覺有困難的地方，也恰是學生能力區分度最重要的地方，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主。在解決幾何最值問題主要依據是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過本專題的講解讓大家對這類問題有比較清晰的認識。模型1、將軍飲馬--兩定一動求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小。（1）如圖1，點A、B在直線m兩側：輔助線：連接AB交直線m于點P，則AP+BP的最小值為AB.（2）如圖2，點A、B在直線同側：輔助線：過點A作關于定直線m的對稱點A’，連接A’B交直線m于點P，則AP+BP的最小值為A’B.圖1圖2例1．（2023·福建廈門·統考一模）小梧要在一塊矩形場地上晾曬傳統工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場地北側安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側的兩角分別固定了高度相同的木桿，，，，，．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側的兩條木桿，和北側的一條木桿上連出一個三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔心手中繩子的總長度不夠，那么他在北側木桿中應優先選擇（

）A． B． C． D．例2．（2023·福建·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C在直線MN上，∠BCN＝30°，點P為MN上一動點，連結AP，BP．當AP+BP的值最小時，∠CBP的度數為_____．例3．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E是中點，則的最小值為_________．例4．（2022·河南濮陽·八年級期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，A、B、三點在一條直線上，且．若D為線段上一動點，則的最小值是________．例5.（2023·重慶·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點D，垂足為E，M為DE上任意一點，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（）A．7 B．6 C．9 D．10例6．（2023·湖北洪山·八年級期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點C恰好落在AB邊上的點M處，D在BC上，點P在線段AD上移動，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長的最小值為___．模型2、將軍飲馬--兩動一定求線段和的最小值【模型探究】已知定點A位于定直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.輔助線：過點A作關于定直線m、n的對稱點A’、A’’，連接A’A’’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’A’’.例1．（2023·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．例2．（2022·上虞市初二月考）如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=6cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數是（）A．15 B．30 C．45 D．60例3．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例4．（2023春·貴州畢節·七年級統考期末）如圖所示，，點為內一點，，點分別在上，求周長的最小值．模型3、將軍飲馬--兩動兩定求線段和的最小值【模型探究】A，B為定點，在定直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）如圖1，兩個點都在直線外側：輔助線：連接AB交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.（2）如圖2，一個點在內側，一個點在外側：輔助線：過點B作關于定直線n的對稱點B’，連接AB’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.圖1圖2（3）如圖3，兩個點都在內側：輔助線：過點A、B作關于定直線m、n的對稱點A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.（4）如圖4，臺球兩次碰壁模型：輔助線：同圖3輔助線作法。圖3圖4例1．（2023·和平區·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當的值最小時，的大小=___（度）．例2．（2023·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2023·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．模型4、將軍飲馬--線段差的最大值【模型探究】A，B為定點，在定直線m上分別找兩點P，使PA與PB的差最大。（1）如圖1，點A、B在直線m同側：輔助線：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）如圖2，點A、B在直線m異側：輔助線：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’圖1圖2例1．（2023·福建福州·八年級期中）如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．例2．（2023.山東八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC,AC的垂直平分線交AC于點N，交AB于點M，AB＝12，△BMC的周長是20，若點P在直線MN上，則PA－PB的最大值為（） A.12 B.8 C.6 D.2例3．（2023·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．例4．（2022·湖北·武漢八年級期末）如圖，，為上一動點，，過作交直線于，過作交直線于點，若，當的值最大時，則________．課后專項訓練1．（2023·江蘇·無錫市八年級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝4，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于4，則α＝（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023·山東臨沂市·八年級期末）如圖，中，，，，于點，是的垂直平分線，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．53．（2023·河南七年級期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．4．（2023·河南·九年級專題練習）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點M，，的周長是，若點在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南商丘·八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN的度數為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°6．（2023·重慶八中七年級期末）如圖，，且，D，E分別為射線和射線上兩動點，且，當有最小值時，則的面積為________．7．（2023·湖南雨花·初二期末）如圖，∠AOB=30°，點P是它內部一點，OP=2，如果點Q、點R分別是OA、OB上的兩個動點，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．8．（2022·重慶·八年級期末）如圖，在中，以BC為底邊在外作等腰，作的平分線分別交AB，BC于點F，E．若，，的周長為30，點M是直線PF上的一個動點，則周長的最小值為______．9．（2023·山東八年級期末）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動點，則的周長的最小值為_________．10．（2023·陜西安康·八年級期末）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點，則的最小值為____________．11．（2023·廣東·七年級期中）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點、分別是和上的動點，則的最小值是______．12．（2023·和平區·八年級期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當的值最小時，的大小=_____（度）．13．（2023·清遠市八年級期中）如圖，點D是銳角內一點，于點E，點F是線段的一個動點，點G是射線的一個動點，連接、、，當的周長最小時，與的數量關系式是________．14．（2023·江蘇·八年級專題練習）如圖，是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當的周長最小時，的度數為______．15．（2023·安徽·合肥市八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點M，在OA上找一點N，使△PMN周長最小，則此時△PMN的周長為___．16．（2023·廣東·八年級專題練習）如圖，