云南省麗江市重點中學2025年高三下學期期中考試（數學試題文）試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當時，函數的圖象大致是（）A． B．C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫院開展扶貧日“送醫下鄉”醫療義診活動，現有五名醫生被分配到四所不同的鄉鎮醫院中，醫生甲被指定分配到醫院，醫生乙只能分配到醫院或醫院，醫生丙不能分配到醫生甲、乙所在的醫院，其他兩名醫生分配到哪所醫院都可以，若每所醫院至少分配一名醫生，則不同的分配方案共有()A．18種 B．20種 C．22種 D．24種4．是虛數單位，復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面個數分別記為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．6．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題8．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．設復數滿足，則在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或11．已知函數，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（）A． B． C． D．12．命題“”的否定是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．14．已知數列的各項均為正數，記為數列的前項和，若，，則______.15．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為______．16．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數的單調增區間是____；最大值為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數的值；（2）試討論函數零點的個數.18．（12分）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令.求數列的前n項和.19．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.20．（12分）如圖，為坐標原點，點為拋物線的焦點，且拋物線上點處的切線與圓相切于點（1）當直線的方程為時，求拋物線的方程；（2）當正數變化時，記分別為的面積，求的最小值．21．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）22．（10分）已知圓的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是是參數），若直線與圓相切，求實數的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】由，解得，即或，函數有兩個零點，，不正確，設，則，由，解得或，由，解得：，即是函數的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.2．B【解析】

設點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出、、的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.3．B【解析】

分兩類：一類是醫院A只分配1人，另一類是醫院A分配2人，分別計算出兩類的分配種數，再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據醫院A的情況分兩類：第一類：若醫院A只分配1人，則乙必在醫院B，當醫院B只有1人，則共有種不同分配方案，當醫院B有2人，則共有種不同分配方案，所以當醫院A只分配1人時，共有種不同分配方案；第二類：若醫院A分配2人，當乙在醫院A時，共有種不同分配方案，當乙不在A醫院，在B醫院時，共有種不同分配方案，所以當醫院A分配2人時，共有種不同分配方案；共有20種不同分配方案.故選：B本題考查排列與組合的綜合應用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學生分類討論的思想，是一道中檔題.4．D【解析】

求出復數在復平面內對應的點的坐標，即可得出結論.【詳解】復數在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.本題考查復數對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.5．A【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結合四個選項可知，只有正確.故選：A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.6．C【解析】

先根據直線與直線平行確定的值，進而即可確定結果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.7．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．8．B【解析】

解出,分別代入選項中的值進行驗證.【詳解】解：，.當時,，此時不成立.當時,，此時成立，符合題意.故選:B.本題考查了不等式的解法,考查了集合的關系.9．C【解析】

化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應點在第三象限.故選：.本題考查了復數的化簡和對應象限，意在考查學生的計算能力.10．B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.11．D【解析】

根據中點在軸上，設出兩點的坐標，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據條件可知，兩點的橫坐標互為相反數，不妨設，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數在上的值域為，故.故選D.本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查利用導數研究函數的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.12．D【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．本題考查全稱命題的否定,難度容易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應用．本題中存在垂直關系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關系，得到，所以本題轉化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．14．63【解析】

對進行化簡，可得，再根據等比數列前項和公式進行求解即可【詳解】由數列為首項為，公比的等比數列，所以63本題考查等比數列基本量的求法，當處理復雜因式時，常用基本方法為：因式分解，約分。但解題本質還是圍繞等差和等比的基本性質15．【解析】

利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.16．(或寫成)【解析】試題分析：設，取中點則,因此,所以，因為在單調遞增，最大值為所以單調增區間是，最大值為考點：函數最值，函數單調區間三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導數的幾何意義，設切點的坐標，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質為同一條，從而得到方程組，再構造函數研究其最大值，進而求得；（2）對函數進行求導后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結合函數圖象的單調性及零點存在定理，可得函數零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調遞增，在上單調遞減，∴，于是，.（2），①當時，恒成立，在上單調遞增，且，∴函數在上有且僅有一個零點；②當時，在R上沒有零點；③當時，令，則，即函數的增區間是，同理，減區間是，∴.?。┤?，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當時，單調遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當時，函數沒有零點；當或時，函數恰有一個零點；當時，恰有兩個零點.本題考查導數的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解切線有關問題時，一定要明確切點坐標.以導數為工具，研究函數的圖象特征及性質，從而得到函數的零點個數，此時如果用到零點存在定理，必需說明在區間內單調且找到兩個端點值的函數值相乘小于0，才算完整的解法.18．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數列的通項公式；進而列方程組求數列的首項與公差，得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數列的前項和.試題解析：（1）由題意知當時，，當時，，所以．設數列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點1、待定系數法求等差數列的通項公式；2、利用“錯位相減法”求數列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數法求等差數列的通項公式、利用“錯位相減法”求數列的前項和，屬于難題.“錯位相減法”求數列的前項和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19．（1）.（2）【解析】

（1）設A的坐標為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.本題考查拋物線的性質及直線與拋物線的綜合，換元方法的應用，屬于中檔題.20．（1）x2=4y．（2）.【解析】試題解析：（Ⅰ）設點P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以拋物線C1的方程為x2=4y．（Ⅱ）因為點P處的切線